1.2直角三角形同步练习（含解析）

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1.2直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，垂足为点D，平分交于点E，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
2．直角三角形一条直角边长为8cm，它所对的角为30°，则斜边上的高为（ ）
A．2cm B．4cm C．cm D．cm
3．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）．
A．6，10，8 B．1，， C．，， D．1.5，2，2.5
4．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4.5，6，7.5 D．4，5，6
6．下列各组中，不能构成直角三角形的是（ ）.
A．9，12，15 B．15，32，39 C．16，30，32 D．9，40，41
7．试用学过的知识判断，下列说法正确的是（　）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形 B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个等腰三角形一定不是钝角三角形 D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
8．如图，小肖同学有4根长度不一的木棍，取其中三根木棍可以拼成一个直角三角形的是（ ）

A．4cm，5cm，8cm B．3cm，4cm，5cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，5cm，8cm
9．三角形三边分别是下列各组数，能组成直角三角形的是（ ）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．6、7、8 D．7、8、9
10．为了测量无法直接测量的池塘两端，的距离，小王同学设计了一个测量，距离的方案．如图，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即得．根据的原理是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，是边上的高，下列判断一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．5，7，10
C．，，， D．5，12，14
二、填空题
13．若一个三角形的三边的比为3：4：5，则这个三角形的三边上的高之比为 ．
14．已知，是线段AB上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则一定是 三角形．
15．一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ．
16．若三角形三边长为，，，则它的面积是 ．
17．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，则这块四边形空地的面积为 ．

三、解答题
18．某小区在创文工作中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，通过测量得到，，，，．

(1)求、两点之间的距离；
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
19．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点．
(1)在图①中，画一个边长为的线段；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长分别是、、．
20．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．
(1)海港C会受到台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？
21．如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且
(1)求的度数；
(2)若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过68米，已知摄像头能监控的最大范围为周围的50米（包含50米），请问该监控装置是否符合要求？并说明理由．
22．“农场小达人”社团计划在春天到来之前整修教学楼顶层的平台，用于建设菜园和花圃．如图，处是顶层平台自来水管的位置，，两处分别计划修建菜园和花圃，，两处相距，，两处相距，，两处相距．为了便于用水，小华在图纸上帮助设计了两种水管铺设方案．
甲方案：沿线段，铺设段水管．
乙方案：过点作的垂线，垂足为．沿线段，，铺设段水管
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)小华设计的哪一种方案需要铺设的水管更短？为什么？
23．已知，如图，正方形中，是边上一点，，，垂足分别是点、．
(1)求证：．
(2)连接，若，，求的长．
24．在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D C B D B B A
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】根据30°角所对直角边等于斜边一半，求出AD，再根据角平分线，得，从而有 ，进而即可求解DE的长．
【详解】解：∵，
∴，，
∵BE平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练运用30°角所对直角边等于斜边的一半这一性质，推导线段之间的关系是解题关键．
2．D
【分析】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8，CD为AB边的高，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB的长，利用勾股定理可求出AC的长，利用面积法求出CD的长即可.
【详解】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8，CD为AB边的高，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=8cm，
∴BC=AB=8cm，
∴AB=16cm，
∴AC===8cm，
∵S△ABC=AC·BC=AB·CD，
∴CD===cm.
故选D.
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关性质并灵活运用面积法解题是解题关键.
3．C
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一进行判断即可．
【详解】解：A选项：，能作为直角三角形的三边形，故A错误；
B选项：能作为直角三角形的三边长，故B错误；
C选项：，不能作为直角三角形的三边长，故C正确；
D选项：，能作为直角三角形的三边长，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．D
【分析】利用勾股定理逆定理，逐一进行判断即可．
【详解】，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理．熟练掌握三角形两短边的平方和等于第三边的平方时，三角形是直角三角形，是解题的关键．
5．C
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而可以解答本题．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进行逐一判断即可．
【详解】A、∵92+122=152=225，∴能构成直角三角形；
B、∵152+322=1249≠392，∴不能构成直角三角形；
C、∵162+302=342=1156，∴能构成直角三角形；
D、∵92+402=412=1681，∴能构成直角三角形．
故选B．
【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形．
7．D
【详解】A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°，故该选项正确.
故选D.
8．B
【分析】由勾股定理的逆定理可判断A，B，由三角形的三边关系可判断C，D不能组成三角形，从而可得答案．
【详解】解：∵，故A不符合题意；
∵，故B符合题意；
∵，不能组成三角形，故C不符合题意；
∵，不能组成三角形，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是三角形三边的关系，勾股定理的逆定理的应用，熟记三角形的三边关系与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
9．B
【详解】试题分析：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、32+42=52，不能构成直角三角形，故此选项正确；
C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故此选项错误；
D、92≠72+82，不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选B．
考点：勾股数．
10．A
【分析】本题考查全等三角形的实际应用，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：由题意，可知：，，
又∵，
∴；
∴；
故选A．
11．C
【分析】根据高线的定义得到，利用余角的性质可得相应结论，从而判断．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
故选项C正确，
故选C．
【点睛】本题考查了余角的性质，解题的关键是掌握同角的余角相等．
12．C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，故不是直角三角形，不符合题意；
C、，故是直角三角形，符合题意；
D、，故不是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
13．20：15：12．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据三角形的面积公式求出斜边上的高，然后计算即可．
【详解】解：设三角形的三边分别为3x、4x、5x，
∵（3x）2＋（4x）2＝25x2＝（5x）2，
∴这个三角形是直角三角形，
设斜边上的高为h，
则×3x×4x＝×5x×h，
解得，h＝，
则这个三角形的三边上的高之比＝4x：3x：＝20：15：12，
故答案为20：15：12．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
14．直角
【分析】根据条件求出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理计算判断是直角三角形．
【详解】解：如图，∵，，
∴AN=AM+MN=2+2=4，BM=MN+NB=2+1=3，AB=AM+MN+BN=2+2+1=5，
∴AC=AN=4，BC=BM=3，
∵，
∴是直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意画出图形，掌握勾股定理逆定理的计算公式是解题的关键．
15．/110度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得，，进而由余角性质可得，即可得到，再利用邻补角的性质即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
16．
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式．首先根据可知这个三角形是直角三角形且为斜边的长度，然后再根据三角形的面积公求解．
【详解】解：三角形三边长为，，，
又，
这个三角形是直角三角形，且为斜边的长度，
这个三角形的面积为
故答案为：．
17．
【分析】连接，勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和，进行求解即可．
【详解】解：连接，

