3.4圆周角和圆心角的关系（1）教学设计
文档属性
| 名称 | 3.4圆周角和圆心角的关系（1）教学设计 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-17 15:32:24 | ||
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文档简介
3.4圆周角与圆心角的关系（1）教学设计
深圳市翠园东晓中学 姜宜发
教材分析：
本节是北师大版九年级下册第三章第4节《圆周角与圆心角的关系》第1课时的内容，本课时在学生学习了圆的圆心，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角和圆心角的关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。另外通过对圆周角的学习，可以培养学生严谨治学的学习态度和良好的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此这节课，不论在知识上，还是在方法上，都起着承上启下的重要作用。
学习重点：圆周角定理及其应用.
学习难点：圆周角定理证明过程中“分类讨论”思想、由“特殊到一般”思想的渗透.
学情分析：
学习条件和起点能力分析：
学习条件分析
必要条件：学生已经学习圆心角、弧、弦之间的关系，研究了圆的对称性，掌握了三角形外角定理。
支持性条件：在三角形的学习中，学生已经积累了一定的探究活动经验，掌握了一定的探究及理论证明方法，具备一定的推理能力和分类讨论、化归等能力。
起点能力分析
学生通过前三节的学习，掌握了圆的相关概念及对称性，并具备一定的探究及推理能力。
学生可能达到的程度和存在的普遍问题：
在本节课的学习中，由于学生已经具备一定的逻辑推理能力，可以规范的写出定理的推理过程，但是要把射门游戏问题抽象为数学问题，主动发现通过研究圆周角和圆心角的关系解决问题，学生可能并不能很好地抽象出数学问题并快速获得感知，找到化归的方法。针对这一情况，采取的策略是在学生独立思考的基础上，让学生观察、思考、动手操作获得解决问题的方法。
教学目标：
知识与技能
掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系。体会用类比的方法探索新知，学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题，了解分情况证明数学命题的思想方法。并能熟练地应用“圆周角与圆心角的关系”进行论证和计算。
过程与方法
经历圆周角定理的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会类比、分类的数学思想方法。
情感态度与价值观
让学生在主动探究、合作交流的过程，获得成功的喜悦，体验实现价值后的快乐，锻炼锲而不舍的意志。
教学过程：
情景问题：
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？
新知探究1：
观察：（1）∠BAC 与∠BDC 有什么共同特征？
上面的两个角和前面所学的圆心角有什么区别？能否给这样的角下个定义呢？
圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角。
练习巩固：
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
指出图中的圆周角．
三、新知探究2 ： 圆周角定理及其推论
测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC。测测看，∠BAC与∠BOC存在怎么样的数量关系。
猜测：圆周角的度数______它所对弧上的圆心角度数的一半。
推导与验证：
已知：在圆O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC
求证:∠BAC=∠BOC
分析：根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论：
（1）圆心O在圆周角∠BAC的一边上，如图（1）
（2）圆心O在圆周角∠BAC的内部，如图（2）
（3）圆心O在圆周角∠BAC的外部，如图（3）．
图1 图2 图3
（1）圆心O在圆周角∠BAC的一边上(特殊情形)
证明: ∵OA=OC ∴∠A=∠C 又∵∠BOC=∠A+∠C（外角的性质）
∴∠BOC＝2∠BAC 即∠BAC=∠BOC
（2）圆心O在圆周角∠BAC的内部
∠BAD=∠BOD ∠BAC=∠BAD+∠CAD ∠CAD=∠COD
=(∠BOD+∠COD)
=∠BOC
（3）圆心O在圆周角∠BAC的外部
∠DAC=∠DOC ∠BAC=∠CAD-∠BAD ∠DAB=∠BOD
=(∠DOC-∠DOB)
=∠BOC
四、要点归纳： 圆周角定理及其推论
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
推论1：同弧所对的圆周角相等。
情景问题解决：
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？
∠BAC =∠BDC
练习巩固：
如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同侧，
∠BAC＝35°,则
∠BDC ＝ ，理由是 ；
∠BOC ＝ ，理由是 .
2、如图2，圆中相等的圆周角有 .
图1 图2
3、如图3，点A、B、C、D在⊙O上，AC、BD为四边形ABCD对角线
∠1= ∠2= ∠3= ∠5=
如图4，在⊙O 中= ，那么∠C 和∠G 的大小有什么关系
图3 图4
圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
典例分析 圆周角定理及其推论的应用
例1如图，OA、OB、OC是⊙O的半径∠AOB=70°∠BOC=30°，求∠ACB和∠BAC度数
例2、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，
则∠1+∠2= ______
例3、如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
例4、如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
课堂小结
七、课后巩固：
1、判断正误：
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
2、如图2，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠A0B=_______．
图2
3、如图3，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB=_______
4、如图4，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2，则∠AOB=______,⊙O的半径是_____,
图1
图2
深圳市翠园东晓中学 姜宜发
教材分析：
本节是北师大版九年级下册第三章第4节《圆周角与圆心角的关系》第1课时的内容，本课时在学生学习了圆的圆心，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角和圆心角的关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。另外通过对圆周角的学习，可以培养学生严谨治学的学习态度和良好的思维品质，同时教会学生从特殊到一般和分类讨论的思维方法，因此这节课，不论在知识上，还是在方法上，都起着承上启下的重要作用。
学习重点：圆周角定理及其应用.
