3.2《圆的对称性》戚纪
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§3.2 圆的对称性
北师大版 数学 九年级下册
深圳市罗湖区翠园初级中学 戚纪
学习目标：
了解圆的轴对称性和中心对称性及相关性质。
掌握圆心角、弧、弦之间相等关系定理及应用。
知识点1：圆的对称性
什么是轴对称图形？
什么叫中心对称图形？
答：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
答：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
知识点1：圆的对称性
什么是轴对称图形？
什么叫中心对称图形？
答：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
答：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
知识点1：圆的对称性
1、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2、圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？
圆
中心对称
轴对称
旋转不变性
【想一想】
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
对称轴是任意一条经过圆心的直线。
对称中心是圆心。
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
【圆心角概念】
A
B
O
如图所示的∠AOB，
像这种顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
B
O
A
B
O
A
B
O
A
B
O
①
②
③
④
【辨一辨】判别上图中的角是不是圆心角？
√
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
·
A
B
【想一想】如图，在等圆⊙O和⊙O‘中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’ ，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O‘A’重合。你能发现哪些等量关系？说一说你的理由。
O
·
A'
B'
O'
等量关系：
∠AOB=∠A’O’B’（已知）
OA=OB=O’A’=O’B’（半径）
∠A= ∠B=∠A’ =∠B’
AB=A’B’
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
·
A
B
【想一想】如图，在等圆⊙O和⊙O‘中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’ ，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O‘A’重合。你能发现哪些等量关系？说一说你的理由。
O
·
A'
B'
O'
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
·
A
B
A'
B'
【想一想】如图，在等圆⊙O和⊙O‘中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’ ，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O‘A’重合。你能发现哪些等量关系？说一说你的理由。
O
∵半径OA与O’A’重合，∠AOB=∠A’O’B’
∴半径OB与O’B’重合。
∵点A与点A’重合，点B与点B’重合，
∴ AB与A’B’重合 ，弦AB与弦A’B’重合。
⌒
⌒
∴AB=A’B’ ， AB=A’B’ 。
⌒
⌒
（O′）
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
在 等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
同圆或
知识点2：圆心角定理
几何语言：
∴ AB=A’B’ ， AB=A’B’
⌒
⌒
∵ ∠AOB=∠A’O’B’
·
A
B
O
·
A'
B'
O'
几何画板中的圆心角、弧、弦之间的关系
等对等定理
O
A
B
C
D
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（1）∵ ∠AOB=∠COD
几何语言：
O
A
B
C
D
∴ AB=CD ， AB=CD
⌒
⌒
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（2）∵ AB=CD
∴ AB=CD ，∠AOB=∠COD
⌒
⌒
（3）∵ AB=CD
⌒
⌒
∴ AB=CD ，∠AOB=∠COD
等对等定理
如图，在⊙O中，
例：如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD=CE。BE与CE的大小有什么关系？为什么？
⌒
⌒
B
E
O
D
A
C
BE=CE；理由是：
∵ ∠AOD=∠BOE
∴ AD=BE
⌒
⌒
又∵ AD=CE
⌒
⌒
∴ BE=CE
⌒
⌒
∴ BE=CE
答：
练习1：如图，A、B、C、D是⊙O上的四点， AB=DC ，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
·
O
A
B
C
D
答：
全等；理由是：
∵ AB=DC
∴ AC=DB
又∵AB=DC，BC=CB
∴ AB=DC
⌒
⌒
⌒
∴ AB+BC=DC+BC
⌒
⌒
⌒
∴ AC=DB
⌒
⌒
∴ △ABC≌△DCB（SSS）
+
·
O
D
C
A
B
F
E
练习2：如图，在⊙O中， AB，CD是两条弦 ，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F。
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？ ∠AOB=∠COD呢？为什么？
⌒
⌒
解： （1）OE=OF；理由是：
在⊙O中，OA=OB=OC=OD
∵ OE⊥AB，OF⊥CD
∴ ∠AEO＝∠CFO＝９０°，∠AOE＝∠BOE＝ ∠AOB，
∠COF＝∠DOF＝ ∠COD
∵ ∠AOB=∠COD
∴ ∠AOE＝ ∠COF
又∵ ∠AEO＝∠CFO，OA＝OC
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE＝OF
从圆心到弦的距离叫弦心距。
·
O
D
C
A
B
F
E
练习2：如图，在⊙O中， AB，CD是两条弦 ，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F。
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？ ∠AOB=∠COD呢？为什么？
⌒
⌒
（２）∵ OE⊥AB，OF⊥CD
∴ ∠AEO＝∠CFO＝９０°
∵ OE＝OF，OA＝OC
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL）
∴AE＝CF
同理得，Rt△ＢOE≌Rt△ＤOF
∴BE＝DF
∴AE＋ BE ＝CF＋DF
∴AB＝CD
∴AB＝CD，∠AOB=∠COD
⌒
⌒
≌
≌
≌
≌
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
１、圆的特殊对称性。
2、在同圆或等圆中，圆心 角、弧、弦之间的关系。
小结：
·
§3.2 圆的对称性
北师大版 数学 九年级下册
深圳市罗湖区翠园初级中学 戚纪
学习目标：
了解圆的轴对称性和中心对称性及相关性质。
掌握圆心角、弧、弦之间相等关系定理及应用。
知识点1：圆的对称性
什么是轴对称图形？
什么叫中心对称图形？
答：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
答：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
知识点1：圆的对称性
什么是轴对称图形？
什么叫中心对称图形？
答：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
答：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
知识点1：圆的对称性
1、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2、圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？
圆
中心对称
轴对称
旋转不变性
【想一想】
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
对称轴是任意一条经过圆心的直线。
对称中心是圆心。
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
【圆心角概念】
A
B
O
如图所示的∠AOB，
像这种顶点在圆心的角叫做圆心角.
