20.2数据的波动程度同步练习（含解析）

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20.2数据的波动程度
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环,
方差分别是,,,.在本次射击测试中,成绩最
稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．在统计中,样本的方差可以近似的反映总体的（　　）
A．最大值与最小值 B．平均状态
C．分布规律 D．波动大小
3．体育课上，某班两名同学分别进行10次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
4．在2017年的初中数学竞赛中，我校有5位同学获奖，他们的成绩分别是88，86，91，88，92．则由这组数据得到的以下结论，错误的是( )
A．极差为6 B．平均数为89 C．众数为88 D．中位数为91
5．教练组对运动员正式比赛前的5次训练成绩进行分析，判断谁的成绩更加稳定，一般需要考察这5次成绩的 ( )
A．平均数或中位数 B．众数或频率 C．方差或极差 D．频数或众数
6．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，记录每人10次射击成绩，据此分析，得到各人的射击成绩平均数和方差如表中所示，则成绩最稳定的是（ ）
统计量 甲 乙 丙 丁
平均数 9.2 9.1 9.3 9.1
方差 0.60 0.62 0.50 0.44
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．一组数据3、4、4、5，若添加一个数4得到一组新数据，则前后两组数据的统计量会变小的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．一次中学生田径运动会上，21名参加男子跳高项目的运动员成绩统计如下：
成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70
人数 ■ 8 6 ■ 1
其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
9．初中生每天的睡眠时间应为9个小时．鹏鹏记录了他一周的睡眠时间，并将统计结果绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（　　）
A．鹏鹏这一周睡眠时间的中位数是7小时
B．鹏鹏这一周睡眠时间的众数是7小时
C．鹏鹏这一周睡眠时间的极差是4小时
D．鹏鹏这一周睡眠时间的平均数是8小时
10．从甲、乙、丙、丁四人中选出一人参加射击比赛，经过初赛统计，他们的平均成绩都是9环，方差分别是，，，，结合以上数据，你认为派谁参加比赛更合适（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．甲、乙两位同学进行“汉字拼写”训练，他们5次训练成绩的平均数均为90分，方差分别为，，则下列对两位同学成绩的稳定性描述正确的是（ ）
A．甲更稳定 B．乙更稳定 C．一样稳定 D．无法确定
12．某奶茶小店某月每日营业额（单位：元）中随机抽取部分数据，根据方差公式，得则下列说法正确的是（ ）
A．样本的容量是4 B．该组数据的中位数是400
C．该组数据的众数是300 D．
二、填空题
13．学完方差的知识后，小明了解了他最要好的四个朋友的身高，分别是176cm，174cm，177cm，173cm，那么小明四个好朋友身高的方差是 ．
14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 ．
15．已知一组数据0，1，2，2，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是 ．
16．一个样本容量为50的样本最大值为127，最小值为60，组距为10，则可分成 组．
17．一组数据为0，1，2，3，4，则这组数据的方差是 ．
三、解答题
18．从甲、乙两台包装机包装的质量为300g的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g）
甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299
乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305
（1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差；
（2）比较这两台包装机包装质量的稳定性．
19．为了调查甲，乙两台包装机分装标准质量为奶粉的情况，质检员进行了抽样调查，过程如下.请补全表一、表二中的空，并回答提出的问题.
收集数据：
从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取10袋，测得实际质量（单位：）如下：
甲：394，400，408，406，410，409，400，400，393，395
乙：402，404，396，403，402，405，397，399，402，398
整理数据：
表一
频数种类 质量（） 甲 乙
____________ 0
0 3
3 1
0 ____________
____________ 1
3 0
分析数据：
表二
种类 甲 乙
平均数 401.5 400.8
中位数 ____________ 402
众数 400 ____________
方差 36.85 8.56
得出结论：
包装机分装情况比较好的是______（填甲或乙），说明你的理由.
