第5讲　一次方程(组)及其应用 讲义 -2025年中考数学一轮考点探究（广东）

第二章　方程(组)与不等式(组)
第5讲　一次方程(组)及其应用
(6年6考,3~9分)
【知识清单】
知识点1 方程的有关概念
有关概念
知识点2 等式的基本性质
等式的基本性质
知识点3 解一元一次方程的步骤
步骤 具体做法
去分母 若方程中未知数的系数为分数,方程两边同乘以分母的⑦ .温馨提示:常数项不能漏乘,分子是多项式时注意添括号
去括号 若方程中有括号,应先去括号,即将括号前的系数与括号内的每一项都⑧ .温馨提示:若括号前的系数是负数,注意去括号后括号内的各项均要⑨ . 去括号顺序为先去小括号,再去中括号,最后去大括号
移项 将含未知数的项移到方程左边,常数项移到方程右边.温馨提示:移项要⑩
合并同类项 把含未知数x的项与 分别合并,合并同类项后方程化简成了ax=b的形式(其中a,b为常数,且a≠0)
系数化为1 方程两边同时除以未知数x的系数,即转化为x=
知识点4 二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法
知识点5 一次方程(组)的实际应用
解题思路:
基本步骤:
常见模型:
【参考答案】
①等式　②解或根　③解方程　④b±c　⑤bc　⑥　⑦最小公倍数　⑧相乘　⑨变号　⑩变号　常数项　　一元一次方程
【自我诊断】
1.下列方程是一元一次方程的是 ( )
A.x=x+5
B.x+2y=1
C.x-=2
D.x2-3x=18
2.(人教七下P95例3变式)已知二元一次方程组若用加减消元法消去y,则下列正确的是 ( )
A.①+②
B.①+②×2
C.①-②
D.①-②×2
3.[新考向]《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一,书中记载:“今有人共买兔,人出七,盈十一;人出五,不足十三,问人数几何 ”意思是有若干人共同出钱买兔,如果每人出七钱,那么多了十一钱;如果每人出五钱,那么少了十三钱.问共有多少人 设有x个人共同出钱买兔,依题意可列方程 ( )
A.5(x-11)=7(x+13)
B.5(x+11)=7(x-13)
C.7x+11=5x-13
D.7x-11=5x+13
(2023·化州二模)若关于x,y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是 .(写出一个即可)
【参考答案】
1.A　2.B　3.D　4.x-y(答案不唯一)
【核心突破】
题型1 解二元一次方程组
例题1 解方程组:
变式1 方程组的解是 ( )
A. B.
C. D.
2.解方程组:
题型2 二元一次方程组的应用
例题2 [新考向]我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何 ”其大意:今有几个人共同出钱购买一件物品,每人出8钱,剩余3钱;每人出7钱,还缺4钱.问人数、物品价格各是多少 请你求出以上问题中的人数和物品的价格.
方法总结
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:
(1)审:弄清题意和题目中的数量关系,找出题中的相等关系.
(2)设:用字母表示题目中的未知数(可以直接设,也可以间接设).
(3)列:根据两个等量关系列出相应的方程,从而列出方程组.
(4)解:解这个所列出的方程组.
(5)验:检验所求得的未知数的值是否有意义和是否符合实际.
(6)答:写出答案.
变式2 某果农现有一批水蜜桃要运往红星水果市场,果农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车,已知以往租用这两种货车的记录情况如下表:
次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第1次 3 2 14
第2次 4 5 24.5
(1)问甲、乙两种货车每辆可装多少吨水蜜桃
(2)若果农共有18吨水蜜桃,计划租用该公司的甲、乙两种货车(每辆车都满载)正好把这批水蜜桃运完,则汽车公司有哪几种方案
【参考答案】
例题1　【自主解答】
把②代入①,得2(1-y)+4y=5,
解得y=.
把y=代入②,得x=-,
∴原方程组的解为
变式特训
1.B
2.【解析】①+②,得4x=20,解得x=5.
把x=5代入①,得5-y=4,解得y=1.
故方程组的解为
例题2　【自主解答】设有x个人,物品的价格为y钱,
由题意得
解得
答:有7个人,物品的价格为53钱.
变式特训　【解析】(1)设甲种货车每辆可装x吨水蜜桃,乙种货车每辆可装y吨水蜜桃.
根据题意,得解得
答:甲种货车每辆可装3吨水蜜桃,乙种货车每辆可装2.5吨水蜜桃.
(2)设租用m辆甲种货车,n辆乙种货车.
