(共65张PPT)
第1讲 三角函数的图象与性质
领航高考风向标
通览主干知识
1.同角三角函数的基本关系、诱导公式
2.三角函数图象的变换
由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
3.三角函数的图象与性质
4.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的三大性质
求单调区间时,必须保证ω>0
微点拨 其他两类函数的三大性质类似,代入公式可解,注意公式的不同之处.对y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,不能为偶函数.
5.三角恒等变换
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β.
sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).
cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
(2)二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
1+sin 2α=(sin α+cos α)2.
1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
(3)辅助角公式
(4)降幂公式与升幂公式
6.正弦定理、余弦定理、面积公式
(1)正弦定理、余弦定理
(2)三角形面积公式
链高考1.(2023全国甲,理7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
解析 若甲成立,即sin2α+sin2β=1,则sin2α=cos2β,可得sin α-cos β=0,或sin α +cos β=0,故乙不一定成立.若乙成立,sin α+cos β=0,则sin α=-cos β,可得sin2α=cos2β,可得sin2α+sin2β=1,故甲成立.所以甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
微点拨 各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
链高考2.(2024北京,12)已知α∈ ,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为 .
微点拨 无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看“ωx+φ”的变化.
D
链高考4.(2024新高考Ⅰ,7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x- )的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
C
链高考5.(多选题)(2024新高考Ⅱ,9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin
下列正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
两函数的最大值均为1,B正确;
两函数的最小正周期都为π,C正确;
A
链高考7.(2024北京,6)已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min= ,则ω=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
B
链高考9.(2024新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( )
A
解析 ∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β.∵cos(α+β)=m,
即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,
∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m.
链高考10.(2024新高考Ⅱ,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,
tan α+tan β=4,tan αtan β= +1,则sin(α+β)= .
链高考11.(2024全国甲,文13)函数f(x)=sin x- cos x在[0,π]上的最大值是 .
2
链高考12.(2024全国甲,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2= ac,则sin A+sin C=( )
C
链高考13.(2023北京,7)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=( )
B
解析 因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),
所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,
考点一 三角函数图象的变换
例1(1)(多选题)(2024河北石家庄模拟)要得到函数y=sin(2x+ )的图象,可将函数y=sin x的图象( )
A.向左平移 个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
2倍
B.向左平移 个单位长度,再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,再将所得图象上各点向左平移 个单位长度
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将所得图象上各点向左平移 个单位长度
BC
A.1 B.2 C.3 D.4
C
由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.
(3)(2024湖南长沙模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),将函数f(x)的图象先向右平移 个单位长度,再横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,所得的图象与y=sin x图象重合,则( )
A
D
A
考点二 三角函数的图象与解析式
D
(2)(2024天津一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,有以下结论:
所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③④
C.③④ D.①④
B
[对点训练2](1)(2024内蒙古呼和浩特一模)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,
-π<φ<π)的部分图象如图所示,把函数f(x)的图象向右平移 个单位长度得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
A
C
考点三 三角函数的性质
D
B
[对点训练3](1)(2024北京西城一模)关于函数f(x)=sin x+cos 2x,给出下列三个命题:
①f(x)是周期函数;
②曲线y=f(x)关于直线x= 对称;
③f(x)在区间[0,2π)上恰有3个零点.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
解析 对于①,因为f(x)=sin x+cos 2x,所以f(x+2π)=sin(x+2π)+cos 2(x+2π) =sin x+cos 2x=f(x),故T=2π,所以①正确;
对于②,因为f(π-x)=sin(π-x)+cos 2(π-x)=sin x+cos 2x=f(x),
ABC(共31张PPT)
第2讲 三角恒等变换与解三角形
考点一 三角恒等变换
B
A
B
A
解析 由sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,得sin α-sin β=-sin γ,cos α-cos β =cos γ,∴(sin α-sin β)2+(cos α-cos β)2=(-sin γ)2+cos2γ=1,
D
考点二 正弦、余弦定理及其应用(多考向探究预测)
考向1正弦、余弦定理与面积公式
例2(1)(2023全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
acos B-bcos A=c,且C= ,则B=( )
C
(1)解析 由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin(A-B)=sin C.
C
考向2解三角形中的最值与范围问题
例3(1)(2024黑龙江二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A,则 的取值范围为( )
B
解析 因为c-b=2bcos A,则由正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,
则sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B).
A
(3)(2024河南开封期末)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
2asin A-bsin B=3csin C,若S表示△ABC的面积,则 的最大值为( )
D
[对点训练2](1)(2024安徽合肥模拟)已知△ABC角A,B,C的对边分别为a,b,c满足 ,则角B的最大值为( )
A
AB
ABC
考点三 解三角形的实际应用
例4 (2024湖南岳阳二模)如图,小明为了测量某高楼的高度AB,他首先在C处,测得楼顶A的仰角为60°,然后沿BC方向行走22.5米至D处,又测得楼顶
A的仰角为30°,则楼高AB为 米.
