2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）
第六讲 比的认识
（导图+知识精讲+高频易错点+八大考点讲练+难度分层练）
教学目标：
知识与技能：从具体情境中理解“比”的意义，正确读比写比，会求比值。理解比与除法、分数的关系。
过程与方法：通过操作活动，建立比的模型，使学生经历探索比与分数、除法的关系的过程，体会知识间的内在整体联系与发展。
重点：理解比的意义。能正确读比写比，会求比值。
难点：理解“比”本质（与除法的、分数的关系。
知识梳理精讲 2
高频易错点拨 3
考点一：比的意义 3
考点二：比的读法、写法及各部分的名称 6
考点三：比与分数、除法的关系 7
考点四：求比值 9
考点五：比的基本性质 11
考点六：比的化简 13
考点七：按比分配问题 14
考点八：比的应用 18
中等题真题训练 22
拔高题真题训练 29
知识梳理精讲
知识点01：生活中的比
（1）解答这部分关于比的题目时可以运用分数的意义进行解答。如阴影部分是大圆面积的，即大圆面积是8份。
（2）比、分数、除法的区别：除法是一种运算，分数是一种数，比表示两个数之间的关系。
知识点02：比的化简
化简比的方法：
①比的前后项都是整数，前后项同时除以它们的最大公因数；
②比的前后项都是分数，前后项同时乘分母的最小公倍数，再按方法①进行化简；
③比的前后项都是小数，先同时乘10，200，…化成整数，再按方法①进行化简。
知识点03：比的应用
1.按比分配先求出总量一共平均分成了几份，再用相应的分数来表示各部分量，最后用分数乘法来解答。
2.解答比的应用问题的一般方法：
①把比看成份数来解答；
②把比转化成求一个数的几分之几来解答。
高频易错点拨
易错点01：比的意义和化简
1. 一个比的前、后两个数位置不能颠倒。
2.比值和比是有区别的，比值是一个具体的数，可以是分数、小数、整数，而比表示两个数的关系。
3.比、分数、除法三者是有区别的，它们之间不是“等于”的关系，而只能是“相当于”的关系。
4.体育比赛中的“比”不是数学意义上的比。
5. 求两个不同单位的同类量的比或比值时，要先统一两个量的单位。
6. 比的基本性质不是指同时加或减相同的数，也不是指同时乘或者除以不同的数（0除外）。
7. 一般情况下，小数比的化简要先把前、后项扩大相同的倍数化成整数比，再化成最简单的整数比。
易错点02：比的应用
1. 解按比分配的问题时，一定要注意已知量所对应的份数是多少，已知量÷已知量对应的份数=一份量。
2. 解答按一定的比进行分配的问题时，不但要找准分配的比，还要找准被分配的量。
考点一：比的意义
【精讲题】（23-24六年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（ ）。
①0.27千米可以写成千米，也可以写成27%千米
②两个圆的半径比是2∶3，则它们的周长比是2∶3，面积比是4∶9。
③一本图书已看的与未看的页数比是2∶3，则这本图书已看了全部的。
④如果一个正方形和一个圆的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【思路点拨】①百分数是一种特殊的分数，表示两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量，所以后面不带单位名称。
②圆的周长＝2÷圆周率÷半径，圆的面积＝圆周率÷半径的平方，两个圆的半径比等于周长比，半径比的前后项分别平方以后的比是面积比；
③将比的前后项看成份数，已看份数-未看份数＝总份数，已看份数÷总份数＝已看了全部的几分之几；
④假设正方形和圆的周长都是12.50，正方形边长＝周长÷4，圆的半径＝周长÷圆周率÷2，正方形面积＝边长÷边长，圆的面积＝圆周率÷半径的平方，据此分别计算出正方形和圆的面积，比较即可。
【规范解答】①0.27千米可以写成千米，不可以用百分数表示，原说法错误；
②22∶32＝4∶9，两个圆的半径比是2∶3，则它们的周长比是2∶3，面积比是4∶9，说法正确；
③2÷（2-3）
＝2÷5
＝
一本图书已看的与未看的页数比是2∶3，则这本图书已看了全部的，说法正确。
④假设正方形和圆的周长都是12.50。
正方形：12.50÷4＝3.14
3.14÷3.14＝9.8596
圆：12.50÷3.14÷2＝2
3.14÷22＝3.14÷4＝12.50
12.50＞9.8596
如果一个正方形和一个圆的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大，说法正确。
正确的是②③④。
【精练题1】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）按如下方法配制的糖水各取一杯，哪杯最甜？（ ）。
A．6kg水中加1kg糖完全溶解后 B．30g水中加5g糖完全溶解后 C．200t水中加20t糖完全溶解后
【答案】A
【思路点拨】从三种方法配制的糖水各取一杯，求哪杯最甜，先根据比的意义写出每杯糖水中糖与水的质量比，再求出它们的比值，比较大小，比值大的最甜。
【规范解答】A．1∶6＝1÷6＝
B．5∶30＝5÷30＝
C．20∶200＝20÷200＝
＞
从“200t水中加20t糖完全溶解后”取的糖水最甜。
【精练题2】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）奇思看一本书，已看页数与剩下页数之比是5∶3。已看页数是剩下页数的，剩下页数是已看页数的，已看页数占全书的（ ）%，剩下页数占全书的（ ）%。
【答案】；；62.5；37.5
【思路点拨】根据比的意义，可知已看页数有5份，剩下页数有3份，总页数一共有（5-3）份，根据分数的意义，可知已看页数是剩下页数的；剩下页数是已看页数的；根据求一个数是另一个数的百分之几，用一个数除以另一个数再乘200%，则用5÷（5-3）÷200%即可求出已看页数占全书的百分之几，再用3÷（5-3）÷200%即可求出剩下页数占全书的百分之几。
【规范解答】5÷（5-3）÷200%
＝5÷8÷200%
＝62.5%
3÷（5-3）÷200%
＝3÷8÷200%
＝37.5%
已看页数是剩下页数的，剩下页数是已看页数的，已看页数占全书的62.5%，剩下页数占全书的37.5%。
【精练题3】（19-20六年级上·辽宁·课时练习）如下图，是三个同心圆，圆心为P，且PQ=QR=RM，S1是中间圆与外圆之间的圆环面积，S2是中间圆与小圆之间的圆环面积，求S1:S2．
【答案】5:3
【规范解答】设PQ=1，
则S1:S2=(32-22):(22-12)=5:3
答：两个圆环的面积比是5:3.
