1.1等腰三角形同步练习（含解析）

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1.1等腰三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，现将沿着方向平移到的位置，若平移距离为4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．18 B．32 C．36 D．40
2．等腰三角形的周长为10cm，底边长ycm与腰长xcm的函数关系式是，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．一切实数 D．
3．如图，四边形ABCD中，F是CD上一点，E是BF上一点，连接AE、AC、DE．若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=70°，AE平分∠BAC，则下列结论中：①△ABE≌△ACD：②BE=EF；③∠BFD=110°；④AC垂直平分DE，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列命题正确的是（ ）
A．三角形的外角等于两个内角的和
B．任何数的0次幂都等于1
C．等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半
D．30°的角所对的边等于长边的一半
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，E是AB上一点，BE=1，AE=3BE，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．在中，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　）
A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤
8．在中，，如果，那么的度数为（ ）
A．40° B．70° C．100° D．40°或70°
9．等腰三角形的一边长为3，周长为19，则该三角形的腰长为（ ）
A．3 B．3或8 C．8 D．6
10．如图，将边长为9的等边折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上的动点．若，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．18
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°，AB=16，则下列结论中正确的是（
A．BD=4 B．CD=4 C．AC=8 D．CD=8
12．如图，在中，，点是边上的一动点，，，当最大时，的度数是( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，为射线上任意一点(点与点不重合)，分别以，为边在的内部作等边和等边，连接并延长交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．正确的有 (填序号)．
14．如图，中，，，，D是的中点，则的面积等于 ．
15．如果等腰三角形的两边长分别为3和2，则它的周长为 ．
16．如图，中，，，垂足为，若，则 ．
17．已知等边的边长是6，则它的周长是 ．
三、解答题
18．如图，在中，，，垂足为点，点、在上，连接、、、．若，求图中阴影部分的面积．
19．如图（1），已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A，B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点，且当时，点恰好在（不含端点A，C）边上．
(1)在图（2）中画出当时的图形，并求出此时的长度；
(2)在点P的运动过程中，探究点到点A，C之间的距离的关系．
20．如图，平面直角坐标系中，，点在第一象限内，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且，点坐标为，且满足，请解答下列问题：
(1)求点B和点C的坐标；
(2)若连接交y轴于点D，且，，求点A的坐标；
(3)在（2）的条件下，，在坐标轴上是否存在点E，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点E的个数，并直接写出其中3个点E的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知直线经过点和．

(1)求直线的解析式；
(2)若把横、纵坐标均为整数的点称为格点，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有______个；
(3)在图中作点关于直线的对称点D，则点D的坐标为_____；
(4)若在直线和y轴上分别存在一点M、N使的周长最短，请在图中标出点M、N（不写作法，保留痕迹）．
22．【背景材料】对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，比如图1．同时，对称在解决生活中的实际问题时，也往往有很大的作用．
【问题提出】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见．
【问题解决】小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点C，点C就是所求的位置．
（1）请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空：
证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴　　　　，　　　　，
∴　　　　．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
（2）如图4，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点，若，则的最小值为　　　　．
【拓展应用】
（3）“龙舟水”来势汹汹，深圳“雨雨雨”模式开启，深圳某学校的志愿者们在查阅地图后，画出了平面示意图5．其中，点A表示龙潭公园，点B表示宝能广场，点C表示万科里，点D表示万科广场，点E表示龙城广场地铁站．如图6，志愿者计划在B宝能广场和D万科广场之间摆放一批共享雨伞，使得共享雨伞的位置到B宝能广场、C万科里、D万科广场和E龙城广场地铁站的距离的和最小．若点A与点C关于对称，请你用尺子在上画出“共享雨伞”的具体摆放位置(用点G表示)．
23．如图，直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为轴正半轴上一动点（OC＞3），连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交轴于点E．
(1)证明∠ACB=∠ADB；
(2)若以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时C点的坐标；
(3)随着点C位置的变化，的值是否会发生变化 若没有变化，求出这个值；若有变化，说明理由．
24．如图，在△中，点分别在边上，与交于点，给出下列三个条件：①∠=∠；②；③．
（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C C C D B A C C
题号 11 12
答案 A C
1．B
【分析】因为平移后的三角形和面积不变，两个三角形有重叠的公共部分为三角形，所以阴影部分的面积和梯形的面积相等．本题的关键是利用平移的性质得出小三角形的底和高．
【详解】解： 如图：
∵现将沿着方向平移到的位置， ，
∴
∴
∵若平移距离为4，
∴
∴阴影部分的面积和梯形的面积相等
∴阴影面积．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查三角形的三边关系及函数自变量的综合应用．根据两边之和大于第三边，底边的长是正数，可得答案．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为10cm，底边长ycm与腰长xcm的函数关系式是，
