(共12张PPT)
规范解答五 统计与概率
典例(2024新高考Ⅱ,18,17分)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.
(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
切入点:阅读理解题意,明确比赛规则,转化为相互独立事件同时发生的概率问题.
(2)假设0
(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,则该由谁参加第一阶段比赛
关键点:分别计算甲、乙参加第一阶段比赛成绩为15分的概率,作差比较大小.
(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛
关键点:分别计算甲、乙参加第一阶段比赛成绩的数学期望,作差比较大小.
题意理解
序号 解题入门 破题环节
1 若3次都未投中,则该队被淘汰 只有三次均未投中才淘汰
2 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和 第一阶段只决定是否淘汰,第二阶段才计算得分
3 甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分 甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次
4 使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分 即第一阶段至少投中1次,且第二阶段3次都投中
5 使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大 分类讨论,每类情况下先列出成绩的所有可能取值,并计算概率,再计算期望
解 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,
不少于5分,所以第一阶段必须过关,且第二阶段至少投中1次
当类似题目中分类求解情况较多时,可以考虑其对立事件
(1-p)3表示甲参加第一阶段比赛被淘汰的概率,q3表示乙参加第二阶段比赛3次投中的概率
作差比较,并进行因式分解,转化为若干个能判断正负的项的积
(ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,比赛成绩X(单位:分)的所有可能的取值为0,5,10,15,
3.第(2)问:(ⅰ)首先各自计算出P甲=[1-(1-p)3]q3,P乙=[1-(1-q)3]·p3,再作差因式分解即可判断;(ⅱ)首先得到X和Y的所有可能取值,再按步骤列出分布列,计算出各自期望,再次作差比较大小即可.
4.本题第二问的关键是计算出相关概率和期望,采用作差法并因式分解从而比较出大小关系,最后得到结论.(共19张PPT)
培优拓展(十三)概率与数列
概率统计与数列的交汇涉及的知识广泛,内涵丰富,是近年来高考命题的热点,主要有以下类型:(1)求数列的通项公式;(2)证明数列是等比数列或等差数列;(3)与数列求和相结合;(4)利用等差数列、等比数列的性质,研究单调性、最值等.
角度一 概率与数列的证明、通项公式问题
例1(2024河北石家庄模拟)甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球,现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复进行n(n∈N*)次这样的操作,记第n次操作后,口袋甲中黑球的个数为Xn,恰有1个黑球的概率为pn.
(1)求p1,p2的值;
(2)证明: 是等比数列,并求pn的值(用n表示);
(3)证明:Xn的数学期望E(Xn)为定值.
(1)解 设第n次操作后,口袋甲中恰有2个黑球的概率为qn,则恰有0个黑球的概率为1-pn-qn.
所以Xn的分布列为
[对点训练1](2024山东聊城一模)如图,一个正三角形被分成9个全等的三角形区域,分别记作A,B1,P,B2,C1,Q1,C2,Q,C3.一个机器人从区域P出发,每经过1秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域(有公共边的区域),且到不同相邻区域的概率相等.
(1)分别写出经过2秒和3秒机器人所有可能位于的区域;
(2)求经过2秒机器人位于区域Q的概率;
(3)求经过n秒机器人位于区域Q的概率.
解 (1)经过2秒机器人可能位于的区域为P,Q1,Q,
经过3秒机器人可能位于的区域为A,B1,B2,C1,C2,C3.
(2)若经过2秒机器人位于区域Q,则经过1秒时,机器人必定位于区域B2,
(3)机器人的运动路径为P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→…,
设经过n秒机器人位于区域Q的概率为Pn,则当n为奇数时,Pn=0.
当n为偶数时,由对称性可知,经过n秒机器人位于区域Q的概率与位于区域Q1的概率相等,均为Pn,故经过n秒机器人位于区域P的概率为1-2Pn.
角度二 概率与数列的求和问题
例2(2024黑龙江哈尔滨一模)为调查某地景区的客流量情况,现对某一时间段A景区的部分游客作问卷调查,经统计,其中75%的游客计划只游览A景区,另外25%的游客计划既游览A景区又游览B景区.为提高游客的旅游热情,景区将为游客发放文旅纪念品,每位游客若只游览A景区,则得到1份文旅纪念品;若既游览A景区又游览B景区,则获得2份文旅纪念品.假设每位游客游览A景区与是否游览B景区是相互独立的,用频率估计概率.