20．2018年9月29日，由北京外交人员服务局主办、北京外交人员房屋服务公司、北京市乒乓球运动协会承办的首届中外外交官“友谊杯”乒乓球赛在北京齐家园外交公寓体育运动中心举办，为了纪念这次活动，某校开展了乒乓球知识竞赛，八年级甲、乙两班分别选5名同学参加比赛，其成绩如图所示：
根据上图填写下表：
平均数 中位数 众数
甲班 ______
乙班 ______ 8 ______
已知甲班5名同学成绩的方差是，计算乙班同学成绩的方差，并比较哪个班选手的成绩较为稳定？
21．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：
平均数 中位数 方差 命中10环的次数
甲 7 0
乙 7.5 5.4
甲、乙射击成绩折线图
(1)请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）
(2)如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由
22．八（6）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各9人的比赛成绩如下表（10分制）：
甲 7 8 9 7 10 10 10 10 10
乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10
（1）甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分；
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）若选择其中一队参加校级经典朗读比赛则应选 队．
23．已知直线分别与轴、轴交于点，点，点为这条直线上的点，轴于点，轴于点．
（1）①将下表中的空格填写完整：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1 0
4 4 4 4
②根据表格中的数据，下列判断正确的是 ．
A． ，B． ，C．．
（2）当点在第一象限时，解答下列问题：
①求证：矩形的周长是一个定值，并求这个定值；
②设矩形的面积为，求证：．
（3）当点在第四象限时，直接写出，满足的等式关系．
24．已知样本甲为a1、a2、a3样本乙为b1、b2、b3，若a1－b2=a2－b2=a3－b3，那么样本甲与样本乙的方差有什么关系，并证明你的结论.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D D C D D C C D
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】方差越小，成绩越稳定，据此判断即可.
【详解】解：∵0.43＜0.90＜1.22＜1.68，∴丙成绩最稳定，
故选C
【点睛】本题考查了方差的相关知识，属于基础题型，掌握判断的方法是解题的关键.
2．D
【分析】本题考查方差的意义，根据方差越小，数据的波动越小，即可得到答案．
【详解】解：∵在统计中,方差可以近似的反映数据的波动程度,方差越大,数据的波动越大,
∴D选项符合方差定义．
故选：D．
3．D
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生了10次短跑训练成绩的方差．
【详解】由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了10次短跑训练成绩的方差．
故选D．
【点睛】考查了统计量的选择，用到的知识点是方差的意义，掌握方差所表示的意义是解题的关键．
4．D
【分析】根据极差、中位数、众数和平均数的概念分别进行求解，即可得出答案.
【详解】、这组数据的极差是，正确；
、这组数据的平均数是，正确；
、这组数据的众数是，正确；
、这组数据的中位数是，错误.
故选.
【点睛】本题考查了极差、中位数、众数和平均数的知识，掌握各知识点的概念是解题的关键.
5．C
【详解】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．同时，极差是最大与最小值的差，也反映波动越大小；故要判断谁的成绩更加稳定；一般要考查这5次成绩的方差或极差．
故选C.
6．D
【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定；
【详解】每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差依次为0.60、0.62、0.50、0.44，丁的方差最小，
成绩最稳定的是丁；
故选：D
【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．D
【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差的定义，分别求出两组数据的平均数，众数，中位数，方差，进行比较即可．
【详解】解：原数据3、4、4、5，
平均数为，中位数为，众数为4，
方差为，
新数据3、4、4、4、5，
平均数为，中位数为，众数为4，
方差为，
，
则前后两组数据的统计量会变小的是方差，
故选：D．
8．C
【分析】根据数据的总个数以及1.50m和1.65m的人数和，可确定众数．
【详解】解：∵一共有21个数据，
∴1.50m和1.65m的人数和为21-（8+6+1）=6＜8，
∴这组数据的众数为1.55m，
故选：C．
【点睛】本题主要考查数据分析的内容，掌握众数的概念是解题的关键．
9．C
【分析】根据众数，中位数，平均数、极差的定义解答即可．
【详解】解：由图可知，鹏鹏这一周睡眠时间这组数中出现7和8都是两次，所以众数是7和8．
把数据从小到大排列，中位数是第4个数，所以中位数是8．
平均数是(6+8+7+7+9+10+8)÷7=，所以平均数是．
最大为10，最小为6，极差为10-6=4，
故A、B、D错误，C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，也考查了极差、中位数、平均数、众数的相关知识．
10．D
【分析】根据方差的大小，可进行求解．
【详解】解：由题意得：；
∴应该派丁参加比赛更合适；
故选D．
【点睛】本题主要考查方差的意义，熟练掌握方差越小，数据越稳定是解题的关键．
11．A
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键；此题可根据方差的性质“方差越小，数据的波动越小”进行求解．
【详解】解：∵，
∴甲更稳定，
故选A．
12．C
【分析】分别求出样本容量、中位数、众数、方差后，即可做出判断．
【详解】A．由题意可知，样本容量为，故选项错误，不符合题意；
B．由题意可知，该组数据共有10个，处在中间的两个都是300，故中位数为，故选项错误，不符合题意；
C．该组数据出现次数最多的是300，共出现5次，故众数为300，故选项正确，符合题意；
D．由题意可得，平均数，
方差为，
故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了样本容量、中位数、众数、方差等知识点，熟练掌握各统计量的求法是解题的关键．
13．cm
【分析】先计算出四个数据的平均数，再代入方差的公式计算求值．
【详解】∵（176+174+177+173）=175（cm），∴S2[（176﹣175）2+（174﹣175）2+（177﹣175）2+（173﹣175）2]（1+1+4+4）（cm2）．
故答案为cm2．
【点睛】本题考查了方差的计算．若n个数据x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．丙
【分析】根据方差表示数据的波动大小的量即可解答．
【详解】解：∵平均成绩都是87.9分，s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52，
∴s丙2＜s乙2＜s甲2，
∴选手丙的成绩更稳定，即适合参加比赛的选手是丙．
故答案为：丙．
【点睛】本题考查了方差的意义，理解方差是表示数据波动大小的量是解答本题的关键．
15．.