∴两边之和大于第三边，得，解得．
又有，解得，
∴自变量x的取值范围是，
故选：B．
3．C
【分析】依据SAS可证明ABE≌，由全等三角形的性质可得到，则，然后依据四边形的内角和为可求得的度数，然后再证明，最后，依据等腰三角形的性质可得到AC与DE的关系．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=∠DAE，AE=AD，
∴ABE≌△ACD，故①正确．
∵ABE≌△ACD，
∴∠AEB=∠ADC．
∵∠AEB+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ADC=180°，
∴∠BFD=180°-∠EAD=180°-70°=110°，故③正确．
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=35°．
又∵∠DAE=70°，
∴AC平分∠EAD．
又∵AE=AD，
∴AC⊥EF，AC平分EF．
∴AC是EF的垂直平分线，故④正确．
由已知条件无法证明BE=EF，故②错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、四边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．C
【分析】根据三角形的外角性质、0次幂的定义、等腰三角形的性质及直角三角形的性质判断即可．
【详解】解：A、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题；
B、不等于0的数的0次幂都等于1，原命题是假命题；
C、等腰三角形的腰长一定大于底边长的一半，是真命题；
D、在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外角性质、0次幂的定义、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，难度不大．
5．C
【分析】由B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：作等腰直角三角形ABC关于AC的对称直角三角形ADC，
连接DE，与AC交于点P，根据两点之间，线段最短得到ED的长就是PB+PE的最小值，
∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠DAC=45°，
∴∠DAE=90°，
∵B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=1，AE=3BE，
∴AE=3，AD=AB=4，
∴．
∴PB+PE的最小值为5．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题等知识点的理解和掌握，能求出PE+PB=DE的长是解此题的关键．
6．D
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形是解题的关键．先判断为等边三角形，然后由等边三角形的性质得到．
【详解】解：，，
为等边三角形，
．
故选：D．
7．B
【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解题技巧是作辅助线构造全等三角形，解题关键是面积最小值可转化成三角形边长的最小值．通过证明全等三角形得到角等和边等，进而等量代换出直角，即可判断①②③；证明全等后即可证明四边形为三角形面积的一半，即可判断④⑤．
【详解】解：连接，作于点H，
∵是等腰直角三角形， ，
∴，
∵F是边的中点，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故①正确；
∴，
∴是等腰直角三角形，
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积不随D，E的运动而变化，
故③错误；
∵于点H，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是2，
故④正确；
∵，
∴当取得最小值2时，取得最大值2，
故⑤错误，
故选：B．
8．A
【分析】根据等腰三角形的性质可得到∠B＝∠C即可求解．
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
9．C
【分析】分两种情况进行讨论：①腰长为；②底长为，根据三角形三边关系进行判断即可．
【详解】①腰长为
底长
∵
∴无法构成三角形
②底长为
腰长
∵
∴可以构成三角形
故答案为：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形腰长问题，掌握等腰三角形的性质、三角形三边关系是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及对称性求最值、等边三角形性质等，根据对称性，利用动点最值问题-将军饮马模型，确定与关于对称，进而得到的周长最小值为线段即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型的解法是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知：是的对称轴，
∴，即与关于对称，
周长为，
∴当三点共线时，最小值为线段，
∵，，
∴，
∴周长最小值，
故选：C．
11．A
【分析】根据直角三角形的性质可得在直角三角形ACB中AB=2BC，在直角△CDB中BC=2BD，进而得到AB=4BD，即可得答案．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵∠A=30°，
∴AB=2BC，
∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=30°，
∴BC=2DB，
∴AB=4BD．
∴BD=AB=×16=4，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
12．C
【分析】解本题的关键在于理解从小变大的变化过程中，先小后大再小，在时，最大，再结合题干条件即可解题．
【详解】解：在时，最大，
，
为直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
13．①③④⑤
【分析】根据等边三角形的性质证明，得，故①正确；得出，进而可以得出，可以得出，进而可以判断③④正确；根据勾股定理可以判断⑤正确；根据，不一定等于，得不一定等于，所以不一定成立，故②不一定正确，可得结论．
【详解】解：和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
，
是等腰三角形，故③正确；
，
，
，，
，故⑤正确；
，不一定等于，
不一定等于，
不一定成立，故②不一定正确，
综上所述：正确的有①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
14．
【分析】，，，得到，由勾股定理求出，是的中点，则的面积等于的面积一半，即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴的面积等于的面积一半，
即的面积，
即的面积等于，
故答案为：
【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
15．7或8/8或7
【分析】根据等腰三角形的性质计算即可；
【详解】当3是底边，2是腰长，，
∴周长；
当2是底边，3是腰长，，
∴周长；
故答案是7或8．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．
16．
【分析】先根据中，，可知是的平分线，由角平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：中，，，
是的平分线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解答此题的关键．
考点：等腰三角形的性质
17．18
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质可得，再由三角形周长公式可得答案．
【详解】解；∵等边的边长是6，