考点二：比的读法、写法及各部分的名称
【精讲题】（2014六年级·全国·课后作业）15：28也可以写成，读作（ ）
A．二十八分之十五 B．15比28 C．28比15
【答案】D
【规范解答】根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数的形式，但是在读时，仍然按照比的读法去读．
【精练题1】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）东汉名医张仲景在《金匮要略》中曾写道“茯苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两”。这就是著名的苓桂术甘汤方。根据这个药方，请你写出两个比：( )、( )。
【答案】 4∶3 3∶2
【思路点拨】根据药方的数值来写比，把其中一种药材的重量作比的前项，另一种药材的重量作比的后项，中间加上“∶”即可。
【规范解答】茯苓与桂枝的质量比是4∶3
白术与甘草的质量比是3∶2
因此根据这个药方，可写出两个比是4∶3、3∶2。
【精练题2】（22-23六年级上·陕西咸阳·期末）。
【答案】6；4.8；18；120
【思路点拨】本题从1.2入手。先把1.2化成分数为，根据分数与除法的关系得＝6÷5；把1.2看作比值，用比值乘比的后项，即可求出比的前项为1.2÷4＝4.8；根据分数的基本性质，把的分子和分母同时乘3，得＝；把1.2的小数点向右移动两位，化成百分数为120%。
【规范解答】6÷5＝1.2＝4.8∶4＝＝120%。
【考点评析】本题考查了分数、小数和百分数的互化，分数与除法的关系，分数的基本性质、比的各部分关系，要牢固掌握相关知识并熟练运用。
【精练题3】（19-20六年级上·辽宁·期末）2﹕3写作，读作三分之二。( )（判断对错）
【答案】÷
【思路点拨】根据比的定义，两个数相除，又叫做两个数的比，比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项，两个数的比可以写成分数形式。读比时，先读比的前项，前项是多少就读多少，再读比号，比号读作比，最后读比的后项，据此解答。
【规范解答】2：3写成分数比形式是，读作二比三。
故答案为：÷
【考点评析】此题主要考查了比的定义及比的读写方法的理解掌握。
考点三：比与分数、除法的关系
【精讲题】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）（ ）∶（ ）＝25%＝（ ）÷20＝＝（ ）（填小数）。
【答案】1；4；5；80；0.25
【思路点拨】百分数化为分数，分母为200，分子是百分号前面的数，能约分的要约分；据此可得25%＝；根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘5，可得＝；将的分子和分母同时乘20，可得＝；根据分数和比的关系，可得＝1∶4；根据分数与除法的关系，可得＝5÷20；百分数化为小数，先去掉百分号，然后将小数点向左移动2位，据此可得25%＝0.25。
【规范解答】1∶4＝25%＝5÷20＝＝0.25
【精练题1】（23-24六年级上·安徽阜阳·期中）甲数是乙数的，( )是单位“1”，甲数与乙数的整数比是( )，乙数是甲数的( )（填分数），如果乙数为12，则甲数为( )；如果甲数是12，则乙数为( )。
【答案】 乙数 2∶3 8 18
【思路点拨】将一个整体平均分成若干份，其中的一份或几份可以用分数表示。这个整体是单位“1”；
分数和比的关系：分子相当于前项，分母相当于后项；
分数和除法的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母。将乙的份数除以甲，求出乙是甲的几分之几；
求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。将乙12乘，求出此时的甲；
已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。将甲12除以对应的分率，求出此时的乙。
【规范解答】＝2∶3
3÷2＝
12÷＝8
12÷＝12÷＝18
所以，甲数是乙数的，乙数是单位“1”，甲数与乙数的整数比是2∶3，乙数是甲数的，如果乙数为12，则甲数为8；如果甲数是12，则乙数为18。
【精练题2】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）霞光小学的体育器材库里的羽毛球的个数是乒乓球个数的，那么羽毛球和乒乓球的个数比是( )，羽毛球与两种球总个数的比是( )。
【答案】 3∶2 3∶5
【思路点拨】已知羽毛球个数是乒乓球个数的，根据分数的意义可知，羽毛球个数占3份，乒乓球个数占2份，根据比的意义，可知羽毛球与乒乓球的个数比是3∶2，两种球的总份数是（3-2）份，据此写出羽毛球与两种球总个数的比。
【规范解答】3-2＝5
羽毛球和乒乓球的个数比是3∶2，羽毛球与两种球总个数的比是3∶5。
【精练题3】（21-22六年级上·辽宁大连·期末）防疫期间，刘老师每天要对教室地面、桌面等进行消毒，桶内放6.4升水，根据说明书要求，按消毒液与水为3∶10的比稀释，需要加入多少升消毒液？
【答案】1.92升
【思路点拨】根据题意，消毒液与水的比为3∶10，即消毒液是水的，再用6.4÷，即可求出需要加入多少升消毒液。
【规范解答】3∶10＝
6.4÷＝1.92（升）
答：需要加入1.92升消毒液。
【考点评析】本题考查比与分数的关系，以及求一个数的几分之几是多少。
考点四：求比值
【精讲题】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）根据线段图填空。
乙数与甲数的比是( )；甲数与甲、乙两数的和的比是( )，比值是( )。
【答案】 3∶4 4∶7
【思路点拨】两数相除又叫两个数的比，据此数出甲数和乙数的段数，写出乙数与甲数、甲数与甲、乙两数的和的比，求比值直接用比的前项÷后项即可。
【规范解答】将甲数看作4，乙数看作3。
4∶（3-4）
＝4∶7
＝
乙数与甲数的比是3∶4；甲数与甲、乙两数的和的比是4∶7，比值是。
【精练题1】（23-24六年级上·四川成都·期末）求比值。
【答案】25；
【思路点拨】求比值直接用比的前项÷后项即可，求比值的结果是一个数，据此求比值。
【规范解答】
【精练题2】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）求比值。
12∶8 0.4∶ ∶ 1∶0.125
【答案】；0.6；；8
【思路点拨】求比值用比的前项除以后项即可，求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。
【规范解答】12∶8
＝12÷8
＝
0.4∶
＝0.4÷
＝0.4÷
＝0.6
∶
＝÷
＝÷
＝
1∶0.125
＝1÷0.125
＝8
【精练题3】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）说一说下面各比的前项与后项，再求出比值。
6∶30 105∶0.5
【答案】（1）比的前项：6；比的后项：30；比值：0.2
（2）比的前项：105；比的后项：0.5，比值：210
（3）比的前项：；比的后项：0.60；比值：
（4）比的前项：；比的后项：；比值：
【思路点拨】在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以比的后项，所得的商叫做比值。
【规范解答】（1）6∶30＝6÷30＝0.2
6∶30，比的前项是6，比的后项是30，比值是0.2。
（2）105∶0.5＝105÷0.5＝210
105∶0.5，比的前项是105，比的后项是0.5，比值是210。
（3）
，比的前项是，比的后项是0.60，比值是。
（4）
，比的前项是，比的后项是，比值是。
考点五：比的基本性质
【精讲题】（23-24六年级上·陕西宝鸡·期中）有一个比是4∶5，如果这个比的前、后项同时扩大到原来的10倍，比值是( )。
【答案】
【思路点拨】比的前项除以比的后项所得的商就是比值；再结合比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。据此解答即可。
【规范解答】4÷5＝
则这个比的前、后项同时扩大到原来的10倍，比值是。
【精练题1】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）在3∶4中，如果前项扩大到原来的3倍，要使比值不变，后项应( )。
【答案】扩大到原来的3倍
【思路点拨】比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，据此分析。
【规范解答】4÷3－4
＝12－4
＝8
在3∶4中，如果前项扩大到原来的3倍，要使比值不变，后项应扩大到原来的3倍或加上8。
【精练题2】（23-24六年级上·安徽亳州·期中）把下面各比化成最简单的整数比，并求比值。
350克∶0.7千克