【详解】已知数据0，1，2，2，x，3的平均数是2，
由平均数的公式计算可得（0+1+2+2+x+3）÷6=2，
解得x=4，
再根据方差的公式可得，
这组数据的方差= [（2﹣0）2+（2﹣1）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣4）2+（2﹣3）2]=．
16．7
【分析】先计算出样本的极差，再除以组距，最后向上一位取整即可得出组数．
【详解】解：∵样本最大值为127，最小值为60，
∴极差为127﹣60＝67，
∵组距为10，
∴67÷10＝6.7，
∴此样本可分成7组，
故答案为：7．
【点睛】本题考查频数分布表中组数的确定，关键是求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数．
17．2
【分析】先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【详解】这组数据的平均数是：，
则方差；
故答案为2．
【点睛】此题考查方差，解题关键在于掌握方差的计算公式．
18．（1）甲平均数301，乙平均数301，甲方差3.2，乙方差4.2；（2）甲包装机包装质量的稳定性好，见解析
【分析】（1）根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可；
（2）方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可．
【详解】解：（1）＝（1+0+5+2+3+2+0+0﹣2﹣1）+300＝301，
＝（5+2+0+0+0+0﹣2﹣1+1+5）+300＝301，
＝[（301﹣301）2+（301﹣300）2+（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣303）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2]＝3.2；
＝[（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2+（301﹣301）2+（301﹣305）2]＝4.2；
（2）∵＜，
∴甲包装机包装质量的稳定性好．
【点睛】本题考查了平均数和方差，正确掌握平均数及方差的求解公式是解题的关键.
19．整理数据：3，1，5；分析数据：400，402；得出结论：乙，理由详见解析.
【分析】整理数据：根据所给的数据填写表格一即可；分析数据：根据中位数、众数的定义求解即可；得出结论：结合表二中的数据解答即可.
【详解】整理数据：
表一中，
甲组：393≤x＜396的有3个，405≤x＜408的有1个；
乙组：402≤x＜405的有5个；
故答案为3，1，5；
分析数据：
表二中，
甲组：把10个数据按照从小到大顺序排列为：393，394，395，400，400，400，406，408，409，410，
中位数为中间两个数据的平均数＝＝400，
乙组：出现次数最多的数据是402，
∴众数是402；
故答案为400，402；
得出结论：
包装机分装情况比较好的是乙；理由如下：
由表二知，乙包装机分装的奶粉质量的方差小，分装质量比较稳定，
所以包装机分装情况比较好的是乙．
故答案为乙（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查了众数、中位数以及方差，掌握众数、中位数以及方差的定义及数据的整理是解题的关键．
20．（1），，10；（2）甲班．
【分析】（1）把甲班5名同学的成绩从小到大排列，找出最中间的数即可求出甲班的中位数，根据平均数的计算公式列出算式，求出乙班5名同学的成绩的平均数，找出乙班出现的次数最多的数即可求出乙班的众数．
（2）求出乙班同学的方差再与甲班5名同学成绩的方差比较即可．
【详解】（1）把甲班5名同学的成绩从小到大排列为：7.5，8，8.5，8.5，10，最中间的数是8.5，则甲班的中位数是8.5，乙班5名同学的成绩的平均数是（7+10+10+7.5+8）÷5=8.5，10出现的次数最多，则乙班的众数是10．
故答案为8.5，8.5，10．
（2）乙班同学的方差为：[（7﹣8.5）2+2×（10﹣8.5）2+（7.5﹣8.5）2+（8﹣8.5）2]=1.6．
∵甲班5名同学成绩的方差是0.7，0.7＜1.6，∴甲班选手的成绩较为稳定．
【点睛】本题考查了方差、中位数、众数、平均数，关键是熟练掌握了方差、中位数、众数、平均数的概念和计算方法．
