1.3线段的垂直平分线同步练习（含解析）

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1.3线段的垂直平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，下列结论不正确的是（ ）

A． B．
C． D．
4．如图，在中，，折叠，使点A与点B重合，折痕为，易知点E为边中点，则如何画出点D（ ）
A．作线段的垂直平分线交于点D B．作的平分线交于点D
C．连接，过A作的垂线交于点D D．以上方法都能画出点D
5．如图，是中边的垂直平分线，若厘米，厘米，则的周长为（ ）厘米．

A．18 B．19 C．28 D．29
6．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，则①CA平分∠BCD；②AC⊥BD；③∠ABC=∠ADC=90°；④四边形ABCD的面积为AC BD．上述结论正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在中，，垂直平分于点，交于点，则为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
8．如图，在等腰中，，，点是线段上一点，，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；；，其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连接，，若，则（ ）

A． B． C． D．
11．如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．9 D．10
12．如图，是等腰三角形，底边的长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．11 B．13 C．18 D．24
二、填空题
13．如图，在等腰三角形中，，已知的平分线与线段的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O 重合，则的度数是 ．
14．如图，在中，，点在的垂直平分线上，将沿翻折后，使点落在点处，线段与相交于点，则 ．
15．如图，的垂直平分线交于点，的周长是．则 = ， = ，的周长等于 ．
16．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，边AC、AB的垂直平分线交于点O，交AC、AB于点D、E，则∠BOC等于 .
17．如图，，， 三点在同一条直线上，， 垂直平分 ，垂足为 ，则 的度数为 ．
三、解答题
18．如图，在中，，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若，．
(1)当，时，求的度数；
(2)当时，，，求的长．
19．如图，已知．
(1)尺规作图：在AB边作点D，使得CD的长度最短；（请保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的结论下，若，求证：．
20．如图，中，，．
(1)尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的基础上，证明：．
21．有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转前进，到达山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点“A”，杉树标记为点“B”，洞穴标记为点“C”．

(1)根据这段记载，应用数学知识描述点C与线段之间的关系．
(2)若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点A，B的坐标分别为，点C到线段之间的距离为5（单位长度），请画出坐标系，并求出洞穴到赤石的距离．
22．如图，某社区要在居民区A，B所在的直线上建一图书室E，并使图书室E到本社区两所学校C和D的距离相等．已知，，垂足分别为A，B，且，，．
(1)请用直尺和圆规在图中作出点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求图书室E到居民区A的距离．
23．如图，在中，点、分别在边、上，且，连接、交于点，且．求证：

(1)；
(2)过点、的直线垂直平分线段．
24．中，，
(1)在图1，利用直尺和圆规作斜边上的中线；
(2)若，利用（1）题图形，求的度数；
(3)图2中D、E分别是、的中点，求证
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D B B D D A C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，由作图可知，垂直平分，再根据直角三角形两锐角互余的性质求出即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，等边对等角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各性质和定理是解题的关键．
2．A
【分析】证明是线段的垂直平分线，再利用线段的垂直平分线的性质，结合等腰三角形的性质逐一判定即可.
【详解】解：∵，
∴垂直平分线段，
∴，，，
故正确，不符合题意；
∴只有选项A不一定正确，符合题意．
故选：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上是解题的关键.
3．C
【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，由作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，则，，可得，根据等腰三角形的性质可得，则可得，根据题意不能得出，进而可得答案．熟练掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
【详解】解：由作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，故A，B选项正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
故D选项正确，不符合题意；
根据题意不能得出，
故C选项不正确，符合题意．
故选：C．
4．D
【分析】根据图形折叠的性质，结合线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、由折叠的性质得：垂直平分，
∴作线段的垂直平分线交于点D，能画出点D；
B、∵，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∴，
∵点E为边中点，
∴垂直平分，
即作的平分线交于点D，能画出点D；
C、如图，连接，过A作的垂线交于点D，
∵，
∴，，
∵点E为边中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵的垂线交于点D，
∴，
∴，
∴，
∵点E为边中点，
∴垂直平分，
即连接，过A作的垂线交于点D，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了图形折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握图形折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】利用线段垂直平分线的性质得，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】解：是中边的垂直平分线，
，
的周长（厘米），
故选：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6．B
【分析】证明△ABC与△ADC全等，即可解决问题.
【详解】解：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ACB=∠ACD，故①正确，
∵AB=AD，BC=DC
∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥DB，
故②正确；
无法判断∠ABC=∠ADC=90°，故③错误，
四边形ABCD的面积=S△ADB+S△BCD=DB×OA+DB×OC=AC BD，
故④错误；
故选B．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABC与△ADC全等．
7．D
【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质可以证明△ABD是等腰三角形，在直角△BCD中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠BDC的度数，然后利用三角形的外角的性质即可求解．
【详解】连接BD，
∵DE垂直平分AB于E，
∴AD=BD=2BC，
∴
∵
∴∠BDC=30°，
又∵BD=DA，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，正确求得∠BDC的度数是关键．
8．D
【分析】连接，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出，，由三角形的内角和定理，角的和差求出，再由等边三角的判定证明是等边三角形，得出，，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出，即可得出结果．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵在等腰中，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
又∵，
∴，故正确；
∵，，
∴，
又∵，
，
，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，故正确；
在线段上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
是等边三角形，
，
又∵是等边三角形，
∴，
又∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，故正确；
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点，辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边对等角，连接，根据三角形内角和求出，利用线段垂直平分线的性质得到，求出，进而得到，证明，得到，推出是等边三角形，进而证得，由此得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵垂直平分垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
10．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角内角和定理，如图所示，连接，由线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角推出，进而根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵边，的垂直平分线交于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．

