安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学2025届高三上学期12月月考数学试题（含答案）

1
高三12月考试卷
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设集合，则（）
A. B.
C. D.
2. 已知复数z满足4且，则的值为
A. ﹣1 B. ﹣2 2019 C. 1 D. 2 2019
3. 在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（）
A. B. C. D.
4. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取）
A. 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天
5. 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（）
A B. C. D.
6. 已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C.
D.
7. 已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（）
A. 1 B. C. D.
8. 已知函数，，若成立，则最小值为（）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（）
A. B.
C. 在区间上单调递减 D. 直线是曲线的切线
10. 已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（　　）
A. 数列的第项小于 B. 数列不可能是等比数列
C. 数列为递增数列 D. 数列中存在大于的项
11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（）
A. 若平面是面积为的等边三角形，则
B. 若，则
C. 若，则球面的体积
D. 若平面直角三角形，且，则
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为______.
13. 展开式中的常数项是120，则实数______．
14. 若，则的最小值为___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
（1）求角大小；
（2）求的取值范围
16. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
不太了解 比较了解 合计
男生 20 40 60
女生 20 20 40
合计 40 60 100
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有95%把握认为两变量有关联.
18. 抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知点为抛物线的焦点，为坐标原点，点在抛物线上，且其纵坐标为，满足.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经过抛物线上另一点，最后沿方向射出，若射线平分，求实数的值.
19. 已知函数.
（1）证明：；
（2）设，求证：对任意的，都有成立.
高三12月考试卷
数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.
【答案】D
2.
【答案】D
3.
【答案】D
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】D
7.
【答案】D
8.
【答案】A
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.
【答案】BD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】BC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.
【答案】
13.【答案】2
14.【答案】9
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解.
（2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以．
【小问2详解】
因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即．
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以，即，
所以，即的取值范围为.
16.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论；
（2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案.
【小问1详解】
不妨设，
，
由余弦定理得，
在中，，
平面平面，平面平面平面，
平面．
平面，
四边形是菱形，，
又，且平面平面平面．
【小问2详解】
在平面内，过点作的垂线，垂足为，
平面平面，平面平面，
平面，
又四边形是菱形，，
均为等边三角形，
以点A为坐标原点，及过点A平行于的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系（如图），
则，
由（1）平面，
为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则即．
令，可得，，
平面与平面的夹角的余弦值为．
17.
【解析】
【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论；
（2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.
【小问1详解】
根据列联表中的数据，
得，
所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.
【小问2详解】
这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，
则抽取的男生有3人，女生在2人，
所以的取值依次为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
0 1 2
.
18.
【解析】
【分析】（1）求出点的坐标，根据可得出关于的等式，即可解出的值，由此可得出抛物线的标准方程；
（2）求出点的坐标，可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，设直线的倾斜角为，分析可得出，，由结合二倍角的正切公式求出的值，结合可得出实数的值.
【小问1详解】
解：由题意可知，抛物线的焦点为，将代入抛物线方程可得，
即点，
由可得，解得，
故抛物线标准方程为.
【小问2详解】
解：由题意可知，直线的方程为，由可得，即点，
则，直线的方程为，
联立可得，即点，
设直线的倾斜角为，则，
由题意可知，，且为锐角，，可得，所以，，
因为，可得，解得.
19.
【解析】
【分析】（1）构造新函数，根据导数的性质判断新构造函数的单调性，利用单调性进行运算证明即可；
（2）根据对数运算性质，结合分析法、构造函数法进行运算证明即可.
【小问1详解】
设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
于是有，即.
【小问2详解】
要证明成立，
即证明成立，
即证明成立，
也就是证明成立，
因为，所以原问题就是证明成立，
由，设，
即证明，也就是证明成立，
设，
所以当时，函数单调递增，即有，
从而成立.
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