1.1第3课时菱形的性质、判定与其他知识的综合

(共23张PPT)
1.1 菱形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合
九年级数学上（BS）
教学课件
1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一
些相关问题,并掌握菱形面积的求法.(重点、难点)
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会
数形结合、转化等思想方法.
学习目标
1．平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 ．
2．菱形具有 的一切性质．
3．菱形是 图形也是 图形．
4．菱形的四条边都 ．
5．菱形的两条对角线互相 ．
平行且相等
相等
互相平分
平行四边形
轴对称
中心对称
相等
垂直且平分
复习引入
导入新课
6.平行四边形的面积=_________.
A
B
C
D
F
底×高
7.菱形是特殊的平行四边形，如图菱形ABCD的面积
=_________.
BC·DF
思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？
A
B
C
O
D
菱形的面积
一
问题1 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
讲授新课
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
例1：如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半．
归纳
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
【变式题】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°，
∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA= AB=1cm，AC=AB=2cm，
∴BD=2OB= cm；
（2）S菱形ABCD= AC BD
= ×2× = （cm2）．
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
归纳
练一练
如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
菱形的判定与性质的综合问题
二
如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？
做一做
平行四边形
如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？
菱形
A
C
D
B
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.
由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，
然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
E
F
例3 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，
∴四边形BCFE是菱形；
(2)解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为 ，
∴菱形的面积为 .
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
归纳
练一练
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是______.
2.如图，菱形ABCD中∠BAC＝120°，
则∠BAC＝_______.
6cm
60°
3.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，
则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.24cm C. 13cm D.17cm
A
B
C
D
O
当堂练习
4. 如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝ .
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3
(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6.
A
B
C
O
D
在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.
A
B
C
O
D
课堂小结
菱形的性质与判定的综合性问题
菱形的面积
综合运用
面积=底×高=两条对角线乘积的一半