安徽省铜陵市第三中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题（含答案）

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铜陵市第三中学高二级部月考
数学试题
（卷面值：150分考试时间：120分钟命题：）
注意事项：
1.本试卷共4页.答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号写在答卷的密封区内.2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须将答案写在答卷的相应题号框内.请保持试卷卷面清洁，不折叠、不破损.
3.考试结束后，请将答卷和答题卡交回.
第一卷（选择+填空=73分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知空间向量，，若，则（）
A. 1 B. C. D. 3
2. 已知空间向量，，若，则实数（）
A. 0 B. 2 C. D.
3. 已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（）
A B. C. D.
4. 已知向量，，则下列说法正确的是（）
A. B. 向量在向量上的投影向量是
C. D. 与向量方向相同的单位向量是
5. 已知角对边分别为满足，则角的最大值为（）
A. B. C. D.
6. 在三棱锥中，是的重心，是上的一点，且，若，则（）
A. B. C. D. 1
7. 堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
8. 在空间直角坐标系中，四面体SABC各顶点坐标分别为，，，，则该四面体外接球的表面积是
A B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（）.
A.
B. 若，则
C. 点关于平面对称的点的坐标为
D.
10. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（）
A. B. 平面
C. 线段长度的最大值为1 D. 三棱锥体积不变
11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（）
A. 若为非零向量，且，则
B. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于
C. 已知点为坐标原点，则
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，且，则向量与的夹角为__________
13. 如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为________.
14. 点是棱长为的正四面体表面上的动点，是该四面体内切球的一条直径，则的最大值是_______________.
第二卷（解答题77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，，且．
（1）若，求的值；
（2）求与夹角的余弦值．
16. 设的内角所对的边分别为，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，边上的中线，求的面积．
17. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.
（1）用，，表示；
（2）求的长.
18. 如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.
19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且.
（1）证明：；
（2）当取何值时，直线与平面所成角最小
（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
铜陵市第三中学高二级部份月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】A
8.
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.
【答案】AB
10.
【答案】AD
11.
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
第二卷（解答题77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直，列方程，解方程即可；
（2）根据向量夹角公式直接计算即可.
【小问1详解】
由已知，
则，解得；
【小问2详解】
由已知，
且，
所以.
16.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.
（Ⅱ），平方，代入公式利用余弦定理得到答案.
【详解】（Ⅰ）因为，
由正弦定理得，
即，所以，
因为，所以，
又因为，所以．
（Ⅱ）由M是中点，得，
即，
所以，①
又根据余弦定理，有，②
联立①②，得．
所以的面积．
17.
【解析】
【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案；
（2）由（1）及计算模公式可得答案.
【小问1详解】
由图形及向量相加的首尾相连原则，；
【小问2详解】
由题可得，.
则
，则，即的长为.
18.
【解析】
分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果.
【小问1详解】
连接，
分别是线段的中点，，
底面四边形为正方形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，平面，
又平面，平面平面.
【小问2详解】
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得：，，；
设直线与平面所成角为，
，
解得：或（舍），，
平面，平面，；
，，平面，平面，
到平面的距离为，
.
19.
【解析】
【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直；
（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解；
（3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可.
【小问1详解】
因为，，则，即，
如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，，
即，，
又因为，可得，
所以无论取何值，.
【小问2详解】
由（1）可知：，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，可得，
可得，
令，则，
所以当，即时，取得最小值，此时.
【小问3详解】
假设存在，易知平面的一个法向量为
因为，，
设是平面的一个法向量，则，
令，可得，可得，
则，
化简得，解得或，
因为，可得，
所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点.
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