16.2二次根式的乘除同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 16.2二次根式的乘除同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 786.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-17 17:38:01 | ||
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文档简介
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16.2二次根式的乘除
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列的根式中，属最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6 B．
C． D．（x+y）2＝x2+y2
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
6．已知m=+1，n=，则m和n的大小关系为（ ）
A．m=n B．mn=1 C．m=﹣n D．mn=﹣1
7．计算的结果是（ ）
A．4 B．± C．2 D．
8．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则m的值在（ ）
A．5与6之间 B．与之间 C．4与5之间 D．与之间
11．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．化简+的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为 cm．
14．计算的结果是 ．
15．一个圆锥的底面积是2 cm2，高是4 cm，那么这个圆锥的体积是 ．
16．计算：= ．
17．计算
①= ；②= ；③= ；④=
三、解答题
18．（1）计算：×+|﹣6|×（﹣1）3﹣（﹣）﹣2；
（2）解不等式组：．
19．已知的三条边长，， ，在下面的方格图内画出，使它的顶点都在格点上(每个小方格的边长均为1)．
(1)求的面积．
(2)求点A到边的距离．
20．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？
21．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数）
22．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________．
23．郡园“美美与共”数学兴趣小组编了一个“”的计算程序，规定：输入数据x，y时，若输出的是代数式称为“M”，若输出的是等式称为“X”．回答下列问题：
(1)当输入正整数x，y时，得到“M”和“X”，若“X”为，求证“M”： 是完全平方式．（温馨提示：对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使的条件，则称A是完全平方式，比如，是完全平方式．）
(2)当输入x，y时，求“X”：的x，y的正整数解．
(3)若正数x，y满足，求“M”：的最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D A C D D A
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】根据二次根式乘法法则将四个选项分别计算，再判断．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，正确，该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.
2．B
【详解】试题解析：因为：A、；
C、；
D、；
所以，这三个选项都能化简，不是最简二次根式．
故本题选B．
3．B
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则、二次根式除法运算法则、约分化简、完全平方公式分别化简求出答案．
【详解】A、a2×a3＝a5，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、二次根式除法运算、约分、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．D
【分析】根据二次根式的被开方式中都不含分母，且也都不含有能开的尽方的因式判断即可.
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，故不符合题意；
C. ，不是最简二次根式，故不符合题意；
D. 是最简二次根式，故符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
5．D
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方的因数或因式，被开方数不含分母，判断即可．
【详解】解：，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握被开方数不含能开方的因数或因式，被开方数不含分母是解题的关键．
6．A
【详解】解：因为n==，m=+1，
所以m=n；
又因为mn=
=4
所以mn≠1，mn≠﹣1，
所以选项B、D错误．
故选A．
7．C
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式==2，
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
8．D
【分析】根据最简二次根式的两个条件进行判断，即可得出结论．
【详解】A、，不是最简二次根式，错误；
B、，不是最简二次根式，错误；
C、=3，不是最简二次根式，错误；
D、是最简二次根式，正确；
故选D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9．D
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，不合题意；
D、因为，所以不是最简二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据定义，最简二次根式必须满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式．
10．A
【分析】本题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小．先化简m，估算出的值的范围，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
∴m的值在5与6之间，
故选：A．
11．C
【分析】最简二次根式须同时满足两个条件：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，据此逐项判断即得答案．
【详解】解：A．，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故C选项符合题意；
D．，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础题型，熟知概念是关键．
12．A
【详解】解：=+=．
故选：A．
13．
【解析】略
14．
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，题目比较简单.
15．
【详解】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是.故答案为.
16．28
【分析】根据二次根式的乘法运算法则解题即可．
【详解】原式==28．
故答案为28．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算法则．正确计算是解题的关键．
17． 6
【分析】①根据同底数幂的乘法法则进行计算；②根据单项式乘单项式的法则进行计算；③根据单项式除以单项式的法则进行计算；④根据平方差公式进行计算.
【详解】解：①；
②；
③；
④，
故答案为，，，6.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、整式乘除、平方差公式以及二次根式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18．（1）﹣9；（2）不等式组的解集为2＜x＜3．
【详解】试题分析：（1）根据运算顺序依次计算；（2）先求得每个不等式的解，再求公共解即可.
