第一章：特殊平行四边形 小结与复习

(共23张PPT)
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
第一章 特殊平行四边形
九年级数学上（BS）
教学课件
项目
四边形 对边 角 对角线
平行且相等
平行
且四边相等
平行
且四边相等
四个角
都是直角
对角相等
邻角互补
四个角
都是直角
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
一、菱形、矩形、正方形的性质
要点梳理
四边形 条件
①定义：有一外角是直角的平行四边形
②三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
①定义：一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
②有一组邻边相等的矩形
③有一个角是直角的菱形
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
A
B
C
O
D
考点一 菱形的性质和判定
考点讲练
证明：在△AOB中.
∵AB= , OA=2,OB=1.
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形).
1. 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
针对训练
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.
A
B
C
D
E
F
解：四边形ABCD是菱形.
过点C作AB边的垂线交点E,作AD边上的垂线交点F.
S 四边形ABCD=AD · CF =AB ·CE .
由题意可知 CE = CF 且 四边形ABCD是平行四边形.
∴AD = AB .
∴四边形ABCD是菱形.
例2：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.
A
B
C
D
O
考点二 矩形的性质和判定
A
B
C
D
O
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，
OB=OD= BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE是菱形.
【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵BE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
3.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
A
B
C
D
O
针对训练
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× =
A
B
C
D
O
4.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
例4 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
解：(1)四边形BECF是菱形．
理由如下：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠3＝∠1.
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4，
考点三 正方形的性质和判定
∴EC＝AE，∴BE＝AE.
∵CF＝AE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
方法总结
正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
例5 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请
说明理由；
(1)证明：∵CE平分∠BCO，
CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠ECF＝ ×180°＝90°.
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF.
又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形.
解：当点O运动到AC的中点时，
且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．
∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF
是矩形，
已知MN∥BC，
当∠ACB＝90°，
则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
即AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时，
四边形AECF为正方形．
针对训练
5.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（　　）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
B
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为______．
30
A
B
C
O
D
7.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD.
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF.
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝90°.
在正方形ABCD中， AD∥BC，
∴∠1＝∠AGB＝30°.
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，
∴AF＝ ，DF＝1.
由(1)得△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF＝1，
∴EF＝AF－AE＝ －1.
两组对边平行
一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
一个角是直角
一个角是直角且一组邻边相等
课堂小结
见章末练习
课后作业