16.1二次根式同步练习（含解析）
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16.1二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．是整数，那么整数x的值是（ ）
A．6和3 B．3和1 C．2和18 D．只有18
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子中，a不可以取1和2的是（ ）
A． B． C． D．
4．要使代数式有意义，则（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．不存在
5．若有意义，则能取的最小整数是( )
A． B． C． D．
6．当x＝-2 时，下列各式有意义的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各数中互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与 D．2与|﹣2|
8．下列各式一定是二次根式的是( )
A． B． C． D．
9．二次根式的值是（ ）
A．8 B． C．64 D．8或
10．若＝b﹣3，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
11．如果式子在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤2
二、填空题
12．已知，则代数式的值为 ．
13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．函数的自变量取值范围是 ．
15．若有意义，则的取值范围是 ．
16．化简：= ．
三、解答题
17．计算：
18．如图，//，为线段上一点，，，且．
（1）求的值．
（2）过点作//，若点在直线上向左运动，写出与之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑与、重合的情况）
19．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得（，该路段限速，则该汽车超速了吗 请说明理由．（参考数据： ）
20．要在田间土地上做一块长方形的试验田，其长和宽的比例为，面积是125平方米．求长方形试验田长和宽各是多少米？
21．先观察等式，再解答问题：
①；②；
③．
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
(3)应用上述结论，请计算的值．
22．观察下列各式，回答问题：
①；②；③．
(1)上述式子中，正确的是 ；
(2)类比上述式子，可得第④个式子是 ；
(3)从（1），（2）的结论中，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
23．观察下列等式：
；
；
；
；
……
(1)请你按上述规律写出第5个等式：_______；
(2)用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B B A D A C
题号 11
答案 C
1．C
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式＝，
∵是整数，
∴或，
解得：x＝2或x＝18，
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．A
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A. 符合最简二次的定义．故本选项正确；
B. = 中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式．故本选项错误；
C. 该二次根式中含有分母，所以它不是最简二次根式．故本选项错误；
D. 该二次根式中含有能开得尽方的因式，所以它不是最简二次根式．故本选项错误；
故选A.
【点睛】此题考查最简二次根式，掌握其定义是解题关键
3．D
【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案；
【详解】（A）由5a≥0，所以a≥0，故选项A可取1和2；
（B）由a+3≥0，所以a≥﹣3，故选项B可取1和2；
（C）由a2≥0，所以a2+1≥1，故选项C可取1和2；
（D）由≥0且a≠0，所以a＜0，故选项D不可取1和2；
故选：D．
【点睛】考核知识点：二次根式.理解二次根式定义是关键.
4．C
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴m≥0，-m≥0，
∴m=0，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
5．B
【分析】要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可确定x的取值范围，然后取整即可．
【详解】解：要使根式有意义，
则5x+1≥0，
解得：，
故x能取的最小整数是0，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的定义，其中被开方数为非负数，比较简单．
6．B
【分析】根据二次根式有意义的条件是，将分别代入各个选项，即可得出答案．
【详解】解：A.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意；
B.当，，二次根式有意义，该选项符合题意；
C.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意；
D.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
7．A
【分析】分别化简各项，再根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：A. ﹣2与，互为相反数，符合题意；
B. ﹣2与，不互为相反数，不符合题意；
C. ﹣2与，两个数互为倒数，不互为相反数，不符合题意；
D. 2与|﹣2|=2，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和相反数的定义，解题关键是熟练化简二次根式，准确进行判断．
8．D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【详解】A、a＜0时不是二次根式，故A错误；
B、a＜时，不是二次根式，故B错误；
C、a＜时，不是二次根式，故C错误；
D、a取任意实数，a2+4>0，是二次根式，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
9．A
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．
10．C
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由于＝b﹣3≥0，
∴b≥3，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
11．C
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数大于等于零，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得出，
，且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可．
12．11
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式．将代数式变形为，代入后运用二次根式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：11．
13．
【解析】略
14．
【详解】试题分析：由题意得3-x≥0且x≠0，解得x≤3且x≠0；
考点：函数自变量的取值范围.
