2.1.1认识一元二次方程

(共22张PPT)
2.1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时 一元二次方程
1.了解一元二次方程的概念;（重点）
2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）. （重点）
3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型.（难点）
学习目标
根据下面的问题,设一个未知数,列出方程,不需解方程.
问题1：若一个正方形花坛的面积为64m2,则正方形的边长为多少m？
问题2：某小区计划在楼间空地建造一个面积为120m2的长方形绿地,且长比宽多10m,那么这个长方形绿地的宽为多少m？
64m2
120m2
解：设正方形的边长为 x m.
x2 = 64.
解：设长方形绿地的宽为 x m,则长为（x+10）m.
x（x+10） = 120.
导入新课
一元二次方程的概念
一
问题1：请通过类比一元一次方程一般形式（ax + b = 0）,对下面所得方程进行整理.
（1） x2 = 64 ; （2）x（x + 10） = 1200.
（1） x2 – 64 = 0 ;
（2） x2 + 10x – 1200 = 0.
问题2：上述两个方程有什么共同特点？
1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程．
讲授新课
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0
(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
①若a＜0,那么最好在方程的左右两边同乘以-1,使二次项系数变为正整数；②指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.
注意
练一练
1.关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 　　　时,是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0,当k 　 　　 时,是一元二次方程.当k 　　　时,是一元一次方程．
ax2+bx+c=0 (a，b，c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式；当a=0,b≠0时称为一元一次方程的一般形式．
归纳
≠3
≠±1
=-1
1.下列方程哪些是一元二次方程 为什么
(1)7x2 - 6x = 0
(2)2x2 - 5xy + 6y = 0
(3)
(4)
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
√
方程中同时出现x、y两个未知数
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
当堂练习
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方　程 一般形式 二次项
系数 一次项
系数 常数项
3x2= 5x - 1
(x + 2) (x - 1)=6
4 - 7x2=0
3x2 - 5x + 1 = 0
x2 + x - 8 = 0
3
-5
1
1
1
-8
7x2 - 4 = 0
7
0
-4
3.如图,有一块矩形铁皮,长19cm,宽15cm．在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是81 cm2 ,那么铁皮各角应切去多大的正方形（列出方程即可）？
解：设需要剪去的小正方形边长为 x cm,则纸盒底面的长方形的长为（19 -2x）cm ,宽为（15 - 2x）cm.
依题意得：
(19 - 2x) (15 - 2x) = 81.
x2 - 17x + 51 = 0 (一般式).
xcm
xcm
一元二次方程
只含有一个未知数x的整式方程，并且
都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,
a≠0)的形式.
概念
一般式：ax2+bx+c=0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数.
bx 称为一次项,b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
建立一元二次方程模型
课堂小结
1.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)
2.会估算一元二次方程的解.（难点）
学习目标
一元二次方程的解
一
例1：幼儿园某教室矩形地面的长为8m,宽为5m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2 的地毯 ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？
解：设所求的宽为 x m .
根据题意,可得方程：
( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.
即 2x2 - 13x + 11 = 0.
讲授新课
对于方程( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18 ,即 2x2 - 13x + 11 = 0
（1）x可能小于0吗 说说你的理由．
（2）x可能大于4吗 可能大于2.5吗 说说你的理由.
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗 还有其他求解方法吗 与同伴进行交流．
11
5
0
-4
-7
x 0 0.5 1 1.5 2
2x2 - 13x + 11
解：设梯子底端滑动x m .
根据题意，可得方程：
例2：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
72 + (x + 6)2 = 102.
即 x2 +12 x - 15 = 0.
10m
8m
1m
xm
你能猜出滑动距离x的大致范围吗？
下面是小亮的求解过程：
x 0 0.5 1 1.5 2 …
x2+12x - 15 -15 - 8.75 - 2 5.25 13 …
可知x取值的大致范围是:1进一步计算：
所以1.1＜x＜1.2,由此他猜测x整数部分是1 ,十分位部分是1．
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15 - 0.59 0.84 2.29 3.76
用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤：
①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②根据题意所列的具体情况再次进行排除;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想
练一练：使用“两边夹”的思想解答该题.
观察下面等式：
102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：设五个连续整数中的第一个数为x.
根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.
即 x2 - 8x -20 = 0.　
解方程：x2 - 8x -20 = 0.
所以x=-2 或10.因此这五个连续整数依次为-2, -1 , 0 , 1 , 2;或10 , 11 , 12 , 13 , 14.
x -3 -2 … 10 11
x2 - 8x -20 13 0 … 0 13
问题：设五个连续整数中的中间一个数为x,请同学们动手列出方程,并解答出来.
1.请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根（精确到0.1）.
解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,…
由上表可发现，当2＜x＜3时, -1＜ x2 - 2x -1 ＜2；
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x 0 1 2 3 …
x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 …
x 2.2 2.3 2.4 2.5 …
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04 0.25 …
当堂练习
由表可发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 - 2x - 1 ＜0.25;
（3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025.
∴2.4＜x＜2.45,
∴x≈2.4.
2.根据题意,列出方程,并估算方程的解：
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设苗圃的宽为x m,则长为(x+2) m ,根据题意得：
x (x + 2) = 120.
即 x2 + 2x - 120 = 0.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11.解方程 x2 + 2x - 120 = 0.
完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):
x … …
x2 +2x – 120 … …
8 9 10 11
-40 -21 0 23
120m2
(x+2)m
xm
所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.
解一元二次方程
（“两边夹”方法）
确定其解的大致范围
列表、计算
进行两边“夹逼”
……
求得近似解
课堂小结