14.2.1勾股定理的应用(最短路径问题) 课件(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 14.2.1勾股定理的应用(最短路径问题) 课件(共28张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 12.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-17 15:15:04 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
数学家名言分享
树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实而终。
——华罗庚
请拿出你的课本、彩色笔和练习本等用品，还有你的激情和坐姿。
华师大版 八年级 上册
01
勾股定理的应用——最短路径问题
复习提问：
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
文字语言
几何语言
A
勾b
股a
C
B
∟
弦c
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方。
在Rt△ABC中，∠C=90°：
∴ a2＋b2＝c2
A
b
a
C
B
c
如果三角形的三边长满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
在△ABC中，a2＋b2＝c2
∴ △ABC为直角三角形，∠C=90°
复习提问：
一、判断题：
1、在△ABC中：AB＝5，AC＝12，则BC＝13 ( )
2、直角三角形ABC中：a＝6，b＝8，则c＝10 ( )
二、填空题：
3、能与3和4围成三角形的数有 个；能与3和4围成直角三角形的有 个；能与3和4组成勾股数的数有 个。
4、三角形三边分别为6、8、10，那么最短边上的高为 ，最长边上的高为 。
×
两边之差＜BC＜两边之和 即：7＜BC＜17
√
无数
两
1
8
4.8
1、直角三角形斜边上的高等于两直角边之积除以斜边。
2、构造方程：S△＝0.5ab＝0.5ch
前提：Rt△
情境导入
情境导入
学会用数学的眼光观察事物
1
情景探究一
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
C
B
A
AC＋CB＞AB(两点之间线段最短)
B
A
3米
4米
C
2
情景探究二
从前有一只叫小黑的蚂蚁，妈妈不在家，出门前妈妈给小黑准备了好吃的食物，放在了不同的地方，小黑能找到这些食物吗？
2、AC两点间的距离为 米。
1、食物放在厨房的C处，小黑从房间的A处到厨房的C处，怎样爬行最近？这样爬行的依据是什么？
A
4米
3米
B
C
两点之间，线段最短
5
勾股定理
解：线段AB的距离就是蚂蚁爬行的最短路径
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
答 ：最短路径是50cm
1
平面图中最短路径问题
知识点
这个问题研究的过程是怎么的呢？
实际问题
两点之间，线段最短或垂线段最短
数学问题
勾股定理
立体图形又如何解决呢
1
平面图中最短路径问题
知识点
2
立体图形圆柱最短路径问题
知识点
如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。(结果保留根号)
2
立体图形圆柱最短路径问题
知识点
如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。(结果保留根号)
A
B
C
D
解：如图所示，由题意可知：
BC＝底面周长的一半＝10cm，AB＝4cm
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
答：爬行的最短路程约为 cm。
o
变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，已知底面周长为10，试求出爬行的最短路程。
A
A
B
D
C
4
3
O
解：如图，由题意可知：
OD=4÷2=2，AD=10÷2=5。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
答：最短路程为 厘米。
3
立体图形正方体最短路径问题
知识点
如图，桌子上有一个边长为10cm且无盖的正方体型盒子，底面不可通行，若妈妈把食物放在正方体的C处，小黑蚂蚁从A点出发，沿着正方体的外表面爬行，则最短的路径的长是多少cm。
A
C
B
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=
经过前面和右面
3
立体图形正方体最短路径问题
知识点
如图，桌子上有一个边长为10cm且无盖的正方体型盒子，底面不可通行，若妈妈把食物放在正方体的C处，小黑蚂蚁从A点出发，沿着正方体的外表面爬行，则最短的路径的长是多少cm。
A
C
B
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=
经过左面和后面
提炼方法——
1、将立体图形展开，转化成平面图形。
2、在平面图中找到对应的起点和终点，即对应点位置。
3、在平面图形中，连接起点和终点，得出线段。
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
4、构建直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度，比较，得最短路径。
5、答题。
展
找
连
求
答
归纳总结：立体图形表面最短路径问题
方法：
立体图形
平面图形
直角三角形
建模
转化分类讨论
勾股定理
两点之间，线段最短
展
找
连
求
答
本节课数学思想
化归转化思想
4
立体图形长方体最短路径问题
知识点
如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
分析：蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？
①经过前面和右面
②经过前面和上面
③经过左面和上面
①经过前面和右面
②经过前面和上面
③经过左面和上面
解:(1)当蚂蚁经过前面和右面时，最短路程为：
(2)当蚂蚁经过前面和上面时，最短路程为：
(3)当蚂蚁经过左面和上面时，最短路程为：
∴ 最短路程为 ㎝。
拓展提高：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A
B
C
Ｄ
解: 由题意可知：AC＝5， BC＝3×3＋3×1＝12
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
答：从A点爬到B点，最短线路是13cm。
A
B
C
D
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
１、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离。
２、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
提炼方法——
立体图形
平面图形
直角三角形
建模
转化
勾股定理
两点之间，线段最短
化归转化思想
知识点
最短路径问题
本节课的数学思想
1.本节课学习了哪些知识？用了什么数学思想方法？
2.你们有什么收获？
总结反思
示例 长方体表面上A，B两点间的最短距离
作 业
练习册
谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
如图，一个无盖长方形盒子的长、宽、高分别是4cm、4cm、6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（ ）
A. 5cm B. 8cm C. 10cm D.7cm
解：长方体展开，将长方体展开，进而得出最短路线。