A
B
O
A
B
O
A
B
O
A
B
O
①
②
③
④
【辨一辨】判别上图中的角是不是圆心角？
√
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
·
A
B
【想一想】如图，在等圆⊙O和⊙O‘中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’ ，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O‘A’重合。你能发现哪些等量关系？说一说你的理由。
O
·
A'
B'
O'
等量关系：
∠AOB=∠A’O’B’（已知）
OA=OB=O’A’=O’B’（半径）
∠A= ∠B=∠A’ =∠B’
AB=A’B’
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
·
A
B
【想一想】如图，在等圆⊙O和⊙O‘中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’ ，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O‘A’重合。你能发现哪些等量关系？说一说你的理由。
O
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A'
B'
O'
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
·
A
B
A'
B'
【想一想】如图，在等圆⊙O和⊙O‘中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’ ，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O‘A’重合。你能发现哪些等量关系？说一说你的理由。
O
∵半径OA与O’A’重合，∠AOB=∠A’O’B’
∴半径OB与O’B’重合。
∵点A与点A’重合，点B与点B’重合，
∴ AB与A’B’重合 ，弦AB与弦A’B’重合。
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∴AB=A’B’ ， AB=A’B’ 。
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（O′）
知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系
在 等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
同圆或
知识点2：圆心角定理
几何语言：
∴ AB=A’B’ ， AB=A’B’
⌒
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∵ ∠AOB=∠A’O’B’
·
A
B
O
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A'
B'
O'
几何画板中的圆心角、弧、弦之间的关系
等对等定理
O
A
B
C
D
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（1）∵ ∠AOB=∠COD
几何语言：
O
A
B
C
D
∴ AB=CD ， AB=CD
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在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（2）∵ AB=CD
∴ AB=CD ，∠AOB=∠COD
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（3）∵ AB=CD
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∴ AB=CD ，∠AOB=∠COD
等对等定理
如图，在⊙O中，
例：如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且AD=CE。BE与CE的大小有什么关系？为什么？
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BE=CE；理由是：
∵ ∠AOD=∠BOE
∴ AD=BE
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又∵ AD=CE
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∴ BE=CE
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∴ BE=CE
答：
练习1：如图，A、B、C、D是⊙O上的四点， AB=DC ，△ABC与△DCB全等吗？为什么？
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答：
全等；理由是：
∵ AB=DC
∴ AC=DB
又∵AB=DC，BC=CB
∴ AB=DC
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∴ AB+BC=DC+BC
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∴ AC=DB
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∴ △ABC≌△DCB（SSS）
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C
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B
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E
练习2：如图，在⊙O中， AB，CD是两条弦 ，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F。
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？ ∠AOB=∠COD呢？为什么？
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解： （1）OE=OF；理由是：
在⊙O中，OA=OB=OC=OD
∵ OE⊥AB，OF⊥CD
∴ ∠AEO＝∠CFO＝９０°，∠AOE＝∠BOE＝ ∠AOB，
∠COF＝∠DOF＝ ∠COD
∵ ∠AOB=∠COD
∴ ∠AOE＝ ∠COF
又∵ ∠AEO＝∠CFO，OA＝OC
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴OE＝OF
从圆心到弦的距离叫弦心距。
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练习2：如图，在⊙O中， AB，CD是两条弦 ，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F。
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？ ∠AOB=∠COD呢？为什么？
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（２）∵ OE⊥AB，OF⊥CD
∴ ∠AEO＝∠CFO＝９０°
∵ OE＝OF，OA＝OC
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL）
∴AE＝CF
同理得，Rt△ＢOE≌Rt△ＤOF
∴BE＝DF
∴AE＋ BE ＝CF＋DF
∴AB＝CD
∴AB＝CD，∠AOB=∠COD
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推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
１、圆的特殊对称性。
2、在同圆或等圆中，圆心 角、弧、弦之间的关系。
小结：
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