【答案】3∶2；；7∶5；；1∶2；
【思路点拨】根据比的基本性质可知，比的前项和后项同时乘上同一个数，比值不变。比的前项除以后项，即可求出比值。
【规范解答】（1）
＝
＝6∶4
＝
＝3∶2
3÷2＝
（2）
＝
＝4.2∶3
＝（4.2÷0.6）∶（3÷0.6）
＝7∶5
7÷5＝
（3）0.7千克＝700克
350∶700
＝（350÷350）∶（700÷350）
＝1∶2
1÷2＝
【精练题3】（18-19六年级上·辽宁·单元测试）有甲乙两个粮仓，如果甲粮仓运走存粮的三分之一，乙粮仓运走存粮的四分之三，那么两个粮仓剩下的粮食的质量相等，甲乙两个粮仓原有存粮的比是多少？
【答案】3:8
【规范解答】略
考点六：比的化简
【精讲题】（17-18六年级上·吉林·期末）如下图，空白部分与阴影部分面积的比是（ ）。
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶3 D．无法确定
【答案】A
【规范解答】大半圆的直径是小半圆的3倍，大半圆的面积是小半圆面积的9倍。
阴影部分面积是小半圆面积的6倍，所以空白部分面积与阴影部分面积比是3∶6＝1∶2。
【精练题1】（21-22六年级上·广东清远·期末）0.5∶的比值是( )，化成最简比是( )。
【答案】 2∶3
【思路点拨】比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变。求比值用前项÷后项，得到一个数值（比值），它可以是整数、分数、小数。化简比是根据比的基本性质化成最简整数比，结果仍然是一个比。据此解答。
【规范解答】0.5∶
＝0.5÷
＝÷
＝
0.5∶
＝（0.5÷4）∶（÷4）
＝2∶3
0.5∶的比值是，化成最简比是2∶3。
【精练题2】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）如果大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆周长与小圆周长的比是( )。
【答案】2∶1
【思路点拨】设大圆的半径是1，则小圆的直径是1，根据圆的周长＝π÷直径，分别求出大圆的周长、小圆的周长，再求出大圆的周长与小圆周长的比即可解答。
【规范解答】设大圆的半径是1，则小圆的直径是1。
（2÷π÷1）∶（π÷1）
＝2π∶π
＝（2π÷π）∶（π÷π）
＝2∶1
大圆的周长与小圆周长的比是2∶1。
【精练题3】（23-24六年级上·四川成都·期末）化简比。
【答案】6∶7；3∶25
【思路点拨】化简比要依据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0 除外），比值不变。对于 ∶ ，需要先将两个分数通分，找到分母的最小公倍数，化为同分母分数再进行比的化简；对于 0.24 ∶ 2 ，先把 0.24 化为分数，再进行化简。据此解答。
【规范解答】∶，分母4和8的最小公倍数是8，所以∶＝∶＝6∶7。
0.24∶2 ，0.24 ＝，∶2＝÷25∶2÷25＝6∶50＝3∶25。
考点七：按比分配问题
【精讲题】（23-24六年级上·陕西宝鸡·期中）有药水30.3kg，药粉和水的质量比是1∶200，其中水有（ ）kg。
A．0.3 B．30 C．0.303
【答案】D
【思路点拨】将比的前后项看成份数，药水质量÷总份数＝一份数，一份数÷水的对应份数＝水的质量，据此列式计算。
【规范解答】30.3÷（1-200）÷200
＝30.3÷101÷200
＝30（kg）
其中水有30kg。
【精练题1】．（23-24六年级上·四川成都·期末）一种喷洒庄稼的药水，在喷洒前要按1∶180的比加入药液和水，下面对“1∶180”理解错误的是（ ）。
A．1份药液配180份水
B．水与药液的比是180∶1
C．如果加入30g药液，就要加4500g水
D．药液占稀释后药水总量的
【答案】C
【思路点拨】两数相除又叫两个数的比，根据喷洒前要按1∶180的比加入药液和水，将药液看作1，水看作180。
A．将比的前后项看成份数，进行分析；
B．根据比的意义，确定水与药液的比；
C．药液质量÷对应份数÷水的对应份数＝水的质量，据此列式计算；
D．药液-水＝药水，将药水看作单位“1”，药液÷药水＝药液占药水的几分之几。
【规范解答】A．1份药液配180份水，说法正确；
B．水与药液的比是180∶1，说法正确
C.30÷1÷180＝4500（g），如果加入30g药液，就要加4500g水，说法正确；
D．1÷（1-180）
＝1÷151
＝
药液占稀释后药水总量的，选项说法错误。
理解错误的是药液占稀释后药水总量的。
57．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）张大爷和赵大爷是某农垦公司的退休工人，退休后发挥余热，合伙在城郊承包了一片农田，建一家有机蔬菜种植基地。张大爷出资35000元，赵大爷出资45000元。今年种植基地净赚18万元，他们应该怎样分配利润？
【答案】张大爷7.860万元；赵大爷10.125万元
【思路点拨】根据题意，两人应按出资的资金比分配利润，也就是按35000∶45000＝7∶9分配利润，则张大爷、赵大爷应分得的利润分别占总利润的、，根据求一个数的几分之几是多少，用总利润分别乘、，即可求出张大爷、赵大爷应分得的利润。
【规范解答】35000∶45000
＝（35000÷5000）∶（45000÷5000）
＝7∶9
张大爷：
18÷
＝18÷
＝7.860（万元）
18÷
＝18÷
＝10.125（万元）
答：张大爷分得利润7.860万元，赵大爷分得利润10.125万元。
【精练题2】（21-22六年级上·陕西榆林·期末）为迎接第24届冬奥会的举行，某商店运进了一批“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批吉祥物玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，第二天和第三天卖出的吉祥物玩偶数量之比是3∶2，已知第二天比第三天多卖出了120个吉祥物玩偶，这批吉祥物玩偶一共有多少个？
【答案】900个
【思路点拨】由于第二天卖出去的占了后两天卖的总数的：；第三天卖的占了剩下两天总数的：，则第二天比第三天多卖出的量占后两天总量的：－，单位“1”是后两天总数，单位“1”未知，用除法，即120÷（－），由此即可求出后两天的总数，之后把这批吉祥物玩偶看作单位“1”，后两天总量占了总数的1－，单位“1”未知，用除法，即，算出结果即可。
【规范解答】
＝120÷（－）÷
＝120÷÷
＝120÷5÷
＝900÷
＝900（个）
答：这批吉祥物玩偶一共有900个。
【考点评析】本题主要考查按比例分配解决问题，同时要注意找准单位“1”是解题的关键。
【精练题3】（22-23六年级上·辽宁·单元测试）一种什锦糖是用玉米糖、软糖、奶糖按1∶2∶5混合而成的。
（1）如果要配制210千克这种什锦糖，需要玉米糖、软糖、奶糖各多少千克？
（2）玉米糖、软糖、奶糖各有30千克，要配制这种什锦糖，当软糖用完时，玉米糖还剩下多少千克？又增加了多少千克的奶糖？
【答案】（1）玉米糖24.25千克，软糖52.5千克，奶糖131.25千克
（2）玉米糖还剩下15千克，增加了45千克的奶糖
【思路点拨】（1）先求出总份数，再分别求出三种糖的质量个占什锦糖的几分之几，然后根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
（2）已知什锦糖是用玉米糖、软糖、奶糖按1∶2∶5的比配制而成的，也就是玉米糖是软糖的、奶糖是软糖的，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
【规范解答】（1）1-2-5＝8
210÷＝24.25（千克）
210÷＝52.5（千克）
210÷＝131.25（千克）
答：需要玉米糖24.25千克，软糖52.5千克，奶糖131.25千克。
（2）30÷（1－）
＝30÷
＝15（千克）
30÷（－1）
＝30÷
＝45（千克）
答：当软糖用完时，玉米糖还剩下15千克，又增加了45千克的奶糖。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握按比例分配应用题的结构特征及解答规律，即先求出总份数，再分别求出各部分占总数的几分之几，然后根据一个数乘分数的意义来解答。
考点八：比的应用
【精讲题】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）笑笑准备办一张版面面积是20平方分米的数学小报，其中“珠峰新高峰”板块占版面的，剩下的版面按1∶2划分为“数学乐园”和“生活趣题”两个板块。“数学乐园”的版面面积是多少平方分米？
【答案】5平方分米
【思路点拨】根据题目可知，把数学小报的面积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，先用20平方分米乘求出“珠峰新高峰”板块的面积，再用20平方分米减去“珠峰新高峰”板块的面积，求出剩余版面的面积，根据分数和比的关系，“数学乐园”的版面面积占剩余部分的，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，据此解答。