[对点训练3]
(2024北京海淀模拟)一艘轮船在江中向正东方向航行,在点P处观测到灯塔A,B在一直线上,并与航线成30°角.
轮船沿航线前进1 000米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°方向,灯塔B在北偏东15°方向,则此时轮船到灯塔B之间的距离CB为 米. (共51张PPT)
专题检测二
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一、选择题
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1.(2024北京房山一模)已知角α的终边经过点(3,4),把角α的终边绕原点O逆时针旋转 得到角β的终边,则sin β=( )
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5.(2024四川绵阳三模)若函数f(x)=cos(πx+φ)的图象关于直线x=1对称,在下列选项中,不是函数f(x)的零点的是( )
A
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6.(2024四川攀枝花三模)将函数y=sin2x-cos2x的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,则m的最小值是( )
B
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解析 令f(x)=sin2x-cos2x,则有f(x)=-cos 2x,把函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,
则有g(x)=-cos[2(x-m)]=-cos(2x-2m),
根据已知条件g(x)的图象与y=sin 2x的图象关于原点对称,
则有g(x)=-sin(-2x)=sin 2x,
即-cos(2x-2m)=sin 2x,
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8.(2024江苏七市模拟)如图,在△ABC所在平面内,分别以AB,BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.已知S= ,且asin A+csin C=4asin Csin B,则FH的值是( )
C
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二、选择题
9.(2024安徽芜湖二模)在平面直角坐标系xOy中,角θ以坐标原点O为顶点,以x轴的非负半轴为始边,其终边经过点M(a,b),|OM|=m(m≠0),定义
ACD
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对于D,f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ=-cos 2θ,
因为y=cos 2θ为周期函数,故D正确.故选ACD.
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11.(2024湖南益阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边依次为a,b,c,已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则下列结论正确的是( )
A.(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=5∶6∶7
B.△ABC为钝角三角形
C.若a+b+c=18,则△ABC的面积是6
D.若△ABC的外接圆半径是R,内切圆半径为r,则5R=16r
BD
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解析 因为sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,
由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4.
设a=2x,b=3x,c=4x,
其中x>0,
则(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=5x∶7x∶6x=5∶7∶6,故A错误;
由题意可知,C为最大角,
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三、填空题
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解析 由题意得h(x)=2sin 2x,因为函数y=g(x)与函数y=h(x)+1的图象交于点(α,g(α)),
所以2sin 2α+1=cos 2α,
即4sin αcos α+sin2α+cos2α=cos2α-sin2α,
整理得2sin α(2cos α+sin α)=0,
因为- <α<0,
所以2cos α+sin α=0,
又因为sin2α+cos2α=1,
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13.(2024重庆高三临门一卷)如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°,又利用无人机在离地面高300 m的M处(即MD=300 m),观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,则山高BC= m.
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解析 依题意∠AMD=45°,则AM= MD=300 , ∠CMA=45°+15°=60°,∠CAB=60°,故∠MAC=180°-60°-45° =75°,∠ACM=180°-75°-60°=45°,
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14.(2024广东佛山二模)近年,我国农机装备取得突破,科技和装备支撑稳步增强,现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示,单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为2π rad/s,圆上两点A,B始终满足∠AOB= ,随着圆O的旋转,A,B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义:
A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻,即t=0秒时,点A位于圆心正下方,如图即t=0秒时的状态,以O为坐标原点,以过点O平行于水平面且在圆面内的直线为x轴,以过点O垂直于x轴且在圆面内的
直线为y轴建立平面直角坐标系,则t= 秒时,A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)= .
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17.(15分)(2024湖北武汉二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c(a(1)求角A;
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解 (1)由正弦定理得sin C=2sin A·cos Acos B-sin Bcos 2A,
则sin C=sin 2Acos B-sin Bcos 2A,
则sin C=sin(2A-B),因为C=π-(A+B),所以sin(A+B)=sin(2A-B),
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19.(17分)(2024河北石家庄二模)若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,则称点P为△ABC的布洛卡点,θ为△ABC的布洛卡角.如图,已知在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,点P为△ABC的布洛卡点,θ为△ABC的布洛卡角.
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(1)解 由b=c,即AB=AC,得∠ABC=∠ACB.
点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,则∠PCB=∠PBA.
在△PCB和△PBA中,∠PCB=∠PBA,∠PAB=∠PBC=θ,
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在△PAB,△PBC,△PAC中,
分别由余弦定理得BP2=c2+AP2-2c·APcos θ,CP2=a2+BP2-2a·BPcos θ,AP2=b2+CP2-2b·CPcos θ,
三式相加整理得a2+b2+c2=2cos θ(c·AP+a·BP+b·CP),
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