∴，
∴等边的周长，
故答案为：18．
18．6
【分析】
先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
即图中阴影部分的面积为6．
19．(1)画图见解析，
(2)相等，理由见解析
【分析】（1）先画出图形，再证明是等边三角形，则；
（2）先证明，是等边三角形，根据折叠的性质可知垂直平分，则垂直平分，即可证明．
【详解】（1）解：如图（2），已知，则，
由折叠可得，
∴
又∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：相等，理由如下：
在图（2）中，且由折叠可得
∴，是等边三角形，
在图（3）中，连接，
由对称可得，
∵是等边三角形
∴垂直平分，
∴垂直平分，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．
20．(1)，；
(2)；
(3)存在，点E共有6个，；；；；；．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、两个非负数的和为零、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（１）由两个非负数的和为零可求出的值，从而得出，的坐标；
（２）根据等面积法分别表示出的面积，从而可求出答案；
（３）根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：
，点坐标为
，点坐标为
（2），
点的坐标
（3）在坐标轴上存在6个点，使是以为腰的等腰三角形
轴正半轴上使得，，
点关于轴的对称点
轴正半轴上使得，
轴负半轴上使得，
点关于轴的对称点
故坐标轴上存在6个点，；；；；；．
21．(1)
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】本题考查了待定系数法，一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，线段最短问题，
（1）设直线的解析式为，把和代入得，，进行计算即可得；
（2）分别把，，，代入，求出纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含格点的坐标；
（3）根据得为等腰直角三角形，则，根据点C与点D关于对称得，可得为等腰直角三角形，则，，即可得；
（4）作C点关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，交于点N，即点M、N为所作，根据两点之间线段最短可判断此时的周长最短
掌握待定系数法，一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，线段最短问题是解题的关键．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把和代入得，，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：图中阴影部分（不包括边界）所含格点为，，，，，，，，，，共个；
（3）解：∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点C与点D关于对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图所示，作C点关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，交于点N，即点M、N为所作，

根据两点之间线段最短可判断此时的周长最短．
22．（1），，（2）5（3）见解析
【分析】本题考查轴对称，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键．
（1）根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可；
（2）根据对称性和垂线段最短，以及等边三角形每条边上的高相等即可得解；
（3）连接交于点G，即可得解．
【详解】解：（1）证明：如图3，在直线m上另取任一点D，连结，，，
∵直线m是点A，的对称轴，点C，D在m上，
∴，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴，即最小．
故答案为：，，；
（2）∵是的平分线，
∴可在上找到点E关于直线对称的对称点，
作出点，连接，则，
过点B作，
由垂线段最短可知，当点B、P、三点共线，且垂直时，有最小值，
即的最小值是的长度，
∵等边三角形每条边上的高相等，
∴的最小值为：，
故答案为：5；
（3）到的距离和最小的点在线段上，
∵点A与点C关于对称，
∴到的距离和最小的点是线段和的交点，
∴到这四个点的距离和最小的点是线段和的交点，
故连接交于点G，点G即为所求作的点，
23．（1）见解析；（2）C点的坐标为（9，0）；（3）的值不变，
【分析】（1）由△AOB和△CBD是等边三角形得到条件，判断△OBC≌△ABD，即可证得∠ACB=∠ADB；
（2）先判断△AEC的腰和底边的位置，利用角的和差关系可证得∠OEA=，AE和AC是等腰三角形的腰，利用直角三角形中，所对的边是斜边的一半可求得AE的长度，因此OC=OA+AC，即可求得点C的坐标；
（3）利用角的和差关系可求出∠OEA=，再根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半即可证明．
【详解】解：（1）∵△AOB和△CBD是等边三角形
∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠CBD=，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD
∴在△OBC与△ABD中，
OB=AB，∠OBC=∠ABD，BC=BD
∴△OBC≌△ABD(SAS)
∴∠OCB=∠ADB
即∠ACB=∠ADB
（2）∵△OBC≌△ABD
∴∠BOC=∠BAD=
又∵∠OAB=
∴∠OAE==，
∴∠EAC=，∠OEA=，
∴在以A，E，C为顶点的等腰三角形中AE和AC是腰．
∵ 在Rt△AOE中，OA=3，∠OEA=
∴AE=6
∴AC=AE=6
∴OC=3+6=9
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，C点的坐标为（9，0）
（3）的值不变．
理由： 由（2）得
∠OAE=-∠OAB-∠BAD=
∴∠OEA=
∴ 在Rt△AOE中，EA=2OA
∴=．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质以及判定定理，平面直角坐标系，含角直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理寻求全等三角形的判定条件证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）①②；①③（2）见解析
【分析】（1）由三角形全等的判定得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB，再加上∠EBO=∠DCO，可到∠ABC=∠ACB，从而得出AB=AC，则是等腰三角形．
【详解】（1）①②；①③．
（2）选①②，理由如下：
在△BOE和△COD中，
∵∠EBO=∠DCO，BE=CD，∠BOE=∠COD，
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBO=∠OCB+∠DCO，即：∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
选①③，理由如下：
①③判定△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵∠EBO=∠DCO，
∴∠OBC+∠EBO=∠OCB+∠DCO，即：∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】考查等腰三角形的判定、三角形全等，解题关键是利用三角形全等得出角相等，线段相等进而得出结论．
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