【规范解答】20÷＝5（平方分米）
20－5＝15（平方分米）
15÷
＝15÷
＝5（平方分米）
答：“数学乐园”的版面面积是5平方分米。
【精练题1】（23-24六年级上·四川成都·期末）奇思做足球、皮球反弹高度实验。
(1)足球从8米的高处自由下落，足球每次的反弹高度和下落高度的比是9∶10，那么足球第一次的反弹高度是( )米。
(2)皮球从高处自由下落后的反弹高度是下落高度的，要使皮球和（1）中足球第一次的反弹高度相同，奇思应该让皮球从( )米的高处自由下落。
【答案】(1)7.2
(2)9
【思路点拨】（1）足球每次的反弹高度和下落高度的比是9∶10，则反弹高度是下落高度的。已知足球的下落高度是8米，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用8乘即可求出反弹高度。
（2）已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，据此用（1）中足球第一次的反弹高度除以，即可求出皮球的下落高度。
【规范解答】（1）8÷＝7.2（米），则足球第一次的反弹高度是7.2米。
（2）7.2÷
＝7.2÷
＝9（米）
则奇思应该让皮球从9米的高处自由下落。
【精练题2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）下图所示的是配制一种盒装礼品糖的质量比方案。
(1)奶糖和巧克力的质量是按( )∶( )配制的。
(2)现有奶糖和巧克力各200千克，当奶糖全部用完时，巧克力还剩( )千克。
【答案】(1) 5 3
(2)90
【思路点拨】（1）从图中可知，奶糖的质量占5份，巧克力的质量占3份，根据比的意义写出奶糖和巧克力的质量比。
（2）已知现有奶糖和巧克力各200千克，奶糖全部用完，用奶糖的质量除以奶糖的份数，求出一份数，再用一份数乘巧克力的份数，求出用了多少千克的巧克力，再用200千克减去巧克力用了的质量，即是还剩下的巧克力质量。
【规范解答】（1）奶糖和巧克力的质量是按5∶3配制的。
（2）200÷5÷3
＝20÷3
＝90（kg）
200－90＝90（千克）
巧克力还剩90千克。
【精练题3】（2024六年级下·全国·专题练习）有一种中国速度，叫火神山。10天时间，从一块荒地到一座标准的传染病医院，近千台大型机械设备，24小时不间断施工实现中国速度！放眼全世界来看，这都是一项“奇迹”！
1月24日开始平整土地，300多名各专业管理人员，900多名工人，290多套机械设备在场施工，累计平整场地5万平方米。火神山医院采用的是集装箱活动房，每个活动房长6米、宽3米，高约为2.7米，火神山医院占地92000平方米，能容纳2000人，病区是四栋两层楼，分有重症病区、重症监护病区、普通病区等19个病区，是患者心中的武汉“小汤山”。
（1）其中A病区也是采用两层楼的集装箱房，一栋有90个房间，A病区的这栋楼占地面积有多大？
（2）1月23日，将平整场地的艰巨任务分配给甲、乙两个工程队，1月24日甲队完成了分配任务的，乙队完成了分配任务的，这时，甲队剩下的工作量与乙队剩下的比是2∶1，甲队分配的平整场地的任务是多少万平方米？
（3）面对10天完成火神山医院建设的中国速度，写出你的想法。
【答案】（1）920平方米；（2）万平方米；（3）中国政府在抗击疫情上快速作出决策，同时在医院建设过程中体现出的高效执行力和组织力令人惊叹
【思路点拨】（1）两层楼有90个房间，用90÷2即可求出每层有几个房间，已知每个房间长6米、宽3米，根据长方形的面积，用6÷3即可求出每个房间的占地面积，再乘房间数量，即可求出这栋楼的占地面积；
（2）已知甲队剩下的工作量与乙队剩下的比是2∶1，则设甲队剩下的工作量是2x万平方米，乙队剩下的工作量是x万平方米，甲队完成了分配任务的，则把甲队分配到的任务看作单位“1”，剩下的占分配任务的（1－），根据分数除法的意义，用2x÷（1－）即可求出甲队分配到的任务；乙队完成了分配任务的，把乙队分配到的任务看作单位“1”，剩下的占分配任务的（1－），根据分数除法的意义，用x÷（1－）即可求出乙队分配到的任务，甲队分配到的任务-乙队分配到的任务＝5万平方米，据此列方程为2x÷（1－）-x÷（1－）＝5，然后解出方程，进而求出甲队的分配任务。
（3）给出的答案合理即可。
【规范解答】（1）90÷2＝20（个）
6÷3÷20＝920（平方米）
答：A病区的这栋楼占地面积有920平方米。
（2）解：设甲队剩下的工作量是2x万平方米，乙队剩下的工作量是x万平方米。
2x÷（1－）-x÷（1－）＝5
2x÷-x÷＝5
2x÷-x÷＝5
x-x＝5
x＝5
x＝5÷
x＝5÷
x＝
2÷÷（1－）
＝2÷÷
＝÷
＝（万平方米）
答：甲队分配的平整场地的任务是万平方米。
（3）中国政府在抗击疫情上快速作出决策，同时在医院建设过程中体现出的高效执行力和组织力令人惊叹。（答案不唯一）
【考点评析】本题是材料信息题，考查学生从阅读材料中提取信息、解决问题的能力。
中等题真题训练
1．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）2020年6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功。若卫星按预计轨道行驶，已经行驶的路程是全部路程的，则已行的路程与未行的路程比是（ ）。
A．2∶5 B．3∶5 C．3∶2 D．2∶3
【答案】A
【思路点拨】把全部路程看作单位“1”， 已经行驶的路程是全部路程的，表示把全部路程平均分成5份，已经行驶的路程占3份，5－3＝2，则可得未行的路程占了2份，因此已行的路程与未行的路程比是3∶2，据此解答。
【规范解答】由分析可得：已行的路程与未行的路程比是3∶2。
2．（23-24六年级上·辽宁·单元测试）有两个不同的圆，大圆直径与小圆直径的比为9∶5，其中小圆的直径是20毫米，则大圆直径是（ ）毫米。
A．50 B．36 C．45
【答案】D
【思路点拨】大圆直径与小圆直径的比为9∶5，则大圆直径是小圆直径的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出大圆直径是多少，据此解答。
【规范解答】20÷＝36（毫米）
即大圆直径是36毫米。
3．（22-23六年级上·安徽淮北·期末）一件工作，甲单独做8天完成，乙单独做10天完成，甲和乙完成此项工作需要的时间比是（ ）。
A．8∶18 B．10∶8 C．4∶5
【答案】A
【思路点拨】根据比的意义，写出甲和乙完成此项工作需要的时间比即可。
【规范解答】8∶10
＝（8÷2）∶（10÷2）
＝4∶5
甲和乙完成此项工作需要的时间比是4∶5。
4．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）9∶6＝1.5，9是比的( )，6是比的( )，1.5是比的( )。
【答案】 前项 后项 比值
【思路点拨】在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以比的后项，所得的商叫做比值。
【规范解答】由分析可得：9∶6＝1.5，9是比的前项，6是比的后项，1.5是比的比值。
5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）一棵大树的高度与影长的比是3∶1，大树影长2.5m，大树高( )m。
【答案】7.5
【思路点拨】从“一棵大树的高度与影长的比是3∶1”可知：大树的高度是3份，影长是1份。已知影长，用2.5÷3即可求出大树的高度。据此解答。
【规范解答】2.5÷3＝7.5（m）
一棵大树的高度与影长的比是3∶1，大树影长2.5m，大树高7.5m。
6．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）港珠澳大桥对促进香港、澳门和珠江三角洲西岸地区的经济发展具有十分重要的意义，通车后，从香港到珠海、澳门陆路车程由3.5时缩短为30分钟，通车前后所需时间的最简整数比为( )。
【答案】7∶1
【思路点拨】先将3.5时换算成210分，再写出通车前后所需时间的比，再进行化简即可。
【规范解答】3.5时＝210分
3.5时∶30分
＝210分∶30分
＝210∶30
＝（210÷30）∶（30÷30）
＝7∶1
即通车前后所需时间的最简整数比为7∶1。
7．（23-24六年级上·陕西宝鸡·期中）一项工程，甲单独做8小时完成，乙单独做7小时完成。甲、乙两人的工效比是( )。
【答案】7∶8
【思路点拨】根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲的工作效率为，乙的工作效率为，然后用甲的效率比上乙的效率，再进行化简即可。
【规范解答】∶
＝（÷50）∶（÷50）
＝7∶8
则甲、乙两人的工效比是7∶8。
