云南省玉溪市一中2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题（含答案）

玉 溪 一 中 2026 届 高 二 上 学 期 月 考 二
数 学 （特 长 级 部）
满分：150 分，考试时间：120 分钟
一、单选题.（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求.）
1．在等比数列 an 中，若 a1 a2 16， a3 a4 24，则 a7 a8 （ ）
A．40 B．36 C．54 D．81
2．已知 f x 的导函数 f ' x 的图象如图所示，那么 f x 的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 f x lnx ax b有两个零点，则（ ）
A． a ln b 1 B．0 a ln b 1 C．0 a eb 1 D． a eb 1
4 2．已知过抛物线C : y 2px p 0 的焦点 F作斜率为 2 2的直线 l， l与C的一个交点A位于第四象限，
且 l与C的准线交于点 B，若 BF 8，则 AF （ ）
5 7
A． B．2 C． D．3
2 3
5 f x x2．已知函数 a ln x 1 有极值点，则实数 a的取值范围为（ ）
A． , 0 , 0 B． C． 0,
1 1
D． ,
2 2
试卷第 1页，共 4页
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6．在数列 an 中， an an 1 2n，则数列 an 前 24项和 S24的值为（ ）
A．144 B．312 C．288 D．156
7．已知圆C : (x 5)2 (y 3)2 3，直线 l : y ax 1，点M 、N为圆C上的两个动点，若直线 l上存在点 P，
使得 MPN 120 ，则 a的最大值为（ ）
7 6 21 20
A． B． C． D．
6 7 20 21
8．已知数列 an 满足 an 1 an 1 2an 2，a1 1，Sn是 an 的前 n项和．若 Sm 2024，则正整数m的所
有可能取值的个数为（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
二、多选题.（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分, 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
x2 y2 π π 9．已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)一条渐近线与实轴夹角为 ，且 , ，则离心率 e的可能取值a b 6 4
是（ ）
A 3 2． B 6． C． 2 D． 3
4 2
10．斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列 an 可以用
如下方法定义： F1 F2 1，Fn Fn 1 Fn 2 n 3,n N* .则（ ）
A． F12 145 B． F 2n FnFn 1 FnFn 1
C F 2 F 2 F 2． 1 2 n FnFn 1 D． F1 F2 Fn Fn 2 F2
11．已知 ， ( )是函数 f (x) x3 ax2 bx 1 (a,b R)两个不同的零点，且 1， x1是函数 f (x)
的极大值点， x2是函数 f (x)的极小值点，则（ ）
A． 1是 f (x)的零点 B．1是 f (x)的零点 C． x1 D． x2
试卷第 2页，共 4页
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三、填空题．（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12．已知公差不为 0的等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 S9 3 a2 a4 am ，则m .
π π
13．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1，中， AD BD， A1AD ， A1AB= ， AD BD AA3 4 1
1，则
A1C .
14．设 P x, y 是曲线 y cos x(0 x )上一动点，则 x+2y的最大值为 .
2
四、解答题．(本大题共 5 小题,共 77 分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15 13 2 2x．（本小题满分 分）已知函数 f x x e .
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2)讨论方程 f x m（m R）解的个数.
3
16．（本小题满分 15分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 且 S 2a2 n n 1
3 .
(1)求数列 an 的通项公式；
n2 n
(2)若bn ，求使bn取得最大值时的 n的值.an
试卷第 3页，共 4页
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17．（本小题满分 15分）如图，在三棱柱 ABC A B C 中，平面 AA C C 平面 ABC，
AB AC BC AA1 2，A1B 6.
(1)设 D为 AC中点，证明: AC⊥平面 A1DB ;
(2)求平面 A1AB1与平面 ACC1A1夹角的余弦值.
18．（本小题满分 17分）已知函数 f (x) a ln(x 1)， g(x) x 2 2x .
(1)如果函数 f (x)在 (2, f (2))处的切线，也是 g(x)的切线，求实数 a的值.
1
(2)若F(x) g(x) f (x)在 1,e 1

存在极小值 F x
e 0
，试求 F x0 的范围.

