云南省玉溪市玉溪第一中学2024-2025学年高二上学期第三次月考 数学试题（含解析）

玉溪一中高2026届第三次月考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分.
1.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B.3 C. D.1
2.直线的斜率是（ ）
A.1 B. C. D.
3.已知圆C：关于直线对称，则m的值为（ ）
A. B.2 C. D.4
4.已知A，B，C三点不共线，点O不在平面内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.2
5.如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，，分别在半平面，内，，，且，则的长等于（ ）
A.4 B. C. D.
6.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系）是：”.如果给出平面的方程是，平面的方程是，则由这两个平面所成的角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线C：，点B的坐标为，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.定义：若点在椭圆上，则以P为切点的切线方程为.已知椭圆C：，点M为直线上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线恒过定点（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线与直线之间的距离为
B.直线在两坐标轴上的截距之和为6
C.将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为
D.若直线与直线垂直，则
10.已知F是抛物线C：的焦点，直线经过点F交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是（ ）
A.以为直径的圆与抛物线的准线相切
B.若，则直线的斜率
C.若，，则为定值
D.若，则的最小值为18
11.已知曲线：，点在曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A.曲线有4条对称轴 B.的最小值是
C.曲线围成的图形面积为 D.的最大值是1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知点是角终边上的一点，则的值为________.
13.若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是________.
14.已知椭圆，焦点，，过的直线和圆相切，并与椭圆在第一象限的图象交于点P，且轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________.
四、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知直线l：，圆M：.
（1）若，求直线l截圆M所得的弦长；
（2）已知直线l过定点P，求点P的坐标及过点P的圆M的切线方程.
16.（15分）在平面直角坐标系中中，过点的直线l与抛物线C：相交于点A，B.
（1）若直线l的斜率为1，求的面积；
（2）求证：.
17.（15分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解（1）、（2）的答案.
问题：在中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知________.
（1）求角C；
（2）若点D满足，且，求的面积的最大值.
（注：如果选择两个条件分别作答，则按第一个解答计分.）
18.（17分）如图，在四棱锥中，平面平面，是斜边为的等腰直角三角形，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点M，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
19.（17分）已知在平面直角坐标系中，椭圆G的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，焦距等于，离心率为.
（1）求椭圆G的标准方程；
（2）若直线与椭圆G交于M，N两点，求证：为定值；
（3）记B为椭圆G的上顶点，过点B作相互垂直的两条直线，，分别与椭圆G相交于P，Q两点.设直线的斜率为k且，若，求k的值.
玉溪一中高2026届第三次月考
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分、选错得0分.
1.【答案】B
【解析】抛物线的标准方程为，则，即，所以抛物线的焦点到其准线的距离为.故选B.
2.【答案】B
【解析】由题意得故选B.
3.【答案】A
【解析】由，可得圆C的圆心为.
因为圆C关于直线对称，所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，则，解得，故选A.
4.【答案】B
【解析】因为A，B，C，D四点共面，所以，
所以，当且仅当时取“=”.故选B.
5.【答案】A
【解析】由二面角的平面角的定义知，
，
由，，得，，，
所以，即.故选A.
6.【答案】A
【解析】由题意，因为平面的方程是，所以法向量，
由平面的方程是，所以法向量，
所以，所以，故选A.
7.【答案】A
【解析】设，则由得，整理得（*），由得，代入不等式（*）中，化简得恒成立，则，即，即，即，可得，解得，又，所以，故选A.
8.【答案】C
【解析】点M在直线上，设，，，
所以的方程为.又M在上，
所以①，
同理可得②.
由①②可得的方程为，
即，即，
所以解得
故直线恒过定点.故选C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AC
【解析】直线与直线之间的距离，故A正确；
对于直线，令，得，令得，
所以直线在两坐标轴上的截距之和为2，故B错误；
直线的倾斜角为，绕原点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角为，斜率为，故C正确；
若直线与直线垂直，则，解得或故D不正确.故选AC.
10.【答案】ACD
【解析】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：，
设，，则的中点，利用焦点弦的性质可得，而的中点M到准线的距离，
∴以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；
B：设直线的方程为，，联立，整理可得：，
可得，，
∵，
∴，解得，，
∴，解得，因此B不正确，C正确；
D：若，则抛物线C：，不妨设，，
∴，
当且仅当，时取等号，因此D正确.故选ACD.
11.【详解】ACD
【解析】当，时，原方程化为，即，
所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，又由图象关于x轴，y轴对称，所以曲线，如图所示.，对于A，由图象可得，该曲线关于x轴，y轴，和对称，所以该曲线有4条对称轴，所以A正确，
对于B，由表示曲线上的点P到直线的距离的倍，
结合图象得，当是时，距离最小值为，
所以最小值为，所以B错误；
对于C，曲线围成的图形由四个直径为的半圆和一个边长为的正方形组成，
所以面积为，所以C正确；
对于D，设表示点与点P确定的直线的斜率，
设该直线方程为，结合图象，当，，即，
则圆心为，半径为的圆在第四象限的部分与直线相切时，
该切线的斜率是k的最大值，由，可得，解得或（舍），则k的最大值为1，所以D正确.故选ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【详解】已知角终边上一点，所以，
所以，所以.
13.【答案】
【解析】当直线与双曲线的渐近线平行时，，此时直线与双曲线的其中一支有一个交点.若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则k的取值范围为.
14.【答案】；
【解析】设圆心为A，直线与圆的切点为B，
过的直线和圆相切的直线为l，，.
将p点坐标代入，解得，即.
由题意可得，所以根据勾股定理可得
，
由题意，，
故直线l的斜率，
又结合可得，解得或（舍去），所以椭圆的离心率为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）4；（2）或
【解析】（1）当时，直线l：，
圆M的圆心为，半径为3，
则圆心M到直线l的距离为，
则直线l截圆M所得的弦长为；
（2）对于直线l，令，则，所以，
由题意易得切线的斜率存在，
则可设直线（A为切点）的方程为，即，
所以，解得，
故所求切线方程为，即或.
16.【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）由题意知，直线l的方程为，
由，得，
设点，，则，，
所以.
直线l的一般式方程为，点O到直线的距离，
所以的面积.
（2）证明：设l的方程为，
由，消去x得，
设点，，则，
所以，
所以，所以，即.
17.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若选①
由正弦定理得，
在中，，
所以，
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
若选②
由正弦定理得，
在中，，
所以
即，
所以，又，有，
所以，由，得.
（2）不论选①或②，均计算得，
由，可得
两边平方可得，
即，
所以，当且仅当时取“=”，
所以，所以.
18.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，
【解析】（1）证明：∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
∵平面
∴，
又∵且，、平面
∴平面，
（2）取中点为O，连接、，
又∵，∴，
则
∵，
∴，则，
以O为坐标原点，分别以，，
所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，
∴，，，
设为平面的一个法向量，
∴由得
令，则.
设与平面所成角的角为，
∴
（3）假设在棱上存在点M，使得平面与平面所成角的余弦值为，
由（2）可知，，，，
∴，，
设，.
∴.
设为平面的一个法向量，
∴由得
则，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为.
∴
∴，∴
19.【答案】（1）；（2）见解析；（3）1或
【解析】（1）由已知得，又，
∴，又，
所以椭圆G的方程为.
（2）依题意，设，，联立直线与椭圆G有，
消y得：，
当，即且时，，，
所以
（3）设，，设直线BP的方程为，
则直线的方程为，
由，消去y得
∴，∴
由得
∴，
，
∵，∴整理得：，
∴.
∴或.