可得：AB2＝62＋82＝100
∴AB＝10（cm）
故最短路程为10cm。
C
B
A
A
B
6
4
4
练习1
不积跬步 无以至千里
意思是：行程千里，都是从一步一步开始；如果做事不从一点一滴中做起， 那就不可能有所成就。
【名人名言】
数学家名言分享
树老易空，人老易松，科学之道，戒之以空，戒之以松，我愿一辈子从实而终。
——华罗庚
请拿出你的课本、彩色笔和练习本等用品，还有你的激情和坐姿。
华师大版 八年级 上册
01
勾股定理的应用——最短路径问题
复习提问：
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
文字语言
几何语言
A
勾b
股a
C
B
∟
弦c
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方。
在Rt△ABC中，∠C=90°：
∴ a2＋b2＝c2
A
b
a
C
B
c
如果三角形的三边长满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
在△ABC中，a2＋b2＝c2
∴ △ABC为直角三角形，∠C=90°
复习提问：
一、判断题：
1、在△ABC中：AB＝5，AC＝12，则BC＝13 ( )
2、直角三角形ABC中：a＝6，b＝8，则c＝10 ( )
二、填空题：
3、能与3和4围成三角形的数有 个；能与3和4围成直角三角形的有 个；能与3和4组成勾股数的数有 个。
4、三角形三边分别为6、8、10，那么最短边上的高为 ，最长边上的高为 。
×
两边之差＜BC＜两边之和 即：7＜BC＜17
√
无数
两
1
8
4.8
1、直角三角形斜边上的高等于两直角边之积除以斜边。
2、构造方程：S△＝0.5ab＝0.5ch
前提：Rt△
情境导入
情境导入
学会用数学的眼光观察事物
1
情景探究一
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
C
B
A
AC＋CB＞AB(两点之间线段最短)
B
A
3米
4米
C
2
情景探究二
从前有一只叫小黑的蚂蚁，妈妈不在家，出门前妈妈给小黑准备了好吃的食物，放在了不同的地方，小黑能找到这些食物吗？
2、AC两点间的距离为 米。
1、食物放在厨房的C处，小黑从房间的A处到厨房的C处，怎样爬行最近？这样爬行的依据是什么？
A
4米
3米
B
C
两点之间，线段最短
5
勾股定理
解：线段AB的距离就是蚂蚁爬行的最短路径
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
答 ：最短路径是50cm
1
平面图中最短路径问题
知识点
这个问题研究的过程是怎么的呢？
实际问题
两点之间，线段最短或垂线段最短
数学问题
勾股定理
立体图形又如何解决呢
1
平面图中最短路径问题
知识点
2
立体图形圆柱最短路径问题
知识点
如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。(结果保留根号)
2
立体图形圆柱最短路径问题
知识点
如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。(结果保留根号)
A
B
C
D
解：如图所示，由题意可知：
BC＝底面周长的一半＝10cm，AB＝4cm
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
答：爬行的最短路程约为 cm。
o
变式：一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的中点O，已知底面周长为10，试求出爬行的最短路程。
A
A
B
D
C
4
3
O
解：如图，由题意可知：
OD=4÷2=2，AD=10÷2=5。
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
答：最短路程为 厘米。
3
立体图形正方体最短路径问题
知识点
如图，桌子上有一个边长为10cm且无盖的正方体型盒子，底面不可通行，若妈妈把食物放在正方体的C处，小黑蚂蚁从A点出发，沿着正方体的外表面爬行，则最短的路径的长是多少cm。
A
C
B
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=
经过前面和右面
3
立体图形正方体最短路径问题
知识点
如图，桌子上有一个边长为10cm且无盖的正方体型盒子，底面不可通行，若妈妈把食物放在正方体的C处，小黑蚂蚁从A点出发，沿着正方体的外表面爬行，则最短的路径的长是多少cm。
A
C
B
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=
经过左面和后面
提炼方法——
1、将立体图形展开，转化成平面图形。
2、在平面图中找到对应的起点和终点，即对应点位置。
3、在平面图形中，连接起点和终点，得出线段。
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
4、构建直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度，比较，得最短路径。
5、答题。
展
找
连
求
答
归纳总结：立体图形表面最短路径问题
方法：
立体图形
平面图形
直角三角形
建模
转化分类讨论
勾股定理
两点之间，线段最短
展
找
连
求
答
本节课数学思想
化归转化思想
4
立体图形长方体最短路径问题
知识点
如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
分析：蚂蚁由A爬到C1过程中较短的路线有多少种情况？
①经过前面和右面
②经过前面和上面
③经过左面和上面
①经过前面和右面
②经过前面和上面
③经过左面和上面
解:(1)当蚂蚁经过前面和右面时，最短路程为：
(2)当蚂蚁经过前面和上面时，最短路程为：
(3)当蚂蚁经过左面和上面时，最短路程为：
∴ 最短路程为 ㎝。
拓展提高：如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
A
B
C
Ｄ
解: 由题意可知：AC＝5， BC＝3×3＋3×1＝12
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
答：从A点爬到B点，最短线路是13cm。
A
B
C
D
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
１、立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形。根据“两点之间，线段最短” 确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离。
２、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
提炼方法——
立体图形
平面图形
直角三角形
建模
转化
勾股定理
两点之间，线段最短
化归转化思想
知识点
最短路径问题
本节课的数学思想
1.本节课学习了哪些知识？用了什么数学思想方法？
2.你们有什么收获？
总结反思
示例 长方体表面上A，B两点间的最短距离
作 业
练习册
谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
如图，一个无盖长方形盒子的长、宽、高分别是4cm、4cm、6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（ ）
A. 5cm B. 8cm C. 10cm D.7cm
解：长方体展开，将长方体展开，进而得出最短路线。
可得：AB2＝62＋82＝100
∴AB＝10（cm）
故最短路程为10cm。
C
B
A
A
B
6
4
4
练习1
不积跬步 无以至千里
意思是：行程千里，都是从一步一步开始；如果做事不从一点一滴中做起， 那就不可能有所成就。
【名人名言】