15．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数和分式的意义的条件是分母不等于零求解即可．
【详解】∵有意义，
∴，
∴的取值范围是：
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式有意义和二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16．-2b
【分析】先根据二次根式的性质化简原式，再根据数轴得到a、b、c的大小关系，去化简绝对值求解．
【详解】解：原式，
根据数轴得，
∴原式．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次根式和立方根的化简，解题的关键是掌握二次根式和立方根的性质．
17．
【分析】本题考查了实数的运算，利用二次根式、绝对值的性质，零指数幂公式先化简，再进行加减运算即可得到结果，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
18．（1）；（2）当在点右边时，；当在线段上时，；当在点左边时，．画图见解析，理由见解析．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解，再代入计算可求n的值．
（2）分三种情况：①当P在D点右边时；②当P在线段AD上时；③当P在A点左边时；利用平行线的性质，进行讨论即可求解．
【详解】（1）∵，
∵，即，
，即，
∴，
，
∴，，
∴．
（2）①当在点右边时，
因为，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
，
②当在线段上时，
，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
；
③当在点左边时，
，，，
∴，，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，角的和差关系，平行线公理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类思想的运用．
19．该汽车没有超速，理由见解析
【分析】
本题考查了二次根式的应用，根据题意代入公式进行计算即可求解．
【详解】解：该汽车没有超速，理由如下，
依题意，（）
∵，
∴该汽车没有超速．
20．长方形试验田长和宽各是米，米
【分析】此题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 设长方形的长为，则宽为，根据已知面积列出方程，再根据算术平方根的定义解方程求解即可．
【详解】解：设长方形的长为米，
长和宽的比例为，
长方形的宽为米，
由题意得，，即，
解得，或（舍），
，
答：长方形试验田长和宽各是米，米．
21．(1)，见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可．
（1）利用题中等式的计算规律得出结果，并验证．
（2）找出第n个等式的左边为，右边为1与的和，列出等式即可．
（3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果．
【详解】（1）解：的结果为；
验证：
（2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和，
故等式如下：
（3）
22．(1)
(2)
(3)规律：，证明见详解
【分析】（1）通过计算化简，即可判断；
（2）通过类比即可作答；
（3）仔细观察从上式中可找出规律，并列出式子；从中我们会发现根号里的带分数可分为整数部分和分数部分，而且整数部分是等式右边根号外的部分，分数部分正好为等式右边根号内的部分，从而得到规律，利用开平方的相关知识证明即可．
【详解】（1），故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
即正确的式子有：；
（2）类比上述式子，可得第④个式子是，
故答案为：；
（3）规律：．
证明：
．
【点睛】本题主要考查了利用平方根的性质解决复杂的计算问题，二次根式的化简，难度较大，一定要认真观察，找对规律并应用开平方的知识准确的开方计算是解题的关键．
23．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解；
（2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n个等式：．
【详解】（1）解：∵；
；
；
；
……
∴第5个等式：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式：，
证明：
，
∵n为正整数，
∴．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键．
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16.1二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．是整数，那么整数x的值是（ ）
A．6和3 B．3和1 C．2和18 D．只有18
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列式子中，a不可以取1和2的是（ ）
A． B． C． D．
4．要使代数式有意义，则（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＝0 D．不存在
5．若有意义，则能取的最小整数是( )
A． B． C． D．
6．当x＝-2 时，下列各式有意义的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各数中互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．﹣2与 D．2与|﹣2|
8．下列各式一定是二次根式的是( )
A． B． C． D．
9．二次根式的值是（ ）
A．8 B． C．64 D．8或
10．若＝b﹣3，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
11．如果式子在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x＜2 D．x≤2
二、填空题
12．已知，则代数式的值为 ．
13．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．函数的自变量取值范围是 ．
15．若有意义，则的取值范围是 ．
16．化简：= ．
三、解答题
17．计算：
18．如图，//，为线段上一点，，，且．
（1）求的值．
（2）过点作//，若点在直线上向左运动，写出与之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑与、重合的情况）
19．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得（，该路段限速，则该汽车超速了吗 请说明理由．（参考数据： ）
20．要在田间土地上做一块长方形的试验田，其长和宽的比例为，面积是125平方米．求长方形试验田长和宽各是多少米？
21．先观察等式，再解答问题：
①；②；
③．
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
(3)应用上述结论，请计算的值．
22．观察下列各式，回答问题：
①；②；③．
(1)上述式子中，正确的是 ；
(2)类比上述式子，可得第④个式子是 ；
(3)从（1），（2）的结论中，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
23．观察下列等式：
；
；
；
；
……
(1)请你按上述规律写出第5个等式：_______；
(2)用含字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B B A D A C
题号 11
答案 C
1．C
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式＝，
∵是整数，
∴或，
解得：x＝2或x＝18，
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
2．A
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A. 符合最简二次的定义．故本选项正确；
B. = 中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式．故本选项错误；
C. 该二次根式中含有分母，所以它不是最简二次根式．故本选项错误；
D. 该二次根式中含有能开得尽方的因式，所以它不是最简二次根式．故本选项错误；
故选A.
【点睛】此题考查最简二次根式，掌握其定义是解题关键
3．D
【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案；
【详解】（A）由5a≥0，所以a≥0，故选项A可取1和2；
（B）由a+3≥0，所以a≥﹣3，故选项B可取1和2；
（C）由a2≥0，所以a2+1≥1，故选项C可取1和2；
（D）由≥0且a≠0，所以a＜0，故选项D不可取1和2；
故选：D．
【点睛】考核知识点：二次根式.理解二次根式定义是关键.