试题解析：
（1）原式=+6×（﹣1）﹣9
=6﹣6﹣9
=﹣9；
（2）
解①得x＞2，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为2＜x＜3．
19．(1)画图见解析，3
(2)
【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，求三角形的高，二次根式的除法计算等等：
（1）先根据题意画出对应的图形，然后利用网格求出三角形面积即可；
（2）设点A到边的距离为h，利用三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴；
（2）解：设点A到边的距离为h，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点A到边的距离为．
20．
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设圆的半径应是，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：圆的半径应是．
21．该汽车超速了，见解析
【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可．
【详解】解：该汽车超速了；理由：
∵，，，
∴
．
故该汽车超速了．
22．（1）见解析（2）成立，理由见解析（3）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；
（1）证明，可得，即可得证；
（2）证明，可得，即可得证；
（3）延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，由（1）和（2）的结论可知，证明，再证明，根据面积关系可得，再求解即可．
【详解】（1） 证明：直线，直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：成立，理由如下，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，
由（1）和（2）的结论可知，
，
，
，
，
和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
23．(1)见解析
(2)6和1
(3)
【分析】此题主要考查完全平方式、因式分解的应用，分式加减的运算．
（1）把代入即可证明；
（2）把进行因式分解得到，再根据，为正整数得到，或，或，，即可求解；
（3）把化为，得到取最小值时，有最小值，得到，再根据正数x，y满足，则，可得，即，进而即可求解．
解题的关键是正确理解题意，根据完全平方式、因式分解的应用及不等式的性质进行求解．
【详解】（1）证明：代入，得
∴为完全平方式；
（2）解：∵，即：
∴
∵x，y都是正整数，
∴，或，或，，
解得，（舍去）
或，（舍去）
或，，
∴x，y的正整数解为6和1；
（3）∵
∴
则当取最小值时，有最小值，
∵正数x，y满足，
∴，则，
即，
∴的最小值为．
答：“”：的最小值为．
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16.2二次根式的乘除
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列的根式中，属最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A．a2×a3＝a6 B．
C． D．（x+y）2＝x2+y2
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
6．已知m=+1，n=，则m和n的大小关系为（ ）
A．m=n B．mn=1 C．m=﹣n D．mn=﹣1
7．计算的结果是（ ）
A．4 B．± C．2 D．
8．下列根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则m的值在（ ）
A．5与6之间 B．与之间 C．4与5之间 D．与之间
11．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．化简+的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知一个三角形的面积为，一条边长为，则这条边上的高为 cm．
14．计算的结果是 ．
15．一个圆锥的底面积是2 cm2，高是4 cm，那么这个圆锥的体积是 ．
16．计算：= ．
17．计算
①= ；②= ；③= ；④=
三、解答题
18．（1）计算：×+|﹣6|×（﹣1）3﹣（﹣）﹣2；
（2）解不等式组：．
19．已知的三条边长，， ，在下面的方格图内画出，使它的顶点都在格点上(每个小方格的边长均为1)．
(1)求的面积．
(2)求点A到边的距离．
20．随着我国科技不断进步，航天事业逐渐进入高速发展时代．2018年1月9日11点24分，我国在太原卫星发射中心用长征二号丁运载火箭以一箭双星的方式，成功将高景一号03、04星送入预定轨道，与同轨道的高景一号01、02星组网运行．这标志着我国首个0.5米高分辨率商业遥感卫星星座首期正式建成，实现新年开门红．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“长征二号”运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，则圆的半径应是多少？
21．超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数）
22．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________．
23．郡园“美美与共”数学兴趣小组编了一个“”的计算程序，规定：输入数据x，y时，若输出的是代数式称为“M”，若输出的是等式称为“X”．回答下列问题：
(1)当输入正整数x，y时，得到“M”和“X”，若“X”为，求证“M”： 是完全平方式．（温馨提示：对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使的条件，则称A是完全平方式，比如，是完全平方式．）
(2)当输入x，y时，求“X”：的x，y的正整数解．
(3)若正数x，y满足，求“M”：的最小值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D A C D D A
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】根据二次根式乘法法则将四个选项分别计算，再判断．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，正确，该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.
2．B
【详解】试题解析：因为：A、；
C、；
D、；
所以，这三个选项都能化简，不是最简二次根式．
故本题选B．
3．B
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则、二次根式除法运算法则、约分化简、完全平方公式分别化简求出答案．
【详解】A、a2×a3＝a5，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、二次根式除法运算、约分、完全平方公式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．D
【分析】根据二次根式的被开方式中都不含分母，且也都不含有能开的尽方的因式判断即可.
