浙江省宁波市鄞州中学2024—2025学年上学期11月八年级拔尖创新人才选拔数学试题

2024.11.16 鄞州中学初二拔尖创新人才选拔数学试卷
一、填空题 (共 6 小题)
1.矩形 中, 为边 上的动点, 平分 ,交 于 .作 于 ,连接 的最小值为_____.
2.已知正整数 ,满足 ,当 取最小值时, _____.
3.1,3,5,...,2027 中,至少取_____个数,使得存在两数之和为 2028.
4. ,用一根网线连接,如何连接使费用最短
5.正整数 有大于 1 的最大公因数,且 . 求 _____.
6.实数 满足 . 求 _____.
二、解答题 (共 4 题)
7.因式分解:
(1) ;
.
要将 29 个数学竞赛的名额分配给 10 所学校, 每所学校至少要分到一个名额.
证明:(1)不管怎样分配,至少有 3 所学校得到的名额相同；
（2）如果分到相同名额的学校少于 4 所时, 则 29 名选手至少有 5 名来自同一学校.
9.(1) 有非负整数解,求正整数 的值.
(2)设 为 +1 或 -1,求证: .
10.如图,在 中, 面积为 , 是边 上的高,动点 从 出发,以每秒 1 单位长度的速度沿 匀速向终点 运动,点 不与点 重合,连结 ,设 运动时间为 秒.
(1) 求 的长;
(2)用含 的代数式表示 的长;
(3)在点 运动的过程中,不再添加其他辅助线的情况下,当图中存在等腰直角三角形时, 求 的面积;
(4)点 在 上时,不再添加其他辅助线的情况下,当图中存在以 为顶点的等腰三角形且不是直角三角形时,直接写出 值.
数学试卷解析
1.解析
如图,导角易得 ,由 四点共圆可得 , .
2.解析
由题得 ,令 均为正整数, 也为正整数,反解 的最小值为 10, 此时 ,故 .
3.解析
抽屉原理,显然该数列首项十末项 ,该数列共有 项,
故至少取 个数,才能存在两数之和为 2028.
4.解析
答案不唯一:
5.解析
设 的最大公因数为 ,令 ,
也是 371 的因数, .
① 若 ,则 ,易得 .
② 若 ,则 ,显然不存在正整数 使得该式成立,故舍去.
综上 .
6.解析
由题得 ①, ②
②一①得 ③
②-③得 ,
.
7.解析
(1)设 ,
则原式
;
(2)采用试根法,当 时,原式 ,
是原式的一个公因式,
同理原式还有公因式 ,
设原式 ,
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
解得 ,
原式 .
8.解析
(1)假设没有 3 所学校得到相同的名额,而每校至少要有 1 名,则人数最少的分配方案是: 每两所学校一组依次各得1,2,3,4,5个名额,总人数为 ,但现在只有 29 个名额, 故不管如何分配, 都至少有 3 所学校分得的名额相同.
(2)假设每所学校分得的名额都不超过 4 ,并且每校的名额不少于 1 ,则在分到相同名额的学校少于 4 所的条件下,10 所学校派出的选手数最多不会超过 ,这与选手总数是 29 矛盾, 从而至少有一所学校派出的选手数不小于 5 .
9.解析
(1)解方程组得 ,
和 非负
,解得 ,
是非负整数,当 时 是分数,
正整数 的值为 或 .
(2) ,
的奇偶性与 的奇偶性相同,
为奇数
.
10.解析
的面积为 是边 上的高, , .
, , 动点 从点 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 匀速向终点 运动,
① 当点 在 上运动时(即 时),有 ,
② 当点 在 上运动时(即 时), , 综上所述,当 时, ; 当 时, .
(3)① 当点 在 上运动, 为等腰直角三角形时, 有 , ,解得 , , , 的面积为 6 ;
② 当点 在 上运动时, 为等腰直角三角形时, 有 , , , , , 的面积为 1,
综上所述, 的面积为 6 或 1 .
(4)点 在 上运动,图中存在以点 为顶点的等腰三角形,且不是直角三角形,分为以下情况:
① 为等腰三角形, ,
,
,
,
;
② 为等腰三角形, ,
,
;
③ 为等腰三角形, ,
即 ,解得 ,
综上所述, .