3.3垂径定理及其推论课件
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文档简介
(共29张PPT)
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
知识要点
D
O
A
B
E
C
垂径定理
AE＝BE
AC＝BC
AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB
①直径过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
D
O
A
B
E
C
垂径定理
将题设与结论调换过来，还成立吗？
这五条进行排列组合，会出现多少个命题？
① 直径过圆心
③ 平分弦
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
D
O
A
B
E
C
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
M
N
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC
求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
① 直径过圆心
⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
② 垂直于弦
③ 平分弦
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．
∴AM＝BM，
CM＝DM
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
O
A
B
N
C
D
证明：作直径MN垂直于弦AB
∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴AM－CM ＝BM－DM
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
即 AC＝BD
A
B
C
D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论2有这两种情况：
O
O
A
B
C
D
C
D
A
B
E
已知：AB．
求作：AB的中点．
⌒
⌒
点E就是所求AB的中点．
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 CD，交AB于点E．
⌒
小练习
A
B
C
D
E
已知：AB．
求作：AB的四等分点．
⌒
⌒
作法：
1． 连结AB．
3． 连结AC．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点E．
⌒
4． 作AC的垂直平分线 ，交AC于点F．
⌒
5． 点G同理．
点D、C、E就是AB的四等分点．
⌒
A
B
C
作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．
×
C
A
B
O
你能确定AB的圆心吗？
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点C．
⌒
3． 作AC、BC的垂直平分线．
4． 三条垂直平分线交于一点O．
点O就是AB的圆心．
⌒
你能破镜重圆吗？
A
B
C
m
n
O
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
作法：
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 垂径定理
D
O
A
B
E
C
条件 结论 命题
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
3．垂径定理的推论
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
4． 解决有关弦的问题
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）
√
√
随堂练习
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm．
4． 已知在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，求⊙O的半径．
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝16cm ∴AE＝8cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm
∴⊙O的半径为10cm．
．
A
E
B
O
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，
∵ CD是直径，OE⊥AB
∴ AE=1/2 AB=5
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2
解得：x=13
∴ OA=13
∴ CD=2OA=26
即直径CD的长为26.
9． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
E
．
A
C
D
B
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
知识要点
D
O
A
B
E
C
垂径定理
AE＝BE
AC＝BC
AD＝BD
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CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB
①直径过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
D
O
A
B
E
C
垂径定理
将题设与结论调换过来，还成立吗？
这五条进行排列组合，会出现多少个命题？
① 直径过圆心
③ 平分弦
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
D
O
A
B
E
C
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
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一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
M
N
C
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注意
为什么强调这里的弦不是直径？
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC
求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD
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A
B
E
C
① 直径过圆心
⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC
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E
C
② 垂直于弦
③ 平分弦
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
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C
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．
∴AM＝BM，
CM＝DM
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垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
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A
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C
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证明：作直径MN垂直于弦AB
∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴AM－CM ＝BM－DM
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即 AC＝BD
A
B
C
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两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论2有这两种情况：
O
O
A
B
C
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C
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A
B
E
已知：AB．
求作：AB的中点．
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点E就是所求AB的中点．
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作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 CD，交AB于点E．
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小练习
A
B
C
D
E
已知：AB．
求作：AB的四等分点．
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作法：
1． 连结AB．
3． 连结AC．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点E．
⌒
4． 作AC的垂直平分线 ，交AC于点F．
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5． 点G同理．
点D、C、E就是AB的四等分点．
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A
B
C
作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．
×
C
A
B
O
你能确定AB的圆心吗？
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点C．
⌒
3． 作AC、BC的垂直平分线．
4． 三条垂直平分线交于一点O．
点O就是AB的圆心．
⌒
你能破镜重圆吗？
A
B
C
m
n
O
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
作法：
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 垂径定理
D
O
A
B
E
C
条件 结论 命题
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
3．垂径定理的推论
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
4． 解决有关弦的问题
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）
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随堂练习
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
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O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm．
4． 已知在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，求⊙O的半径．
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝16cm ∴AE＝8cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝10cm
∴⊙O的半径为10cm．
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O
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
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C
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解：连接OA，
∵ CD是直径，OE⊥AB
∴ AE=1/2 AB=5
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2
解得：x=13
∴ OA=13
∴ CD=2OA=26
即直径CD的长为26.
9． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
E
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