21．(1)见解析
(2)甲胜出，方差小，见解析
【分析】（1）分别利用中位数以及方差和平均数求法得出即可；
（2）根据（1）计算出的甲乙两人的方差，比较大小即可做出判断．
【详解】（1）根据折线统计图得：
乙的射击成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，
则平均数为：×（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）=7（环），
甲的射击成绩为9，6，7，6，5，7，7，？，8，9，平均数为7环，
则甲第八环成绩为70-（9+6+7+6+5+7+7+8+9）=6（环），
所以甲的10次成绩为：9，6，7，6，5，7，7，6，8，9，
把这些数从小到大排列为5，6，6，6，7，7，7，8，9，9，
则中位数是：=7（环），
甲的方差为：；
乙命中10环的次数为1．
补统计表如下：
平均数 中位数 方差 命中10环的次数
甲 7 7 1.6 0
乙 7 7.5 5.4 1
补全折线统计图如下：
（2）由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，故甲胜出．
【点睛】此题考查了折线统计图，中位数，方差，平均数，以及统计表，掌握相关统计量的计算方法是解本题的关键．
22．（1）10，9；（2）1；（3）乙.
【详解】试题分析：本题考查方差、中位数、众数等众数，记住这些知识是解决问题的关键，方差越小成绩越稳定，属于中考常考题型．
（1）根据中位数的定义即可解决．
（2）根据平均数、方差公式计算即可．
（3）根据方差越小成绩越稳定作出判断．
试题解析：（1）甲队成绩的中位数是10分，乙队成绩的中位数分9．
故答案分别为10，9．
（2）==9．
s乙2=[（10-9）2+（8-9）2+（7-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（10-9）2+（10-9）2+（9-9）2+（10-9）2]=1，
（3）∵s甲2=，s乙2=1，
∴s乙2＜s甲2，
∴乙的成绩稳定，选乙队．
故答案为乙．
考点：1.方差；2.中位数；3.众数．
23．（1）①4，4，4，4，4；②A、B、C；（2）①矩形的周长是一个定值，周长为8；②见解析；（3）
【分析】（1）①把表中对应的值相加即可完成；
②根据数据的平均数和方差计算公式计算即可；
（2）①设点Q的坐标为，由点Q在第一象限，则，，从而可求得矩形OPQR的周长，且可知周长为定值；
②计算4－S，并判断其符号即可；
（3）设点Q的坐标为，由点Q在第四象限，则，，则的关系．
【详解】（1）①填表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1 0
4 4 4 4 4 4 4 4 4
②，故A正确；
∴，故B正确；
∵
∴
故C正确；
故答案为：A、B、C
（2）①设，
∵点在第一象限，
∴，，
∴，
∴矩形的周长是一个定值，周长为8；
②∵
∴．
（3）设点Q的坐标为，
∵点Q在第四象限，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了数据的平均数、方差，点在直线上的坐标特征，图形的面积与周长，各象限点的坐标特点等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．同时要注意，点的坐标与点到两坐标轴的距离既有联系又有区别．
24．相等，证明详见解析.
【分析】样本甲与样本乙的方差相等，设a1－b2=a2－b2=a3－b3=k，则a1=b2+k，a2=b2+k，a3=b3+k，根据将一组数据中每个数据的值都加上（或减去）同一个常数，这组数据的波动大小不变，方差不变即可证明结论.
【详解】样本甲与样本乙的方差相等，
证明：设a1－b2=a2－b2=a3－b3=k，则a1=b2+k，a2=b2+k，a3=b3+k，
∴样本甲的数据可以看作样本乙的每一个数据加k，
∵将一组数据中每个数据的值都加上（或减去）同一个常数，这组数据的波动大小不变，方差不变，
∴样本甲与样本乙的方差相等.
【点睛】本题考查了方差公式的运用，熟知将一组数据中每个数据的值都加上（或减去）同一个常数，这组数据的波动大小不变，方差不变是解决问题的关键.
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