19．（本小题满分 17分）已知在平面直角坐标系 xOy中，椭圆G的中心在坐标原点O，焦点在 x轴上，焦
3
距等于 2 6 ，离心率为
2
(1)求椭圆G的标准方程;
1
(2)若直线 y x m(m 0)与椭圆G交于 M、N两点，求证： |OM |2 |ON |2 为定值;
2
(3)记 B为椭圆上顶点，过点 B作相互垂直的两条直线 BP，BQ分别与椭圆G相交于 P，Q两点.设直线 BP
的斜率为 k且 k 0，若 | BP | | BQ |，求 k的值.
试卷第 4页，共 4页
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玉 溪 一 中 2026 届 高 二 上 学 期 月 考 二
数学（特长级部）参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C B B C D D
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BC BCD AD
三、填空题

12．9 13． 2 14． 36
四、解答题
15．（1） f x 2x 2的定义域为R ， f x 2xe x 2e2x x x2 2e2x，
由 ，可得 1 x 0，由 f x 0，可得 x 1或 ，
∴函数 f x 的单调递减区间是 1,0 ，单调递增区间是 , 1 , 0, . ……6分
（2）由（1）可知函数 f x 在 , 1 ， ∞ 上单调递增；函数 f x 在 1,0 上单调递减，
∴ f x 1在 x 1时函数取极大值： f 1 2 ； f x 在 x 0时函数取极小值： f 0 0，e
又∵ x2 0， e x 0 2 2x ，∴ f x x e 0，
可得函数的大致图象，
∴当m 0时， f x m有 0个解；
1
当m 0或m 时， f x m有 1个解；
e2
0 m 1当 2 时， f x me 有 3个解；
1
当m 2 时， f x m有 2个解. ……13分e
答案第 1页，共 4页
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16． （1）由 Sn 2an 1 3，可得： Sn 1 2an 3(n 2)两式相减得： an Sn Sn 1 2an 1 2an
a
n 2 n 1
3
即 ， a ， ……4分n 2
a 3 a 3
又因为 S 31 2a2 3且 S1 a1 ，所以 a
9 2 n 1
2 ，所以 a 2，综上， n 1，

2 4 1 a 2
，
n
a 3 . a a qn 1 3
n

所以 n 为首项和公比均为 的等比数列 n 1 ……7分2 2
2 n2 （ ）由（1）可得，所以bn 3 n
2 n ，

2 n2b n 2 n 1
n 2时，由 n 1，可得 n 5；故当 n 5，b4 b ，bn 1 3 n2 n 3 n 1 5
当n 5时，b5 b6 b7 因此b2 b3 b4 b5 b6 b7
4 4 8
又 Q b1 ，b2 6 ， b1 b2，即b1 b b b b b b ，3 9 3 2 3 4 5 6 7
320
综上， n 4或 n 5时，bn的取得最大值 . ……15分81
17．（1）证明：因为D为 AC中点，且 AB AC BC 2，所以在V ABC中，有 BD AC，且 BD 3，
又平面 ACC1A1 平面 ABC，且平面 ACC1A1 平面 ABC AC， BD 平面 ABC ,
所以 BD 平面 ACC1A1，又 A1D 平面 ACC1A1，则 BD A1D，
由 A1B 6，BD 3，得 A1D 3，
因为 AD 1， AA1 2， A1D 3，所以由勾股定理，得 AC A1D，
又 AC BD， A1D BD D, A1D,BD 平面 A1DB，所以 AC 平面 A1DB； ……7分
（2）如图所示，以（1）中的D为原点，建立空间直角坐标系D xyz，
可得 A(1,0,0),A1(0,0, 3),B(0, 3,0)，
则 AA1 1,0, 3 , AB 1, 3,0 ，