11．B
【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线及其性质，勾股定理及逆定理的应用，由作图可得，垂直平分，则有，通过得，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由作图可得，垂直平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
12．B
【分析】连接，，由是等腰三角形，点D是边的中点，可得，再根据三角形的面积公式求出的长，然后根据线段垂直平分线的性质得出的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴周长的最小值为：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13．/105度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和折叠的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理先求出，再由三线合一定理和角平分线的定义得到垂直平分，，则，，再由线段垂直平分线的性质得到，则，据此求出的度数，再求出的度数，即可根据周角的定义求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在等腰三角形中，，
∴，
∵平分，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了折叠的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，熟记折叠的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质求出，根据折叠的性质求出，根据平角定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵点D在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∵将沿翻折后，使点落在点处，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15． 15° 8cm 12cm
【分析】①依据线段垂直平分线的性质、等腰三角形等边对等角的性质即可求出；②由第①空可知DA=DB,所以cm；③的周长等于+=的周长是-AB=20-8=12cm.
【详解】解∵是边AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴,cm，
∴的周长=+=的周长是-AB=20-8=12cm，
∵
∴,
∴=65°-50°=15°.
故答案为：15°；8cm；12cm.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质1，及三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
16．120°
【详解】∵AB,AC的垂直平分线交于点O,
∴OA=OB=OC
∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA
∴∠OAB+∠OAC=∠OBA+∠OCA=∠A=60°
∴∠OBC+∠OCB=180°-2*60°=60°
∴∠BOC=180°-60°=120°.
故答案是：120°.
17．/100度
【分析】由垂直平分线的性质可以得到，则可求出，利用三角形的外角性质解题即可．
【详解】解：∵ 垂直平分 ，
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质和三角形的外角，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
18．(1)；
(2)．
【分析】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记线段垂直平分线的性质、勾股定理是解题的关键．
（1）根据角平分线定义及线段的垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理列式计算即可；
（2）同（1）的方法，求出，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：是的平分线，
，
在是线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）解：是的平分线，
，
在是线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）当CD⊥AB时，CD的长度最短，作图见解析；
（2）由三角形面积公式可知，，即，可得有，由，可求证．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：∵当CD的长度最短，CD⊥AB
又∵∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂线的性质--垂线段最短，勾股定理，三角形面积，解题的关键是灵活运用三角形面积和勾股定理进行变换运算．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，
（1）分别以点A，B为圆心，大于为半径画弧，分别相交于点E，F，连接，即可得；
（2）连接，根据，得，根据垂直平分，得，计算得，则，可得，即可得；
掌握尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)点与线段的垂直平分线上
(2)洞穴到赤石的距离为个单位长度
【分析】本题考查线段的垂直平分线．熟练掌握中垂线的作图方法，是解题的关键．
（1）连接，取线段的中点D，连接，根据题意得到，即可得出结论；
（2）如图，建立坐标系如下：再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）解：连接，取线段的中点D，连接，如图所示：
点共线，D点是的中点，
，
，
，
∴点与线段的垂直平分线上．
（2）解：如图，建立坐标系如下：，

由题意可得：，，而，
，
∴，
∴洞穴到赤石的距离为个单位长度．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图-垂直平分线，勾股定理的应用：
（1）连接，作的垂直平分线交于点E，根据垂直平分线上的点到两端的距离相等，点E即为所求作；
（2）设图书室E到居民区A的距为，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求作．
（2）解：设图书室E到居民区A的距为，即，，
，，
，
，
由勾股定理得，，即，
解得：
图书室E到居民区A的距离为．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）证明，可得，则点在的垂直平分线上，，则点在的垂直平分线上，即可得证．
【详解】（1）证明：，，，
，
在与中，
，
；
（2） ，
，
由（1）可知，
，
即，
，
点在的垂直平分线上，
，
点在的垂直平分线上，
过点，的直线垂直平分线段
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)的度数为；
(3)见解析
【分析】（1）作线段的垂直平分线即可解决问题；
（2）证明，由全等三角形的性质得出，证出，再证出为等边三角形，由等边三角形的性质，可得出答案；
（3）由（2）得到，再利用等腰三角形的性质即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
；
（2）解：延长至G，使，连接，
在和中，，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
（3）证明：连接，
∵D是的中点，
由（2）得，
∵E是的中点，
∴证．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
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