(1)从A景区的游客中随机抽取3人,记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的分布列及数学期望;
(2)从A景区的游客中随机抽取n人,记这n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为n+1个的概率为an,求{an}的前n项和Sn;
(3)从A景区的游客中随机抽取100人,这些游客得到纪念品的总个数恰为m个的概率为bm,当bm取最大值时,求m的值.
所以X的分布列为
[对点训练2](2024江苏扬州模拟)某公司开发了一款学习类的闯关益智游戏,每一关的难度分别有Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三级,并且下一关的难度与上一关的难度有关,若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ,则下一关的难度依次是Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率
分别为 ,若上一关的难度是Ⅲ,则下一关的难度依次是Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为 ,已知第1关的难度为Ⅰ.
(1)求第3关的难度为Ⅲ的概率;
(2)用Pn表示第n关的难度为Ⅲ的概率,求Pn;
(3)设 (n≥2),记f(n)=a2+a3+…+an,且f(n)≥λ对任意n≥2,n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.(共18张PPT)
培优拓展(十四)概率统计与函数、导数
概率统计与函数、导数交汇问题也是高考命题的一个热点,属于综合性较强的试题,题目多以概率统计的实际应用为主体,在涉及求概率、期望的最值或范围问题时,需要用导数或函数的方法解决,难度较大.
角度一 概率统计与函数的综合
例1(2023新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
解 (1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×5=0.01,
由未患病者频率分布直方图可得
q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035=3.5%.
(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,
∴f(c)=-0.008c+0.82>0.02;
当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002, ∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.
故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.
角度二 概率统计与导数的综合
例2(2024河南三门峡模拟)为了普及奥运知识,M大学举办了一次奥运知识竞赛,竞赛分为初赛与决赛,初赛通过后才能参加决赛.
(1)初赛从6道题中任选2题作答,2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题,用X表示小王在初赛中答对的题目个数,求X的数学期望以及小王在已经答对1道题的前提下,仍未进入决赛的概率;
(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩,对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下:已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次,中奖1次奖励120元,中奖2次奖励180元,中奖3次奖励360元,若3次均未中奖,则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p(0(ⅰ)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f(p),求f(p)的极大值;
(ⅱ)M大学数学系共有9名大学生进入了决赛,若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120元,试求此时p的取值范围.
针对训练
1.(2024浙江杭州模拟)为选拔培养对象,某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.
(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学,从这7名学员中选取3人,用ξ表示选取的人中来自A中学的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动,规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲、乙两名同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为p1,p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.当p1+p2= 时,求甲、乙两名同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.
解 (1)由题可知,ξ服从超几何分布,且N=7,M=3,n=3.
(2)用χ表示甲答对题数,由题可知χ~B(2,p1);
用η表示乙答对题数,由题可知η~B(2,p2).设A=“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,
2.(2024江苏南通模拟)“踩高跷,猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬文化传统,在元宵节举办形式多样的猜灯谜活动.
(1)某商户借“灯谜”活动促销,将灯谜按难易度分为B,C两类,抽到B类灯谜并答对,则购物打八折优惠;抽到C类灯谜并答对,则购物打七折优惠.抽取灯谜规则如下:在一不透明的纸箱中有8张完全相同的卡片,其中3张写有A字母,3张写有B字母,2张写有C字母,顾客每次不放回地从箱中随机取出1张卡片,若取到写有A的卡片,则再取1次,直至取到写有B或C的卡片为止,求该顾客取到写有B的卡片的概率.
(2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜,规定只能取一次,并且只可以向前走,不能回头,他在街道上一共会遇到n条灯谜(不妨设每条灯谜的适合度各不相同),最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,小明准备采用如下策略:不取前k(1≤k①若n=4,k=2,求P;
②当n趋向于无穷大时,从理论的角度,求P的最大值及P取最大值时t的值.
解 (1)设M=“该顾客取到写有B的卡片”,则由题可知
(2)①设A=“小明摘到那条最适合的灯谜”.
由题可知,试验的样本空间包含的样本点个数为n(Ω)= =24,且每个样本点都是等可能的.
要摘到最适合的灯谜,有以下两种情况:
最适合的灯谜是第3条,其他的灯谜随意在哪个位置,有 =6(种)情况;
最适合的灯谜是最后1条,第二适合的灯谜是第1条或第2条,其他的灯谜随意在哪个位置,有 =4(种)情况,所以n(A)=6+4=10,所以
②设Bj=“最适合的灯谜排在第j条”(j=1,2,…,n),
因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等,