云南省昭通市第一中学教研联盟2024_2025学年高二上学期期中质量检测 数学试卷（B卷）（含解析）

云南省昭通市第一中学教研联盟2024~2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷（B卷）
一、单选题（本大题共8小题）
1．满足条件 的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．在四面体中，（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．棣莫佛定理：若复数，则，计篎（ ）
A．－1 B． C． D．
5．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面经过点，且法向量为是平面内任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的表面积为（ ）.
A． B． C． D．
8．的内角，，的对边分别为，，，若的面积，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知空间中三点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．与是共线向量
C．和夹角的余弦值是1
D．与同向的单位向量是
10．若圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，则实数可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下命题正确的是（ ）
A．对于任意的，都有
B．函数是偶函数，且函数的值域是
C．若且为有理数，则对任意的恒成立
D．在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．若样本数据的方差为16，则数据的标准差为 .
13．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ．
14．直线与圆交于，两点，则（为坐标原点）的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
16．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第1次拨号接通电话；
(2)第3次拨号才接通电话；
(3)拨号不超过3次而接通电话.
17．2015年7月16日，电影《捉妖记》上映，上映至今全国累计票房已超过20亿．某影院为了解观看此部电影的观众年龄的情况，在某场次的100名观众中随机调查了20名观众，已知抽到的观众年龄可分成5组：，根据调查结果得出年龄情况残缺的频率分布直方图如下图所示．
(1)根据已知条件，补充画完整频率分布直方图，并估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数；
(2)现在从年龄属于和的两组中随机抽取2人，求他们属于同一年龄组的概率．
18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程；
(3)求直线上被圆所截得的弦长.
19．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，平面，，为的中点，平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的角的正弦值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由已知得1，，则的其它元素只能从3、4中选最少选1个，最多选2个，
故满足条件的集合的个数为3，
故选：C.
2．【答案】B
【详解】根据向量的加法、减法法则，得，
故选：B.
3．【答案】A
【详解】向量，，且，
可得，，
，
故选：A.
4．【答案】A
【详解】由棣莫佛定理得，，
故选：A.
5．【答案】B
【详解】∵，，，，
，
又，，，，
，
故选：B.
6．【答案】D
【详解】依题意，，而平面的法向量为，
因此，即.
故选：D.
7．【答案】A
【详解】正方体的上底面所在平面截球面所得小圆为正方形的内切圆，半径，
设球半径为，依题意，球心到截面小圆距离，
由截面小圆性质得，即，解得，
所以球的表面积为.
故选：A
8．【答案】C
【详解】由余弦定理得，由得，
消去得，，，
由知的边上的高为，则点在与平行，且距离为的直线上，
如图，以为直径画半圆，则该半圆与直线相切，
当为切点时，，此时角最大，
由图可知，，，，
的取值范围是，
故选：C.

9．【答案】AD
【分析】对于A，求出模长即可；对于B，向量共线定理；对于C，向量数量积求角度；对于D，计算同向的单位向量，再比较即可
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，，，不共线，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，
其同向的单位向量为，D正确.
故选AD.
10．【答案】BCD
【详解】圆即圆,
需满足，则圆心为，半径为
圆心到直线的距离为，
要使圆上至多存在一点，使得该点到直线的距离为2，
需满足，解得，结合选项可知6，7，8符合题意，
故选：BCD
11．【答案】ACD
【详解】对选项A，当时，，则；
当时，，则，所以对于任意的，都有，故A正确；
对选项B，当时，，；
当时，，，
所以函数偶函数；当时，；当时，，
所以函数的值域是，故B错误；
对选项C，当时，因且为有理数，所以，则；
当时，因为且为有理数，所以，则，
所以对任意的恒成立，故C正确；
对选项D，取，，，，，构成以为边长的等边三角形，故D正确，
故选：ACD.
12．【答案】
【详解】设样本数据的方差为，则，可知数据的方差为，所以标准差为8.
故答案为：8.
13．【答案】
【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量，
，
.
故答案为：
14．【答案】
【详解】由得，
直线经过直线和的交点，
设线段中点为，则，，
则，
又由圆的性质知，，
当且仅当，，，共线时（此时，重合），，
当且仅当时（此时，重合），，
的取值范围是.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由正弦定理得，
，
，
又，
.
（2），，，
，
，，
，
，
的取值范围为.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由于电话号码的最后一个数字由10种可能，正确数字只有一个，
第1次接通电话可表示为，
所求概率为.
（2）设{第i次拨号接通电话}，，2，3.
第3次才接通电话可表示为，
所求概率为.
（3）拨号不超过3次而接通电话可表示为，
所求概率为
.
17．【答案】(1)33.5
(2)
【详解】（1）补充完成的频率分布直方图如下：
估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为
（2）年龄属于和的分别有4人，2人，
分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2
则从中随机抽取两人的所有可能情况有，
，共15种，
其中，两人属于同一年龄组的有，共7种，
所以所求的概率为．
18．【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由题意设圆心，
因为，
即，
解得，即，
半径，
所以圆的标准方程为.
（2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为，
即，
则圆心到切线的距离，
解得，
此时切线的方程为：，
即，
综上所述：过的切线方程为或.
（3）圆心到直线的距离为，
所以弦长.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图，
为中点，
，
，，
，确定平面，
又平面，平面平面，
，
平面，平面，
，
，，，，
平面，
平面，
平面，
平面平面.
（2）平面，平面，
，
由（1）是平行四边形，则，
以为原点，，所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，
，，，
，，
设平面的法向量为，平面与平面所成的角为，
则令，则，
又平面的一个法向量为，
，
，
平面与平面所成的角的正弦值是.