4．C
【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴m≥0，-m≥0，
∴m=0，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
5．B
【分析】要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可确定x的取值范围，然后取整即可．
【详解】解：要使根式有意义，
则5x+1≥0，
解得：，
故x能取的最小整数是0，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的定义，其中被开方数为非负数，比较简单．
6．B
【分析】根据二次根式有意义的条件是，将分别代入各个选项，即可得出答案．
【详解】解：A.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意；
B.当，，二次根式有意义，该选项符合题意；
C.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意；
D.当，，二次根式没有意义，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
7．A
【分析】分别化简各项，再根据相反数的定义判断即可．
【详解】解：A. ﹣2与，互为相反数，符合题意；
B. ﹣2与，不互为相反数，不符合题意；
C. ﹣2与，两个数互为倒数，不互为相反数，不符合题意；
D. 2与|﹣2|=2，两个数相等，不互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和相反数的定义，解题关键是熟练化简二次根式，准确进行判断．
8．D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【详解】A、a＜0时不是二次根式，故A错误；
B、a＜时，不是二次根式，故B错误；
C、a＜时，不是二次根式，故C错误；
D、a取任意实数，a2+4>0，是二次根式，故D正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
9．A
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．
10．C
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由于＝b﹣3≥0，
∴b≥3，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
11．C
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数大于等于零，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得出，
，且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可．
12．11
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式．将代数式变形为，代入后运用二次根式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：11．
13．
【解析】略
14．
【详解】试题分析：由题意得3-x≥0且x≠0，解得x≤3且x≠0；
考点：函数自变量的取值范围.
15．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数和分式的意义的条件是分母不等于零求解即可．
【详解】∵有意义，
∴，
∴的取值范围是：
故答案为：
【点睛】本题主要考查分式有意义和二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16．-2b
【分析】先根据二次根式的性质化简原式，再根据数轴得到a、b、c的大小关系，去化简绝对值求解．
【详解】解：原式，
根据数轴得，
∴原式．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次根式和立方根的化简，解题的关键是掌握二次根式和立方根的性质．
17．
【分析】本题考查了实数的运算，利用二次根式、绝对值的性质，零指数幂公式先化简，再进行加减运算即可得到结果，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
18．（1）；（2）当在点右边时，；当在线段上时，；当在点左边时，．画图见解析，理由见解析．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解，再代入计算可求n的值．
（2）分三种情况：①当P在D点右边时；②当P在线段AD上时；③当P在A点左边时；利用平行线的性质，进行讨论即可求解．
【详解】（1）∵，
∵，即，
，即，
∴，
，
∴，，
∴．
（2）①当在点右边时，
因为，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
，
②当在线段上时，
，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
；
③当在点左边时，
，，，
∴，，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，角的和差关系，平行线公理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类思想的运用．
19．该汽车没有超速，理由见解析
【分析】
本题考查了二次根式的应用，根据题意代入公式进行计算即可求解．
【详解】解：该汽车没有超速，理由如下，
依题意，（）
∵，
∴该汽车没有超速．
20．长方形试验田长和宽各是米，米
【分析】此题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 设长方形的长为，则宽为，根据已知面积列出方程，再根据算术平方根的定义解方程求解即可．
【详解】解：设长方形的长为米，
长和宽的比例为，
长方形的宽为米，
由题意得，，即，
解得，或（舍），
，
答：长方形试验田长和宽各是米，米．
21．(1)，见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可．
（1）利用题中等式的计算规律得出结果，并验证．
（2）找出第n个等式的左边为，右边为1与的和，列出等式即可．
（3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果．
【详解】（1）解：的结果为；
验证：
（2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和，
故等式如下：
（3）
22．(1)
(2)
(3)规律：，证明见详解
【分析】（1）通过计算化简，即可判断；
（2）通过类比即可作答；
（3）仔细观察从上式中可找出规律，并列出式子；从中我们会发现根号里的带分数可分为整数部分和分数部分，而且整数部分是等式右边根号外的部分，分数部分正好为等式右边根号内的部分，从而得到规律，利用开平方的相关知识证明即可．
【详解】（1），故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
即正确的式子有：；
（2）类比上述式子，可得第④个式子是，
故答案为：；
（3）规律：．
证明：
．
【点睛】本题主要考查了利用平方根的性质解决复杂的计算问题，二次根式的化简，难度较大，一定要认真观察，找对规律并应用开平方的知识准确的开方计算是解题的关键．
23．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解；
（2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n个等式：．
【详解】（1）解：∵；
；
；
；
……
∴第5个等式：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式：，
证明：
，
∵n为正整数，
∴．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键．
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