四川省万源中学高2026届第二次月考试题（高二·上）
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角大小为（ ）
A. B. C. D.
2.设向量，，若，则（ ）
A. B. C.1 D.2
3.椭圆x2＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±2，0) B．(0，±2) C．(±，0) D．(0，±)
4.直线与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
5.若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．恰好有一个黑球与都是红球
C．至少有一个黑球与都是红球 D．恰好有两个黑球与至少一个红球
8.在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ）
A．设为空间的一组基底，且则四点共面
B．若非零向量，满足则有
C．与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
10.若方程所表示的曲线为，则（ ）
A．曲线可能是圆
B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
C．若，则为椭圆
D．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12. 已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
13.无论为何值，直线过定点_______.
14. 若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为______.
四、解答题：本题共5个小题，共77分，其中15题13分，16-17题每道15分，18-19题每道17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（本小题满分13分）
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
①焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，且经过点(4，3)；
②经过两点P1，P2．
16.（本小题满分15分）
已知△ABC的顶点B(－2，0)，AB边上的高所在直线的方程为x＋3y－26＝0．
(1)求直线AB的一般方程；
(2)若BC边上的中线所在直线的方程为y＝3，求直线AC的一般方程．
19.(本小题满分17分）
已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点(1,1)的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
高2026届第二次月考 数学试卷 第3页四川省万源中学高 2026 届第二次月考试题（高二.上）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D C B B A C BCD AB ABD
12.【答案】3．
2,2
13. 【答案】
3 2 2 10
14.【答案】 5
14.
| a b 3 | | 5a 3b 3 |
【详解】由已知得， t 0，整理得 t2 ，a b2 a2 b2
看成有且仅有三条直线满足， A(1,1)和 B(5, 3)到直线 l : ax by 3 0（不过原点）的距离 t相等；
由 | AB | (5 1)2 ( 3 1)2 4 2，
（1）当 t | AB | 2 2，此时，易得符合题意的直线 l为线段 AB的垂直平分线以及直线 AB平行的两条直线.
2
t | AB |（2）当 2 2时，有 4条直线 l会使得点 A(2,1)和 B(5, 3)到它们的距离相等，
2
注意到 l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点 A到 l的距离为 d，
①作为增根被舍去的直线 l，过原点和 A，B的中点M (3, 1)，其方程为 x 3y 0，
此时， t d 2 10 2 2，符合；
5
②作为增根被舍去的直线 l，过原点且以 AB为方向向量，其方程为 x y 0，
此时， t d 2 2 2，符合；
2 10 2 2 2 2综上，满足题意的实数 t为 2 2 ， ， 2，它们的和为 10 2 3 2 10 .5 5 5
2
故答案为：3 2 10
5
【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用以及方程组解的个数问题解法，解题的关键是把问题转
化为有且仅有三条直线满足 A(1,1)和 B(5, 3)到直线 l : ax by 3 0（不过原点）的距离 t相等，属于难题.
15.①解法一：∵椭圆的焦点在 y轴上，
y2 x2
∴设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a＞b＞0)．
a2 b2
由题意知 c＝2，
2a＝ （4－0）2＋（3 2＋2）2＋
（4－0）2＋（3 2－2）2＝12，
解得 a＝6．
∴b2＝a2－c2＝32．
y2 x2
∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1．
36 32
解法二：∵椭圆的焦点在 y轴上，
y2 x2
∴设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)．
a2 b2
18 16
＋ ＝1， 2
a2 b2 a ＝36，由题意得 解得
a2－b2＝4， b2＝32.
y2 x2
∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1．
36 32
x2 y2
②解法一：(ⅰ)当椭圆的焦点在 x轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，
a2 b2
1 2 1 2
3 3
＋ ＝1， 1
a2 b2 a2＝ ，5
依题意知 1－ 2 解得
2 b2
1
＝ .
＝1， 4
b2
∵a2 1 1＝ < ＝b2，
5 4
∴焦点在 x轴上的椭圆不存在．
(ⅱ)当椭圆的焦点在 y轴上时，
y2 x2
设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1(a>b>0)．
a2 b2
1 2 1 2
3 3
＋ ＝1， 1
a2 b2 a2＝ ，4
由题意得 1－ 2 解得
2 b2
1
＝ .
