4.3 牛顿第二定律（轻绳、轻杆突变问题）讲义 -2024-2025学年高一上学期物理教科版（2019）必修第一册

牛顿第二定律（刚性绳、弹簧）瞬时性加速度问题
一、细线模型特点及解题要点
特点：
细线的形变通常可忽略不计，其拉力能在瞬间发生变化，即可以发生 “突变”。
当外界条件改变时，例如作用在与细线相连物体上的力突然消失或改变，细线的拉力会立即根据新的受力平衡或运动状态需求进行调整。
解题要点：
受力分析：明确研究对象，对与细线相连的物体进行细致的受力分析，确定在不同状态下细线拉力与其他力（如重力、摩擦力、其他外力等）的关系。
运动状态分析：考虑物体在细线拉力突变前后的运动状态变化，如静止、匀速直线运动、加速或减速运动等。根据牛顿第二定律，分析合力与加速度的关系。如果细线拉力突变导致合力发生变化，那么物体的加速度也会相应改变。例如，当细线突然松弛，拉力变为零，物体所受合力可能会因其他力的存在而改变，从而产生加速度的变化，进而影响物体的运动轨迹和速度变化。
临界条件判断：注意寻找细线拉力突变的临界条件，比如当物体的速度达到某一值、位移达到某一量或者某个力的大小发生特定变化时，细线的拉力可能会发生突变。例如，在一些圆周运动中，当物体运动到最高点时，如果速度满足特定条件，细线的拉力可能会从有到无发生突变，此时重力恰好提供向心力。
二、弹簧模型特点及解题要点
特点：
弹簧的形变不能瞬间完成，其弹力的变化需要时间，在瞬间不会发生 “突变”。弹簧的弹力大小与弹簧的形变量成正比，即（其中为劲度系数，为形变量）。
当外界条件改变时，弹簧的长度变化需要一个过程，所以在瞬间其弹力大小保持在改变前一瞬间的状态。
解题要点：
受力分析：同样要确定研究对象，对与弹簧相连的物体进行受力分析，考虑弹簧弹力与其他力的共同作用。由于弹簧弹力不突变，在分析瞬间受力时，弹簧弹力按原来状态计算。例如，在一个连接体问题中，当与弹簧相连的一个物体受力情况突然改变时，另一个物体所受弹簧弹力在瞬间不变，由此可确定其瞬间合力和加速度。
运动状态分析：分析弹簧弹力变化过程中物体运动状态的连续变化。随着弹簧的伸缩，其弹力大小改变，物体所受合力改变，加速度也随之改变。可以根据不同阶段弹簧的形变量计算弹力，再结合其他力分析合力，利用牛顿第二定律确定物体的加速度变化规律，进而分析物体的速度、位移等运动参量的变化。
能量守恒分析：在涉及弹簧的问题中，由于弹簧的弹性势能与形变量有关，常常需要运用能量守恒定律进行分析。例如，在弹簧振子系统或者物体与弹簧相互作用的过程中，动能、重力势能、弹性势能等能量之间相互转化，通过分析能量的转化和守恒关系，可以求解物体的速度、位移等未知量。
三、综合应用解题步骤
确定模型类型：首先判断题目中涉及的是细线模型还是弹簧模型，或者两者兼而有之。根据模型特点初步确定解题思路的方向。
隔离物体受力分析：对于多个物体组成的系统，采用隔离法分别对每个物体进行受力分析。明确各物体所受的力，包括重力、弹力（弹簧或细线的）、摩擦力、外力等，并画出受力示意图，标注力的方向和大小（已知或未知）。
分析运动状态变化（即物体速度变化）：根据已知条件确定物体在不同阶段的运动状态，如静止、匀速、加速、减速等。考虑力的变化如何引起运动状态的改变，特别关注细线拉力突变和弹簧弹力渐变对物体加速度和速度的影响。
列方程求解：
根据牛顿第二定律（或平衡条件）列方程，对于细线模型，在拉力突变瞬间重新确定合力和加速度关系；对于弹簧模型，注意弹力变化过程中不同阶段的合力计算。
当涉及能量问题时，根据能量守恒定律列方程，如其他（其中为动能，为势能，其他为除重力和弹簧弹力外其他力做的功），联立牛顿第二定律方程求解未知量，如加速度、速度、位移、弹簧形变量等。
例1：细绳剪断瞬间的加速度问题
如图所示，物块A、B和C的质量相同，均为m，A和B之间用细绳相连，B和C之间用轻弹簧相连，通过系在A上的细绳悬挂于固定点O，整个系统处于静止状态。现将A、B间的细绳剪断，重力加速度大小为g，求剪断瞬间各物块的加速度。
例 2：细绳替换为弹簧后的加速度变化问题
如图1所示一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细线上，L1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为，L2水平拉直，物体处于平衡状态。 现将L2细线剪断，求剪断瞬间物体的加速度大小。
若将图1中的L1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图2所示，其他条件不变，求剪断L2瞬间物体的加速度.
例 3：弹簧弹力突变问题
质量均为m的A、B两球之间系着一根不计质量的轻弹簧，放在光滑水平台面上，A球紧靠着墙壁，现用力F将B球向左推压弹簧，平衡后，突然将力F撤去的瞬间，A、B球的加速度如何
例 4：系统中细绳与弹簧的综合问题
如图所示，质量分别为4m、3m、2m、m的四个小球A、B、C、D，通过细线或轻弹簧互相连接，悬挂于O点，处于静止状态，重力加速度为g。若将B、C间的细线剪断，则剪断瞬间B和C的加速度大小分别为多少？
例 5：细绳断裂瞬间物体的运动状态问题
如图所示，在动摩擦因数=0.2的水平面上有一个质量为m=2kg的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成角的不可伸长的轻绳一端相连，此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为零。当剪断轻绳的瞬间，取，求小球的加速度。