设平面 A1AB1的法向量为 n (x, y, z)，

n AA
1
x 3z 0
由 ，令 x 3，得 y 1，z 1，所以 n 3,1,1 ,
n AB x 3y 0
答案第 2页，共 4页
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由（1）知，BD 平面 ACC1A1，所以平面 ACC1A1的一个法向量为 BD (0, 3,0)，

记平面 A1AB1与平面 ACC A
| n BD | 3 5
1 1的夹角为 ，则 cos ，| n || BD | 5 3 5
5
所以平面 A1AB1与平面 ACC1A1夹角的余弦值为 ． …… 15分
5
a
18．（1） f (2) 0， f (x) , f (2) a，故 f (x)在 (2, f (2))处的切线为 y a x 2 ，
x 1
y a x 2 也是 g(x)的切线，
故方程 a x 2 x2 2x 2只有一个解，即 x a 2 x 2a 0只有一个解，
a 2 2 8a 0，解得a 2 . …… 7分
2 x 1 2（2） F (x) g(x) f (x) x2 2x a ln x 1 ， F (x) 2x 2 a a ，
x 1 x 1
当 a 0时， F (x) 0，F (x)无极值点，不符合题意；
a
当 a 0时，在 1,1 上， F (x) 0， F (x)单调递减；
2
a
在 1 , 上， F (x) 0， F (x)单调递增；
2
故 F (x) a 2的极小值点 x0 1 ，则 a 2 x0 1 ， …… 12分2
故 F x0 x 20 2x0 2 x0 1
2 ln x0 1 ，
设 t x0 1， x
1
0 1,e 1
1 2 2
，则 t ,e e e
，此时F x0 t 1 2t ln t，

设 h t t 2 1 2t 2 ln t，则 h t 4t ln t，
t 1 ,1 时， h t 0， h t 单调递增； t 1,e 时， h t 0， h t 单调递减；
e
h 1 3
2 2 2
e e2
1,h e e 1,h 1 0 ，故 h t e 1,0 ,即 F x0 e 1,0 ……17分
19．（1 3 c）由已知得 c 6，又 e , a 2 2，又b2 a2 c2 2 .
2 a
G x
2 y2
所以椭圆 的方程为 1 . ……4分
8 2
答案第 3页，共 4页
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1
（2）依题意，设M x1, y1 ,N
y x mx2 , y2 ，联立直线与椭圆G有 2 ，消元得：x2 2mx 2m2 4 0
2 2 x 4y 8
当 16 4m2 0，即m2 4且m 0 2时， x1 x2 2m, x1x2 2m 4，
x2 x2|OM |2 |ON |2 x2 1 2 2
3 2 2
1 2 1 x2 2 1 4 x1 x2 4 3 x x 2 2x 8 8 4 4 1 2 1x2
3
4 4m2 4m2 8 10,即 |OM |2 |ON |2 10为定值. ……10分4
（3）设 P xP , yP ,N xQ , yQ ，设直线 BP的方程为 y kx 2(k 0)，
x2 y2
1 1
则直线 BQ的方程为 y x 2 ，由 8 2 ，消去 y 1 4k 2得 x2 8 2kx 0，k
y kx 2
x 8 2k | BP | 1 k2 x x 8 2k 1 k
2
P ， ，1 4k 2 B P 1 4k 2
x2 y2
1
8 2 4 8 2x 2
由 得 1
x22 0, x
8 2k
x Q | BQ | 1
1 x x 8 2 1 k， ，
k k k 2 4 k 2 B
Q 2
y 2 4 k
k
2 2
Q | BP | | BQ | 8 2 1 k 8 2k 1 k， ，
4 k 2 1 4k 2
整理得： k 3 4k 2 4k 1 0 2， (k 1) k 3k 1 0， k 1 k 3 5或 . …… 17分
2
答案第 4页，共 4页
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