＝1， 5
a2
y2 x2
故所求椭圆的标准方程为1＋1＝1．
4 5
解法二：设所求椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
1 2 1 2
A× 3 ＋B× 3 ＝1，
由题意得 1
－ 2
B× 2 ＝1，
A＝5，
解得
B＝4，
故所求椭圆的方程为 5x2＋4y2＝1，
y2 x2
即椭圆的标准方程为1＋1＝1．
4 5
15（1）设点 M(x，y)，点 P(x0，y0)，
x x＝ 0，
2 x0＝2x，
则
y y＝ 0
∴
， y0＝2y.
2
∵点 P(x0，y0)在圆 C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴x20＋y02－8x0－6y0＋21＝0．
∴(2x)2＋(2y)2－8·(2x)－6·(2y)＋21＝0．
3 2
即线段 OP的中点 M的轨迹方程为 x2＋y2 4x 3y 21－ － ＋ ＝0．或者(x－2)2
y－
＋ 2 ＝1．
4
（2）设圆 P的半径为 r．∵圆 P过点 B，∴|PB|＝r．又圆 P与圆 A内切，圆 A的半径为 10．∴两圆的圆心距|PA|
＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点 P的轨迹是以 A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10，2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c
2 2
＝3 x y．∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．即圆心 P的轨迹方程为 ＋ ＝1．
25 16
16.BC边上的中线所在直线的方程为 y＝3，
y＝3， x＝－1，
由 解得
y＝3x＋6， y＝3，
所以点 A的坐标为(－1，3)．
设点 C(x1，y1)，则 BC的中点在直线 y＝3上，
y1＋0
所以 ＝3，
2
即 y1＝6，
又点 C(x1，6)在直线 x＋3y－26＝0上，所以 C(8，6)，
AC k 6－3 1所以 的斜率 AC＝ ＝ ，
8＋1 3
所以直线 AC 1的方程为 y－6＝ (x－8)，
3
即 x－3y＋10＝0．
(1)因为 AB边上的高所在直线的方程为 x＋3y－26＝0，
所以直线 AB的斜率 k＝3，又因为△ABC的顶点 B(－2，0)，
所以直线 AB的方程为 y＝3(x＋2)，即 3x－y＋6＝0．
19．【答案】(1) (x 4)2 y 2 16 ； (2) x 1 0或4x 3y 1 0；(3) 14 .
【解】（1）由题可知，设圆的方程为 (x a)2 y 2 r 2，
由直线3x 7y 4 0与圆相切于点 1, 7 ，
(1 a)2 7 r 2
得 7 3 ，解得a 4,r 4，所以圆的方程为 (x 4)2 y 2 16；
1
1 a 7
（2）设圆心M（4,0）到直线 l的距离为 d ∵|PQ|= 2 r 2 d 2 ∴2 7 16 d 2 d 3
①当直线 l斜率不存在时：x=1,满足M（4,0）到直线 x=1的距离 d 3
②当直线 l斜率存在时：设 l方程： y 1 k x 1 即 kx y 1 k 0
d | 4k 1 k | 3 k 4 l : 4x 3y 1 0
k 2 1 3
综上：直线 l的一般式方程为 x-1=0或 4x 3y 1 0
（3 π）由题意知， AOB 2 ，
设直线OA的斜率为 k k 0 ，则直线OA的方程为 y kx，
y kx
由 2 ，得 1 k 2 x2 8x 0x ， y2 8x 0
8
x 0 x 1 k 2 8 8k
解得 y 0或 8k ，则点
A的坐标为 ,
1 k 2 1 k 2
，
y
1 k 2
1 8k 2 8k
又直线OB的斜率为 ，同理可得：点 B的坐标为 , k 1 k
2 1 k 2 ，
8
由题可知：C 8,8k ,D 8, ，
k
S1 OA OB OA OB
8
，又 OA x A 1 k
2 1
S OD OC OC OD ，2 OC x 8 1 k2C
2
OB k 2 S1 k 1 1 1
同理 ， S k 4 2k 2
1
OD 1 k 2 2 1 k 2 2 4， k 2 2 k
2 1 2 2k
当且仅当 k 1时等号成立，
S
1 1
S 的最大值为 .2 4