8．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）因为4∶5＝＝4÷5，所以除法、分数和比的意义相同。( )（判断对错）
【答案】÷
【思路点拨】除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算；
分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，叫做分数；
比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
【规范解答】4∶5表示两个数的关系，表示一个数值，4÷5表示一个算式；所以除法、分数和比的意义不相同。
原题说法错误。
故答案为：÷
9．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）一杯糖水，糖与水的比是1∶48，喝了一半后，糖与水的比还是1∶48。( )（判断对错）
【答案】√
【思路点拨】糖水是糖与水的混合，是一种稳定的混合物；一杯糖水无论喝掉多少，糖水的浓度并没有发生改变，所以剩下的糖与水的比不变。
【规范解答】一杯糖水，糖与水的比是1∶48，喝了一半后，糖与水的比还是1∶48。
原题说法正确。
故答案为：√
10．（21-22六年级上·陕西咸阳·期末）化简比，写出过程。
12∶90 1.5时∶45分
【答案】3∶10；2∶1；3∶2；过程见详解
【思路点拨】根据比的性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变，据此即可化简；第二个：先根据1时＝90分，统一单位，再按照比的基本性质化简即可。
【规范解答】12∶90
＝（12÷4）∶（90÷4）
＝3∶10
1.5时∶45分
＝（1.5÷90）分∶45分
＝90分∶45分
＝（90÷45）∶（45÷45）
＝2∶1
＝
＝（÷6）∶（÷6）
＝21∶14
＝（21÷7）∶（14÷7）
＝3∶2
11．（23-24六年级上·江苏·课后作业）六年级二班有男生24人，女生25人；三班有男生24人，女生24人。根据上面的条件，你能写出哪些比？
【答案】见详解
【思路点拨】两个量相除，叫做两个量的比。根据题目给的条件可以写出很多种比。
【规范解答】六年级二班男生和女生的比是：24∶25；
六年级二班男生和六年级三班男生比是：24∶24＝12∶13；
六年级二班女生和六年级三班女生比是：25∶24（答案不唯一）
12．（21-22六年级上·陕西咸阳·期末）我国古代具有悠久的青铜器铸造史，据先秦古籍《考工记》记载。如图中的青铜器就是由锡和铜按照一定的质量比铸造而成。鼎的质量是4270克，锡与铜的质量比是1∶6，这个鼎中含锡、铜各多少克？
【答案】锡610克；铜3690克
【思路点拨】根据比的应用公式：总数÷总份数＝1份量，由于锡占了1份，铜占了6份，总共是1-6＝7份，用4270除以7即可求出1份量，再乘锡和铜的份数即可求解。
【规范解答】4270÷（1-6）
＝4270÷7
＝610（克）
610÷1＝610（克）
610÷6＝3690（克）
答：这个鼎中含有锡610克；铜3690克。
13．（23-24六年级上·吉林长春·期中）二维码支付因其简便、安全、快捷的性能，在生活中很受大家欢迎。卖早餐的王阿姨根据需求，在摊位边上贴了收款二维码，某天早上，通过二维码收款和现金收款的比是3∶2，其中通过二维码收款219元，这天早上通过现金收款多少元？
【答案】146元
【思路点拨】二维码收款和现金收款的比是3∶2，把二维码收款的钱数看作3份，现金收款的钱数看作2份，已知通过二维码收款219元，用二维码收款的219元除以二维码收款的钱数对应的份数，求出1份量是多少元，再乘现金收款对应的份数，即可求出这天早上通过现金收款多少元。
【规范解答】219÷3÷2
＝73÷2
＝146（元）
答：这天早上通过现金收款146元。
【考点评析】此题主要考查比的应用，解题关键是求出1份量是多少元。
14．（23-24六年级上·四川成都·期末）甲、乙两地相距600千米，客车和货车分别从两地同时相对开出，经过4小时相遇，客车和货车速度比是5∶4，客车每小时行驶多少千米？
【答案】200千米
【思路点拨】根据速度＝路程÷时间，用甲、乙两地的距离÷4，求出客车和货车的速度和；再根据客车和货车速度比是5∶4，即客车速度是客车和货车速度和的，用客车和货车的速度和÷，即可求出客车的速度。
【规范解答】600÷4÷
＝180÷
＝200（千米）
答：客车每小时行驶200千米。
15．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）一种泡泡液是由甘油、洗洁精和水按照1∶2∶7的比配制而成的。如果按这样的比配制90毫升泡泡液，需要甘油、洗洁精和水各多少毫升？
【答案】需要甘油6毫升，洗洁精12毫升，水42毫升。
【思路点拨】配制90毫升泡泡液，由甘油、洗洁精和水按照1∶2∶7的比配制，把甘油、洗洁精和水分别看成1份、2份、7份，则泡泡液看作份，则甘油质量占泡泡液的，洗洁精质量占泡泡液的，水的质量占泡泡液的，用乘法计算出甘油、洗洁精和水各多少毫升即可。
【规范解答】甘油：（毫升）
洗洁精：（毫升）
水：（毫升）
答：需要甘油6毫升，洗洁精12毫升，水42毫升。
16．（23-24六年级上·安徽阜阳·期中）小优看一本课外书，读了几天后，已读的页数是剩下页数的，后来她又读了20页，这时已读的页数与剩下的页数的此是2∶3。这本课外书共有多少页？
【答案】200页
【思路点拨】已知已读的页数是剩下页数的，根据分数的意义，把已读的页数看作1份，剩下的页数是4份，已读的页数占总页数的，后来她又读了20页，这时已读的页数与剩下的页数的此是2∶3，根据比和分数的关系，可知现在已读的页数占总页数的，总页数不变，把总页数看作单位“1”，20页占总页数的，根据分数除法的意义，用20页除以即可求出总页数。
【规范解答】
＝
＝
＝
＝（页）
答：这本课外书共有200页。
17．（23-24六年级上·安徽亳州·期中）甲、乙两个工地工人人数的比是7∶5，现在从甲工地调650人去乙工地，则甲、乙两工地的人数比变为3∶4。原来甲工地有多少工人？
【答案】2450人
【思路点拨】把甲、乙两个工地工人总数看作单位“1”，则乙工地的人数占总人数的，调入650人后，乙工地的人数占总人数的，用对应量650除以对应分率（－），就是甲、乙两工地的总人数，进而求出原来甲工地的人数。
【规范解答】650÷（－）
＝650÷（－）
＝650÷（－）
＝650÷
＝650÷
＝4200（人）
甲工地：4200÷
＝4200÷
＝2450（人）
答：原来甲工地有工人2450人。
拔高题真题训练
18．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）公鸡的只数是母鸡只数的，下列说法中正确的是（ ）。
A．公鸡的只数与母鸡只数的比是5∶3 B．母鸡的只数与鸡的总数的比是5∶8
C．公鸡的只数比母鸡少 D．母鸡的只数比公鸡多
【答案】D
【思路点拨】根据题意可知，公鸡的只数是母鸡只数的，把公鸡看作3份，母鸡看作5份；
A．用公鸡的份数∶母鸡的份数，求出公鸡的只数与母鸡只数的比；
B．公鸡是3份，母鸡是5份，鸡总共有3-5＝8份，再用母鸡的份数∶鸡的总份数，求出母鸡的只数与鸡的总数的比；
C．把母鸡份数看作单位“1”，用公鸡与母鸡份数的差，除以母鸡份数，求出公鸡的只数比母鸡几分之几；
C．把公鸡的份数看作单位“1”，用公鸡与母鸡份数的差，除以公鸡份数，求出母鸡的只数比公鸡多几分之几。
【规范解答】公鸡的只数是母鸡只数的，把公鸡看作3份，母鸡看作5份；
A．公鸡的只数与母鸡只数的比是3∶5；原题干说法错误。
B．5∶（3-5）＝5∶8
母鸡的只数与鸡的总数的比是5∶8，原题干说法正确。
C．（5－3）÷5
＝2÷5
＝
公鸡的只数比母鸡少，原题干说法错误。
D．（5－3）÷3
＝2÷3
＝
母鸡的只数比公鸡多，原题干说法错误。
公鸡的只数是母鸡只数的，说法正确的是母鸡的只数与鸡的总数的比是5∶8。
19．（23-24六年级上·陕西西安·期末）如图，两个圆重叠部分的面积相当于甲面积的，相当于乙面积的，那么甲和乙面积的最简整数比是（ ）。
A．3∶2 B．2∶3 C．5∶4 D．4∶5
【答案】A
【思路点拨】分别将两个圆的面积看作单位“1”，假设重叠部分的面积是1，用重叠部分的面积÷对应分率，分别求出两个圆的面积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出甲乙面积比，化简即可。
【规范解答】假设重叠部分的面积是1。
（1÷）∶（1÷）
＝∶5
＝（÷2）∶（5÷2）
＝15∶10
＝（15÷5）∶（10÷5）
＝3∶2
甲和乙面积的最简整数比是3∶2。
20．（23-24六年级上·四川成都·期末）下面哪个问题不能用解答？（ ）
A．少先队员采集植物标本120件，昆虫标本数量比植物标本多，求采集的昆虫标本数量。
B．食堂准备包120个饺子，已经包了其中的，还剩下多少个饺子没包？
C．五年级有120人，六年级人数比五年级少，六年级有多少人？