学习难点：圆周角定理证明过程中“分类讨论”思想、由“特殊到一般”思想的渗透.
学情分析：
学习条件和起点能力分析：
学习条件分析
必要条件：学生已经学习圆心角、弧、弦之间的关系，研究了圆的对称性，掌握了三角形外角定理。
支持性条件：在三角形的学习中，学生已经积累了一定的探究活动经验，掌握了一定的探究及理论证明方法，具备一定的推理能力和分类讨论、化归等能力。
起点能力分析
学生通过前三节的学习，掌握了圆的相关概念及对称性，并具备一定的探究及推理能力。
学生可能达到的程度和存在的普遍问题：
在本节课的学习中，由于学生已经具备一定的逻辑推理能力，可以规范的写出定理的推理过程，但是要把射门游戏问题抽象为数学问题，主动发现通过研究圆周角和圆心角的关系解决问题，学生可能并不能很好地抽象出数学问题并快速获得感知，找到化归的方法。针对这一情况，采取的策略是在学生独立思考的基础上，让学生观察、思考、动手操作获得解决问题的方法。
教学目标：
知识与技能
掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系。体会用类比的方法探索新知，学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题，了解分情况证明数学命题的思想方法。并能熟练地应用“圆周角与圆心角的关系”进行论证和计算。
过程与方法
经历圆周角定理的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会类比、分类的数学思想方法。
情感态度与价值观
让学生在主动探究、合作交流的过程，获得成功的喜悦，体验实现价值后的快乐，锻炼锲而不舍的意志。
教学过程：
情景问题：
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？
新知探究1：
观察：（1）∠BAC 与∠BDC 有什么共同特征？
上面的两个角和前面所学的圆心角有什么区别？能否给这样的角下个定义呢？
圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角。
练习巩固：
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
指出图中的圆周角．
三、新知探究2 ： 圆周角定理及其推论
测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC。测测看，∠BAC与∠BOC存在怎么样的数量关系。
猜测：圆周角的度数______它所对弧上的圆心角度数的一半。
推导与验证：
已知：在圆O中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC
求证:∠BAC=∠BOC
分析：根据圆周角和圆心角的位置关系，分三种情况讨论：
（1）圆心O在圆周角∠BAC的一边上，如图（1）
（2）圆心O在圆周角∠BAC的内部，如图（2）
（3）圆心O在圆周角∠BAC的外部，如图（3）．
图1 图2 图3
（1）圆心O在圆周角∠BAC的一边上(特殊情形)
证明: ∵OA=OC ∴∠A=∠C 又∵∠BOC=∠A+∠C（外角的性质）
∴∠BOC＝2∠BAC 即∠BAC=∠BOC
（2）圆心O在圆周角∠BAC的内部
∠BAD=∠BOD ∠BAC=∠BAD+∠CAD ∠CAD=∠COD
=(∠BOD+∠COD)
=∠BOC
（3）圆心O在圆周角∠BAC的外部
∠DAC=∠DOC ∠BAC=∠CAD-∠BAD ∠DAB=∠BOD
=(∠DOC-∠DOB)
=∠BOC
四、要点归纳： 圆周角定理及其推论
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
推论1：同弧所对的圆周角相等。
情景问题解决：
足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，小明、小强两名同学分别站在圆上A、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置，射门角度大，射门的机率高。如果你是教练，请评一评他们两个人，如果仅从射门角度的大小考虑，谁的位置射门更有利？
∠BAC =∠BDC
练习巩固：
如图1，点A、B、C、D在⊙O上，点A、D在点B、C所在直线的同侧，
∠BAC＝35°,则
∠BDC ＝ ，理由是 ；
∠BOC ＝ ，理由是 .
2、如图2，圆中相等的圆周角有 .
图1 图2
3、如图3，点A、B、C、D在⊙O上，AC、BD为四边形ABCD对角线
∠1= ∠2= ∠3= ∠5=
如图4，在⊙O 中= ，那么∠C 和∠G 的大小有什么关系
图3 图4
圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。
典例分析 圆周角定理及其推论的应用
例1如图，OA、OB、OC是⊙O的半径∠AOB=70°∠BOC=30°，求∠ACB和∠BAC度数
例2、如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，
则∠1+∠2= ______
例3、如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
例4、如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
课堂小结
七、课后巩固：
1、判断正误：
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等 （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等 （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等 （ ）
2、如图2，已知：⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=50°，∠ABC=47°，求∠A0B=_______．
图2
3、如图3，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB=_______
4、如图4，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2，则∠AOB=______,⊙O的半径是_____,
图1
图2