第7讲　一元二次方程及其应用 讲义 -2025年中考数学一轮考点探究（广东）

第7讲　一元二次方程及其应用
(6年6考,3~9分)
【知识清单】
知识点1 一元二次方程的一般形式
一般形式:
温馨提示:注意方程的右边为0,方程左边每项前面都是“+”,其中① 为二次项系数,② 为一次项系数.
知识点2 一元二次方程ax2+bx+c=0的解法
解法
温馨提示:一元二次方程的求根公式为⑧ ,当Δ=0时,方程根的情况为⑨ .
知识点3 根与系数的关系
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2=⑩ ,x1x2=
温馨提示:应用根与系数的关系的前提是原方程有实数根.
知识点4 一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
【参考答案】
①a　②b　③降次　④完全平方　⑤b2-4ac　⑥-m　⑦-n　⑧x=　⑨有两个相等的实数根
⑩-　
【自我诊断】
1.已知一元二次方程x2-2x=4,配方后正确的是 ( )
A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=5
C.(x-1)2=4 D.(x-1)2=8
2.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 ( )
A.a<2 B.a>2
C.a<2且a≠1 D.a>2且a≠1
3.(2023·揭阳一模)已知x1、x2是方程x2-6x-3=0的两个实数根,则+= ( )
A.-2 B.- C.2 D.
4.电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史,一上映就获得全国人民的追捧,已知第一天票房约2亿元,前三天票房累计约10亿元,若每天票房的增长率都为x,依题意可列方程 ( )
A.2(1+x)=10
B.2(1+x)2=10
C.2+2(1+x)2=10
D.2+2(1+x)+2(1+x)2=10
【参考答案】
1.B　2.C　3.A　4.D
【核心突破】
题型1 解一元二次方程
例题1 解方程:x2-2x+1=0.
方法总结
合理选择一元二次方程的解法:
(1)若方程具有(mx+n)2=p(p≥0)的形式,可直接用开平方法求解;
(2)若一元二次方程一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积时,可用因式分解法求解;
(3)公式法是一种常用的方法,用公式法解方程时一定要把一元二次方程化成一般式,确定a,b,c的值,在b2-4ac≥0的条件下代入公式求解.
变式1 解方程:x2-4x-5=0.
解方程:3x(x-3)=2(x-3).
题型2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
例题2 已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若方程的两个不相等的实数根是a,b,求-的值.
变式2 已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围.
(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m的值.
题型3 一元二次方程的应用
例题3 自然资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动,坚持实行最严格的耕地保护制度,某乡镇响应国家号召,2020年有耕地7200亩,经过改造后,2022年有耕地8712亩.
(1)求该村耕地两年的平均增长率.
(2)按照(1)中的平均增长率,求2023年该村耕地拥有量.
变式3 1.(2023·湛江二模)某超市一月份的营业额为300万元,第一季度的营业额共1200万元,如果平均每月增长率为x,则由题意可列方程 ( )
A.300(1+x)2=1200
B.300+300×2x=1200
C.300+300×3x=1200
D.300[1+(x+1)+(x+1)2]=1200
2.建设美丽城市,改造老旧小区.某市2020年投入资金1000万元,2022年投入资金1440万元,现假定每年投入资金的增长率相同.
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率.
(2)2022年老旧小区改造的平均费用为每个80万元,2023年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%.如果投入资金的年增长率保持不变,问该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区
【参考答案】
例题1　【自主解答】x2-2x+1=0,
∵a=1,b=-2,c=1,
∴x===±1,
∴x1=+1,x2=-1.
变式特训
1.【解析】∵x2-4x-5=0,∴(x-5)(x+1)=0,
则x-5=0或x+1=0,解得x1=5,x2=-1.
2.【解析】∵3x(x-3)=2(x-3),
∴3x(x-3)-2(x-3)=0,
∴(x-3)(3x-2)=0,
∴x1=3,x2=.
例题2　【自主解答】(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=4+4k>0,
解得k>-1,
∴k的取值范围为k>-1.
(2)由根与系数的关系得a+b=-2,a·b=-k,
∴-===1.
变式特训　【解析】(1)根据题意得Δ=(-4)2-4(-2m+5)>0,
解得m>.
(2)设x1,x2是方程的两个根,
根据题意得x1+x2=4>0,x1x2=-2m+5>0,
解得m<,
所以m的取值范围为所以m=1或m=2(此时根不是整数,不符合条件,舍去),
所以整数m的值为1.
例题3　【自主解答】(1)设该村耕地两年的平均增长率为x,
依题意得7200(1+x)2=8712,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:该村耕地两年的平均增长率为10%.
(2)8712×(1+10%)=9583.2(亩).
答:2023年该村拥有耕地9583.2亩.
变式特训
1.D
2.【解析】(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,
依题意得1000(1+x)2=1440,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.
(2)设该市在2023年可以改造y个老旧小区,依题意得80×(1+15%)y≤1440×(1+20%),
解得y≤.
又∵y为整数,∴y的最大值为18.
答:该市在2023年最多可以改造18个老旧小区.
【真题精粹】
考向1 一元二次方程的解(6年3考)
1.(2017·广东4题3分)若2是关于x的方程x2-3x+k=0的一个根,则常数k的值为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
2.(2022·广东14题3分)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a= .
3.(2021·广东14题3分)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足-3考向2 解一元二次方程
真题拓展
解方程:x2-4x-1=0.
考向3 一元二次方程根的判别式(仅2018.T9考查)
5.(2018·广东9题3分)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 ( )
A.m< B.m≤
C.m> D.m≥
真题拓展
6.关于x的方程(k-3)x2-4x+2=0有实数根,则k的取值范围是 ( )
A.k≤5
B.k<5且k≠3
C.k≤5且k≠3
D.k≥5且k≠3
7.若一元二次方程2x2-4x+m=0有两个相等的实数根,则m= .
考向4 一元二次方程根与系数的关系(仅2019.T9考查)
8.(2019·广东9题3分)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,则下列结论错误的是 ( )
A.x1≠x2 B.-2x1=0
C.x1+x2=2 D.x1·x2=2
真题拓展
9.设x1,x2是方程2x2-4x-3=0的两个根,则x1+x1x2+x2的值是 .
10.已知关于x的方程x2-2mx+m2-9=0.
(1)求证:此方程有两个不相等的实数根.
(2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1+x2=6,求m的值.
考向5 一元二次方程的应用
真题拓展
11.[真情境]某商场以每件210元的价格购进一批商品,当每件商品售价为270元时,每天可售出30件,为了迎接“双十一购物节”,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每天就可以多售出3件.
(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元
【参考答案】
1.B　2.1　3.x2-4=0(答案不唯一)
4.【解析】∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,
∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5,
∴x=2±,∴x1=2+,x2=2-.
5.A　6.A　7.2　8.D　9.0.5
10.【解析】(1)证明:∵Δ=(-2m)2-4×(m2-9)=4m2-4m2+36=36>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
(2)∵x1+x2=6,
∴2m=6,
解得m=3.
11.【解析】(1)(270-210)×30=1800(元).
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元.
(2)设每件商品应降价x元,
由题意,得(270-x-210)(30+3x)=1800×2,
解得x1=20,x2=30.
∵要更有利于减少库存,∴x=30.
答:每件商品应降价30元.