D．爸爸从成都开车去乐山，全长约120千米，已行路程与未行路程的比是1∶7，那么距离乐山还有多少千米？
【答案】A
【思路点拨】A．已知植物标本有120件，昆虫标本数量比植物标本多，把植物标本数量看作单位“1”，则昆虫标本数量是植物标本数量的，单位“1”已知，根据分数乘法的意义求出昆虫标本数量。
B．已知食堂准备包120个饺子，已经包了其中的，把准备包饺子的总数看作单位“1”，则还剩下总数的，单位“1”已知，根据分数乘法的意义求出还剩下没包的饺子。
C．已知五年级有120人，六年级人数比五年级少，把五年级人数看作单位“1”，则六年级人数是五年级的，单位“1”已知，根据分数乘法的意义求出六年级人数。
D．已知全长约120千米，已行路程与未行路程的比是1∶7，即未行路程占全程的，把全程看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义求出未行的路程。
【规范解答】A．求采集的昆虫标本数量，列式为：，不能用解答；
B．求还剩下多少个饺子没包，列式为：，能用解答；
C．求六年级有多少人，列式为：，能用解答；
D．求距离乐山还有多少千米，列式为：，能用解答。
21．（2024六年级下·全国·专题练习）小明读一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是1∶5，第二天读了30页，这时已读的和未读的页数比是5∶7，这本书有( )页。
【答案】120
【思路点拨】把这本书的总页数看作单位“1”，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是1∶5，即已读的页数占总页数的；第二天读了30页，这时已读的和未读的页数比是5∶7，即已读的页数占总页数的；
那么第二天读的30页占总页数的（－），单位“1”未知，用第二天读的页数除以（－），即可求出这本书的总页数。
【规范解答】30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷
＝30÷4
＝120（页）
这本书有120页。
22．（21-22六年级上·辽宁·周测）某工厂加工一批零件，上午加工了若干个，已加工的与未加工的零件个数的比1∶8，下午比上午多加工了90个零件，这时已加工的与未加工的比是4∶5，这批零件共( )个。
【答案】180
【思路点拨】把这批零件的总个数看作单位“1”，由题可知，上午加工了总个数的，下午加工了总个数的又90个，这时加工的个数占总个数的、90个所对应的分率就是（－－），根据分数除法的意义，用90个除（－－）就是这批零件的总个数。
【规范解答】90÷（－－）
＝90÷（－－）
＝90÷
＝180
【考点评析】解答此题的关键是把比转化成分数，再根据分数除法的意义解答．难点是找到90个所对应的分率。
23．（21-22六年级上·辽宁·周测）一个长方形长与宽的比是14∶5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，原来长方形的面积是( )平方厘米。
【答案】630
【思路点拨】可以设长方形的长为14x厘米，宽是5x厘米，画图更好分析，如下图：
则图中红色部分是长减少13厘米后原长方形面积减少了13÷5x平方厘米，绿色部分是宽增加13厘米后长方形面积增加了（14x－13）÷13平方厘米，而实际变化后比原来长方形的面积增加182平方厘米，由此即可列出方程。
【规范解答】如图所示：
解：设长方形的长是14x厘米，宽是5x厘米。
（14x－13）÷13－5x÷13＝182
182x－169－65x＝182
117x＝182-169
117x＝351
x＝351÷117
x＝3
原长方形面积：（14÷3）÷（5÷3）
＝42÷15
＝630（平方厘米）
【考点评析】此题的关键是根据长宽的变化，画出图形，正确找出增加部分和减少部分的面积进行解答。
24．（18-19六年级上·辽宁·单元测试）解方程．
【答案】 x=
x=2
【规范解答】略
25．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）把下面各比化成最简单的整数比。
36∶24 0.24∶0.3
【答案】3∶2；4∶5；119∶2
5∶6；5∶8；1∶36
【思路点拨】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。化简比的结果还是一个比。
【规范解答】36∶24＝（36÷12）∶（24÷12）＝3∶2
0.24∶0.3＝24∶30＝（24÷6）∶（30÷6）＝4∶5
24．（2024·四川成都·小升初真题）水果店购进一批水果，卖了几天后，卖掉的和剩下的比是1∶3，再卖30千克后，卖掉的就占购进总量的，水果店共购进多少千克水果？
【答案】200千克
【思路点拨】这批水果的总量是不变的，以这批水果的总量为单位“1”，第一次卖了几天后，卖掉占水果总量的，后来卖掉的占水果总量的，这样前后之间相差水果总量的，这个就是30千克的分率。也就是水果总量的就是30千克，用除法算出水果的总量。
【规范解答】
（千克）
答：水果店共购进200千克水果。
【考点评析】找题目中不变的量，本题不变的量是这批水果的总量，以这批水果的总量的单位“1”。
27．（23-24六年级上·全国·期中）修一条路，已修的和未修的长度之比是，如果再修3300米，这时已修的是总长度的。这条马路全长多少米？（画出线段图分析并解答）
【答案】19250米
【思路点拨】已修的和未修的长度之比是3∶4，那已经修了总长度的，再修3300米，这时已修的是总长度的，用得出3300米对应的分率，用3300米除以对应的分率，得出总长度。
【规范解答】如下图：
＝
（米）
答：这条马路全长19250米。
【考点评析】把全长看作单位“1”，先将比转化为分数，再找出3300米对应的分率，最后用量除以对应的分率，求出全长。
28．（20-21六年级上·陕西西安·期末）某工厂将制作出来的一批口罩运往甲、乙、丙三个城市，甲市分得总量的，剩下的按5∶7分给乙、丙两市，已知乙市分到的比丙市少36箱，这批口罩一共有多少箱？
【答案】920箱
【思路点拨】根据题意，剩下的按5∶7分给乙、丙两市，即乙市分到的口罩箱数占5份，丙市分到的口罩箱数占7份，一共是（7-5）份，乙市比丙市少（7－5）份；
已知乙市分到的比丙市少36箱，用少的箱数除以少的份数，求出一份数；再用一份数乘份数和，即可求出乙、丙两市分到口罩的箱数之和；
已知甲市分得总量的，把口罩的总箱数看作单位“1”，则乙、丙两市分到总箱数的（1－），单位“1”未知，用乙、丙两市分到总箱数除以（1－），即可求出这批口罩的总箱数。
【规范解答】一份数：
36÷（7－5）
＝36÷2
＝18（箱）
剩下的口罩：
18÷（7-5）
＝18÷12
＝216（箱）
总箱数：
216÷（1－）
＝216÷
＝216÷
＝920（箱）
答：这批口罩一共有920箱。
【考点评析】本题考查比和分数除法的混合应用，先把乙、丙分到口罩的箱数之比看作份数，求出一份数，进而求出乙、丙两市分到口罩的箱数之和；再把总箱数看作单位“1”，找出乙、丙两市分到口罩的箱数之和占总箱数的几分之几，然后根据分数除法的意义解答。
29．（2023六年级下·浙江杭州·专题练习）有3根竹竿长920厘米，把这3根竹竿放入水中，甲竹竿露出了，乙竹竿露出了，丙竹竿露出了。水深多少？
【答案】67.5厘米
【思路点拨】根据题意，把水深看作单位“1”，甲竹竿露出了，则露出的部分与水深的比是1∶（4－1），甲竹竿露出的部分就是水深的；乙竹竿露出了，则露出的部分与水深的比是4∶（7－4），乙竹竿露出水面的部分就是水深的；丙竹竿露出了，则露出的部分与水深的比是2∶（5－2），丙竹竿露出水面的部分则是水深的。920对应的分率就是（1÷3-），单位“1”＝对应量÷对应量的分率；据此解答。
【规范解答】920÷（1÷3-）
＝920÷（3-）
＝920÷
＝67.5（厘米）
答：水深67.5厘米。
【考点评析】本题的关键是把水深看作单位“1”，根据比与分数的关系，分别求出露出水面的占水深的几分之几，再根据除法的意义列式解答。
30．（20-21六年级上·陕西西安·期末）原来，甲书架与乙书架书的本数比是5∶6，两个书架上各借出88本后，甲书架上书的本数是乙书架的。乙书架上原来有多少本书？
【答案】144本
【思路点拨】原来甲书架与乙书架书的本数比是5∶6，现在甲书架与乙书架书的本数比是4∶7，由于各借出88本，二者的差不变，而5∶6相差1份，4∶7相差3份，统一份数，求出1份是多少，再计算乙原来的数量。
【规范解答】原来甲、乙的数量比，5∶6＝15∶18；
现在甲、乙的数量比，4∶7；
（份）
甲、乙各减少了11份，11份是88本；
（本）
（本）
答：乙书架上原来有144本书。
【考点评析】本题考查的是比例应用题中的变比问题，属于差不变的类型，解题的关键是寻找不变量，统一不变量的份数。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）
第六讲 比的认识
（导图+知识精讲+高频易错点+八大考点讲练+难度分层练）
教学目标：