在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴四边形空地的面积；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形．
18．(1)
(2)17100元
【分析】本题考查勾股定理及逆定理，勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．
（1）直接利用勾股定理得出；
（2）利用勾股定理逆定理得出，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，，
且，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查利用勾股定理画图．
（1）借助格点，根据勾股定理构长为的线段即可；
（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为、、的三角形即可。
【详解】（1）解：如图①，线段即为边长为的线段；
（2）解：如图②，直角三角形即为所求，
三边长分别是、、．
20．(1)海港受台风影响，理由见解析
(2)8小时
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下：
，，，
，
是直角三角形，且；
过点作于，
是直角三角形，
，
，
，
以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，
海港受台风影响；
（2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口，
在中，由勾股定理，
同理可得，
，
台风的速度为25千米小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为8小时．
21．(1)
(2)符合要求，理由见解析
【分析】本题主要考查了直角三角形的知识、勾股定理逆定理、勾股定理等知识点，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）如图：连接，根据，勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据角的和差即可解答；
（2）过点D作于点E；作A点关于的对称点，连接，由可得，是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，可推出即可解答．
【详解】（1）解：如图：连接，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，即；
∴．
（2）解：符合要求，理由如下：
如图：过点D作于点E；作A点关于的对称点，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中,，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴该监控装置符合要求．
22．(1)直角三角形，理由见解析
(2)甲方案铺设的水管更短，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形，
理由：，，，
，，
，
是直角三角形；
（2）甲方案铺设的水管更短，
理由：，
，
，
，
甲方案铺设的水管更短．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正方形的性质可得，，再由直角三角形的两锐角互余，易证得；
（2）先利用勾股定理求出的长，进而利用全等三角形的性质求出，的长，即可利用勾股定理求出的长．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键．
24．(1)
(2)，证明见详解
【分析】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是．
（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题．
（2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到．
【详解】（1）解：如图1
平分，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2，过作于，
，
，
，
由（1）可得，，
．
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