根据题意,得3m+2.5n=18,
∴m=6-n.
∵m,n均为正整数,∴
答:汽车公司只有一种方案,即租用1辆甲种货车、6辆乙种货车.
【真题精粹】
考向1 解一元一次方程
真题拓展
1.(人教七上P97例3(2)改编)解方程:x-=2-.
[答题规范]
去分母,得 ,
去括号,得 ,
移项,得 ,
合并同类项,得 ,
系数化为1,得 .
考向2 解二元一次方程组(6年2考)
2.(2021·广东11题4分)二元一次方程组的解为 .
3.(2020·广东21题8分)已知关于x,y的方程组与的解相同.
(1)求a,b的值.
若一个三角形的一条边的长为2,另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解.试判断该三角形的形状,并说明理由.
考向3 一元一次方程的应用(6年2考)
4.(2022·广东19题9分)《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少
5.(2018·广东20题7分)某公司购买了一批A,B型芯片,其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元,已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等.
(1)该公司购买的A,B型芯片的单价各是多少元
若这两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6280元,则该公司购买了多少条A型芯片
真题拓展
为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲、乙两个工程队还需联合工作多少天
《孙子算经》是我国传统数学的重要著作之一,其中记载的“荡杯问题”很有趣.其内容为“2人同吃一碗饭,3人同吃一碗羹,4人同吃一碗肉,共用65个碗,问有多少客人 ”请你解答这个问题.
考向4 二元一次方程组的应用(6年3考)
(2017·广东19题6分)学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书.若男生每人整理30本,女生每人整理20本,共能整理680本;若男生每人整理50本,女生每人整理40本,共能整理1240本.问男生、女生志愿者各有多少人
真题拓展
9.[真情境]某社区为检测老年人的身体健康情况,特采购了一批血压测量仪,已知1支A型号血压测量仪和2支B型号血压测量仪共需380元,2支A型号血压测量仪和3支B型号血压测量仪共需610元.
(1)问两种型号的血压测量仪的单价各是多少元
(2)已知该社区需要采购两种型号的血压测量仪共40支,且A型号的数量不超过B型号的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
【参考答案】
1.10x-5(x-1)=20-2(x+18)　10x-5x+5=20-2x-36　10x-5x+2x=20-36-5　7x=-21　x=-3
2.
3.【解析】(1)由题意得关于x,y的方程组的相同解,就是方程组的解,解得
代入原方程组得a=-4,b=12.
(2)当a=-4,b=12时,关于x的方程x2+ax+b=0就变为x2-4x+12=0,
解得x1=x2=2,
又∵(2)2+(2)2=(2)2,
∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形.
4.【解析】设学生有x人.
依题意得8x-3=7x+4,
解得x=7,该书的单价为8×7-3=53(元).
答:学生有7人,该书的单价为53元.
5.【解析】(1)设B型芯片的单价为x元,则A型芯片的单价为(x-9)元.
根据题意,得=,
解得x=35,
经检验,x=35是原方程的解,
∴x-9=26.
答:A型芯片的单价为26元,B型芯片的单价为35元.
(2)设购买a条A型芯片,则购买(200-a)条B型芯片.
根据题意,得26a+35(200-a)=6280,
解得a=80.
答:购买了80条A型芯片.
6.【解析】设甲工程队每天掘进x米,则乙工程队每天掘进(x-2)米.
由题意得2x+(x+x-2)=26,解得x=7,
所以乙工程队每天掘进5米,
=10(天).
答:甲、乙两个工程队还需联合工作10天才能完成此工程.
7.设共有客人x人.
根据题意,得x+x+x=65,
解得x=60.
答:共有客人60人.
8.【解析】设男生志愿者有x人,女生志愿者有y人.
根据题意,得
解得
答:男生志愿者有12人,女生志愿者有16人.
9.【解析】(1)设A型号血压测量仪的单价为x元,B型号血压测量仪的单价为y元,
依题意,得
解得
答:A型号血压测量仪的单价为80元,B型号血压测量仪的单价为150元.
(2)设购进m支A型号血压测量仪,则购进(40-m)支B型号血压测量仪,
依题意,得m≤3(40-m),
解得m≤30,
设本次采购所花总金额为w元,则80m+150(40-m)=-70m+6000,
∵-70<0,∴w随m的增大而减小,
∴当m=30时,w取得最小值,最小值为3900,
∴当购进30支A型号血压测量仪、10支B型号血压测量仪时,所花费用最少,最少费用为3900元.