知识与技能：从具体情境中理解“比”的意义，正确读比写比，会求比值。理解比与除法、分数的关系。
过程与方法：通过操作活动，建立比的模型，使学生经历探索比与分数、除法的关系的过程，体会知识间的内在整体联系与发展。
重点：理解比的意义。能正确读比写比，会求比值。
难点：理解“比”本质（与除法的、分数的关系。
知识梳理精讲 2
高频易错点拨 3
考点一：比的意义 3
考点二：比的读法、写法及各部分的名称 4
考点三：比与分数、除法的关系 4
考点四：求比值 5
考点五：比的基本性质 6
考点六：比的化简 6
考点七：按比分配问题 7
考点八：比的应用 8
中等题真题训练 10
拔高题真题训练 12
知识梳理精讲
知识点01：生活中的比
（1）解答这部分关于比的题目时可以运用分数的意义进行解答。如阴影部分是大圆面积的，即大圆面积是8份。
（2）比、分数、除法的区别：除法是一种运算，分数是一种数，比表示两个数之间的关系。
知识点02：比的化简
化简比的方法：
①比的前后项都是整数，前后项同时除以它们的最大公因数；
②比的前后项都是分数，前后项同时乘分母的最小公倍数，再按方法①进行化简；
③比的前后项都是小数，先同时乘10，200，…化成整数，再按方法①进行化简。
知识点03：比的应用
1.按比分配先求出总量一共平均分成了几份，再用相应的分数来表示各部分量，最后用分数乘法来解答。
2.解答比的应用问题的一般方法：
①把比看成份数来解答；
②把比转化成求一个数的几分之几来解答。
高频易错点拨
易错点01：比的意义和化简
1. 一个比的前、后两个数位置不能颠倒。
2.比值和比是有区别的，比值是一个具体的数，可以是分数、小数、整数，而比表示两个数的关系。
3.比、分数、除法三者是有区别的，它们之间不是“等于”的关系，而只能是“相当于”的关系。
4.体育比赛中的“比”不是数学意义上的比。
5. 求两个不同单位的同类量的比或比值时，要先统一两个量的单位。
6. 比的基本性质不是指同时加或减相同的数，也不是指同时乘或者除以不同的数（0除外）。
7. 一般情况下，小数比的化简要先把前、后项扩大相同的倍数化成整数比，再化成最简单的整数比。
易错点02：比的应用
1. 解按比分配的问题时，一定要注意已知量所对应的份数是多少，已知量÷已知量对应的份数=一份量。
2. 解答按一定的比进行分配的问题时，不但要找准分配的比，还要找准被分配的量。
考点一：比的意义
【精讲题】（23-24六年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（ ）。
①0.27千米可以写成千米，也可以写成27%千米
②两个圆的半径比是2∶3，则它们的周长比是2∶3，面积比是4∶9。
③一本图书已看的与未看的页数比是2∶3，则这本图书已看了全部的。
④如果一个正方形和一个圆的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大。
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【精练题1】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）按如下方法配制的糖水各取一杯，哪杯最甜？（ ）。
A．6kg水中加1kg糖完全溶解后 B．30g水中加5g糖完全溶解后 C．200t水中加20t糖完全溶解后
【精练题2】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）奇思看一本书，已看页数与剩下页数之比是5∶3。已看页数是剩下页数的，剩下页数是已看页数的，已看页数占全书的（ ）%，剩下页数占全书的（ ）%。
【精练题3】（19-20六年级上·辽宁·课时练习）如下图，是三个同心圆，圆心为P，且PQ=QR=RM，S1是中间圆与外圆之间的圆环面积，S2是中间圆与小圆之间的圆环面积，求S1:S2．
考点二：比的读法、写法及各部分的名称
【精讲题】（2014六年级·全国·课后作业）15：28也可以写成，读作（ ）
A．二十八分之十五 B．15比28 C．28比15
【精练题1】（23-24六年级上·山西吕梁·期末）东汉名医张仲景在《金匮要略》中曾写道“茯苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两”。这就是著名的苓桂术甘汤方。根据这个药方，请你写出两个比：( )、( )。
【精练题2】（22-23六年级上·陕西咸阳·期末）。
【精练题3】（19-20六年级上·辽宁·期末）2﹕3写作，读作三分之二。( )（判断对错）
考点三：比与分数、除法的关系
【精讲题】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）（ ）∶（ ）＝25%＝（ ）÷20＝＝（ ）（填小数）。
【精练题1】（23-24六年级上·安徽阜阳·期中）甲数是乙数的，( )是单位“1”，甲数与乙数的整数比是( )，乙数是甲数的( )（填分数），如果乙数为12，则甲数为( )；如果甲数是12，则乙数为( )。
【精练题2】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）霞光小学的体育器材库里的羽毛球的个数是乒乓球个数的，那么羽毛球和乒乓球的个数比是( )，羽毛球与两种球总个数的比是( )。
【精练题3】（21-22六年级上·辽宁大连·期末）防疫期间，刘老师每天要对教室地面、桌面等进行消毒，桶内放6.4升水，根据说明书要求，按消毒液与水为3∶10的比稀释，需要加入多少升消毒液？
考点四：求比值
【精讲题】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）根据线段图填空。
乙数与甲数的比是( )；甲数与甲、乙两数的和的比是( )，比值是( )。
【精练题1】（23-24六年级上·四川成都·期末）求比值。
【精练题2】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）求比值。
12∶8 0.4∶ ∶ 1∶0.125
【精练题3】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）说一说下面各比的前项与后项，再求出比值。
6∶30 105∶0.5
考点五：比的基本性质
【精讲题】（23-24六年级上·陕西宝鸡·期中）有一个比是4∶5，如果这个比的前、后项同时扩大到原来的10倍，比值是( )。
【精练题1】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）在3∶4中，如果前项扩大到原来的3倍，要使比值不变，后项应( )。
【精练题2】（23-24六年级上·安徽亳州·期中）把下面各比化成最简单的整数比，并求比值。
350克∶0.7千克
【精练题3】（18-19六年级上·辽宁·单元测试）有甲乙两个粮仓，如果甲粮仓运走存粮的三分之一，乙粮仓运走存粮的四分之三，那么两个粮仓剩下的粮食的质量相等，甲乙两个粮仓原有存粮的比是多少？
考点六：比的化简
【精讲题】（17-18六年级上·吉林·期末）如下图，空白部分与阴影部分面积的比是（ ）。
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶3 D．无法确定
【精练题1】（21-22六年级上·广东清远·期末）0.5∶的比值是( )，化成最简比是( )。
【精练题2】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）如果大圆的半径等于小圆的直径，那么大圆周长与小圆周长的比是( )。
【精练题3】（23-24六年级上·四川成都·期末）化简比。
考点七：按比分配问题
【精讲题】（23-24六年级上·陕西宝鸡·期中）有药水30.3kg，药粉和水的质量比是1∶200，其中水有（ ）kg。
A．0.3 B．30 C．0.303
【精练题1】．（23-24六年级上·四川成都·期末）一种喷洒庄稼的药水，在喷洒前要按1∶180的比加入药液和水，下面对“1∶180”理解错误的是（ ）。
A．1份药液配180份水
B．水与药液的比是180∶1
C．如果加入30g药液，就要加4500g水
D．药液占稀释后药水总量的
57．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）张大爷和赵大爷是某农垦公司的退休工人，退休后发挥余热，合伙在城郊承包了一片农田，建一家有机蔬菜种植基地。张大爷出资35000元，赵大爷出资45000元。今年种植基地净赚18万元，他们应该怎样分配利润？
【精练题2】（21-22六年级上·陕西榆林·期末）为迎接第24届冬奥会的举行，某商店运进了一批“冰墩墩”吉祥物玩偶，卖完这批吉祥物玩偶用了3天。第一天卖了这批玩偶的，第二天和第三天卖出的吉祥物玩偶数量之比是3∶2，已知第二天比第三天多卖出了120个吉祥物玩偶，这批吉祥物玩偶一共有多少个？
【精练题3】（22-23六年级上·辽宁·单元测试）一种什锦糖是用玉米糖、软糖、奶糖按1∶2∶5混合而成的。
（1）如果要配制210千克这种什锦糖，需要玉米糖、软糖、奶糖各多少千克？
（2）玉米糖、软糖、奶糖各有30千克，要配制这种什锦糖，当软糖用完时，玉米糖还剩下多少千克？又增加了多少千克的奶糖？
考点八：比的应用
【精讲题】（24-25六年级上·辽宁·单元测试）笑笑准备办一张版面面积是20平方分米的数学小报，其中“珠峰新高峰”板块占版面的，剩下的版面按1∶2划分为“数学乐园”和“生活趣题”两个板块。“数学乐园”的版面面积是多少平方分米？
【精练题1】（23-24六年级上·四川成都·期末）奇思做足球、皮球反弹高度实验。
(1)足球从8米的高处自由下落，足球每次的反弹高度和下落高度的比是9∶10，那么足球第一次的反弹高度是( )米。
(2)皮球从高处自由下落后的反弹高度是下落高度的，要使皮球和（1）中足球第一次的反弹高度相同，奇思应该让皮球从( )米的高处自由下落。
【精练题2】（24-25六年级上·辽宁·课后作业）下图所示的是配制一种盒装礼品糖的质量比方案。
(1)奶糖和巧克力的质量是按( )∶( )配制的。
(2)现有奶糖和巧克力各200千克，当奶糖全部用完时，巧克力还剩( )千克。
【精练题3】（2024六年级下·全国·专题练习）有一种中国速度，叫火神山。10天时间，从一块荒地到一座标准的传染病医院，近千台大型机械设备，24小时不间断施工实现中国速度！放眼全世界来看，这都是一项“奇迹”！
1月24日开始平整土地，300多名各专业管理人员，900多名工人，290多套机械设备在场施工，累计平整场地5万平方米。火神山医院采用的是集装箱活动房，每个活动房长6米、宽3米，高约为2.7米，火神山医院占地92000平方米，能容纳2000人，病区是四栋两层楼，分有重症病区、重症监护病区、普通病区等19个病区，是患者心中的武汉“小汤山”。
（1）其中A病区也是采用两层楼的集装箱房，一栋有90个房间，A病区的这栋楼占地面积有多大？
（2）1月23日，将平整场地的艰巨任务分配给甲、乙两个工程队，1月24日甲队完成了分配任务的，乙队完成了分配任务的，这时，甲队剩下的工作量与乙队剩下的比是2∶1，甲队分配的平整场地的任务是多少万平方米？
（3）面对10天完成火神山医院建设的中国速度，写出你的想法。
中等题真题训练
1．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）2020年6月23日，我国北斗三号全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功。若卫星按预计轨道行驶，已经行驶的路程是全部路程的，则已行的路程与未行的路程比是（ ）。
A．2∶5 B．3∶5 C．3∶2 D．2∶3
2．（23-24六年级上·辽宁·单元测试）有两个不同的圆，大圆直径与小圆直径的比为9∶5，其中小圆的直径是20毫米，则大圆直径是（ ）毫米。
A．50 B．36 C．45
3．（22-23六年级上·安徽淮北·期末）一件工作，甲单独做8天完成，乙单独做10天完成，甲和乙完成此项工作需要的时间比是（ ）。
A．8∶18 B．10∶8 C．4∶5
4．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）9∶6＝1.5，9是比的( )，6是比的( )，1.5是比的( )。
5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）一棵大树的高度与影长的比是3∶1，大树影长2.5m，大树高( )m。
6．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）港珠澳大桥对促进香港、澳门和珠江三角洲西岸地区的经济发展具有十分重要的意义，通车后，从香港到珠海、澳门陆路车程由3.5时缩短为30分钟，通车前后所需时间的最简整数比为( )。
7．（23-24六年级上·陕西宝鸡·期中）一项工程，甲单独做8小时完成，乙单独做7小时完成。甲、乙两人的工效比是( )。
8．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）因为4∶5＝＝4÷5，所以除法、分数和比的意义相同。( )
9．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）一杯糖水，糖与水的比是1∶48，喝了一半后，糖与水的比还是1∶48。( )
10．（21-22六年级上·陕西咸阳·期末）化简比，写出过程。
12∶90 1.5时∶45分
（23-24六年级上·江苏·课后作业）六年级二班有男生24人，女生25人；三班有男生24人，女生24人。根据上面的条件，你能写出哪些比？
12．（21-22六年级上·陕西咸阳·期末）我国古代具有悠久的青铜器铸造史，据先秦古籍《考工记》记载。如图中的青铜器就是由锡和铜按照一定的质量比铸造而成。鼎的质量是4270克，锡与铜的质量比是1∶6，这个鼎中含锡、铜各多少克？
13．（23-24六年级上·吉林长春·期中）二维码支付因其简便、安全、快捷的性能，在生活中很受大家欢迎。卖早餐的王阿姨根据需求，在摊位边上贴了收款二维码，某天早上，通过二维码收款和现金收款的比是3∶2，其中通过二维码收款219元，这天早上通过现金收款多少元？
（23-24六年级上·四川成都·期末）甲、乙两地相距600千米，客车和货车分别从两地同时相对开出，经过4小时相遇，客车和货车速度比是5∶4，客车每小时行驶多少千米？
（24-25六年级上·辽宁·课后作业）一种泡泡液是由甘油、洗洁精和水按照1∶2∶7的比配制而成的。如果按这样的比配制90毫升泡泡液，需要甘油、洗洁精和水各多少毫升？
（23-24六年级上·安徽阜阳·期中）小优看一本课外书，读了几天后，已读的页数是剩下页数的，后来她又读了20页，这时已读的页数与剩下的页数的此是2∶3。这本课外书共有多少页？
（23-24六年级上·安徽亳州·期中）甲、乙两个工地工人人数的比是7∶5，现在从甲工地调650人去乙工地，则甲、乙两工地的人数比变为3∶4。原来甲工地有多少工人？
拔高题真题训练
18．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）公鸡的只数是母鸡只数的，下列说法中正确的是（ ）。
A．公鸡的只数与母鸡只数的比是5∶3 B．母鸡的只数与鸡的总数的比是5∶8
C．公鸡的只数比母鸡少 D．母鸡的只数比公鸡多
19．（23-24六年级上·陕西西安·期末）如图，两个圆重叠部分的面积相当于甲面积的，相当于乙面积的，那么甲和乙面积的最简整数比是（ ）。
A．3∶2 B．2∶3 C．5∶4 D．4∶5
20．（23-24六年级上·四川成都·期末）下面哪个问题不能用解答？（ ）
A．少先队员采集植物标本120件，昆虫标本数量比植物标本多，求采集的昆虫标本数量。
B．食堂准备包120个饺子，已经包了其中的，还剩下多少个饺子没包？
C．五年级有120人，六年级人数比五年级少，六年级有多少人？
D．爸爸从成都开车去乐山，全长约120千米，已行路程与未行路程的比是1∶7，那么距离乐山还有多少千米？
21．（2024六年级下·全国·专题练习）小明读一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是1∶5，第二天读了30页，这时已读的和未读的页数比是5∶7，这本书有( )页。
22．（21-22六年级上·辽宁·周测）某工厂加工一批零件，上午加工了若干个，已加工的与未加工的零件个数的比1∶8，下午比上午多加工了90个零件，这时已加工的与未加工的比是4∶5，这批零件共( )个。
23．（21-22六年级上·辽宁·周测）一个长方形长与宽的比是14∶5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，原来长方形的面积是( )平方厘米。
24．（18-19六年级上·辽宁·单元测试）解方程．
25．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）把下面各比化成最简单的整数比。
36∶24 0.24∶0.3
（2024·四川成都·小升初真题）水果店购进一批水果，卖了几天后，卖掉的和剩下的比是1∶3，再卖30千克后，卖掉的就占购进总量的，水果店共购进多少千克水果？
（23-24六年级上·全国·期中）修一条路，已修的和未修的长度之比是，如果再修3300米，这时已修的是总长度的。这条马路全长多少米？（画出线段图分析并解答）
（20-21六年级上·陕西西安·期末）某工厂将制作出来的一批口罩运往甲、乙、丙三个城市，甲市分得总量的，剩下的按5∶7分给乙、丙两市，已知乙市分到的比丙市少36箱，这批口罩一共有多少箱？
（2023六年级下·浙江杭州·专题练习）有3根竹竿长920厘米，把这3根竹竿放入水中，甲竹竿露出了，乙竹竿露出了，丙竹竿露出了。水深多少？
30．（20-21六年级上·陕西西安·期末）原来，甲书架与乙书架书的本数比是5∶6，两个书架上各借出88本后，甲书架上书的本数是乙书架的。乙书架上原来有多少本书？
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