【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故不符合题意；
B. ，不是最简二次根式，故不符合题意；
C. ，不是最简二次根式，故不符合题意；
D. 是最简二次根式，故符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.
5．D
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方的因数或因式，被开方数不含分母，判断即可．
【详解】解：，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握被开方数不含能开方的因数或因式，被开方数不含分母是解题的关键．
6．A
【详解】解：因为n==，m=+1，
所以m=n；
又因为mn=
=4
所以mn≠1，mn≠﹣1，
所以选项B、D错误．
故选A．
7．C
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式==2，
故选C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
8．D
【分析】根据最简二次根式的两个条件进行判断，即可得出结论．
【详解】A、，不是最简二次根式，错误；
B、，不是最简二次根式，错误；
C、=3，不是最简二次根式，错误；
D、是最简二次根式，正确；
故选D．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9．D
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，不合题意；
D、因为，所以不是最简二次根式，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，根据定义，最简二次根式必须满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式．
10．A
【分析】本题考查了二次根式的乘法，估算无理数的大小．先化简m，估算出的值的范围，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
∴m的值在5与6之间，
故选：A．
11．C
【分析】最简二次根式须同时满足两个条件：一是被开方数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，据此逐项判断即得答案．
【详解】解：A．，故A选项不符合题意；
B．，故B选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故C选项符合题意；
D．，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础题型，熟知概念是关键．
12．A
【详解】解：=+=．
故选：A．
13．
【解析】略
14．
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算即可.
【详解】解：
【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，题目比较简单.
15．
【详解】根据圆锥的体积公式可得，这个圆锥的体积是.故答案为.
16．28
【分析】根据二次根式的乘法运算法则解题即可．
【详解】原式==28．
故答案为28．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算法则．正确计算是解题的关键．
17． 6
【分析】①根据同底数幂的乘法法则进行计算；②根据单项式乘单项式的法则进行计算；③根据单项式除以单项式的法则进行计算；④根据平方差公式进行计算.
【详解】解：①；
②；
③；
④，
故答案为，，，6.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、整式乘除、平方差公式以及二次根式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
18．（1）﹣9；（2）不等式组的解集为2＜x＜3．
【详解】试题分析：（1）根据运算顺序依次计算；（2）先求得每个不等式的解，再求公共解即可.
试题解析：
（1）原式=+6×（﹣1）﹣9
=6﹣6﹣9
=﹣9；
（2）
解①得x＞2，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为2＜x＜3．
19．(1)画图见解析，3
(2)
【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，求三角形的高，二次根式的除法计算等等：
（1）先根据题意画出对应的图形，然后利用网格求出三角形面积即可；
（2）设点A到边的距离为h，利用三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴；
（2）解：设点A到边的距离为h，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点A到边的距离为．
20．
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，设圆的半径应是，根据圆的面积公式和长方形面积公式得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设圆的半径应是，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：圆的半径应是．
21．该汽车超速了，见解析
【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可．
【详解】解：该汽车超速了；理由：
∵，，，
∴
．
故该汽车超速了．
22．（1）见解析（2）成立，理由见解析（3）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定；
（1）证明，可得，即可得证；
（2）证明，可得，即可得证；
（3）延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，由（1）和（2）的结论可知，证明，再证明，根据面积关系可得，再求解即可．
【详解】（1） 证明：直线，直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：成立，理由如下，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，
由（1）和（2）的结论可知，
，
，
，
，
和是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．
23．(1)见解析
(2)6和1
(3)
【分析】此题主要考查完全平方式、因式分解的应用，分式加减的运算．
（1）把代入即可证明；
（2）把进行因式分解得到，再根据，为正整数得到，或，或，，即可求解；
（3）把化为，得到取最小值时，有最小值，得到，再根据正数x，y满足，则，可得，即，进而即可求解．
解题的关键是正确理解题意，根据完全平方式、因式分解的应用及不等式的性质进行求解．
【详解】（1）证明：代入，得
∴为完全平方式；
（2）解：∵，即：
∴
∵x，y都是正整数，
∴，或，或，，
解得，（舍去）
或，（舍去）
或，，
∴x，y的正整数解为6和1；
（3）∵
∴
则当取最小值时，有最小值，
∵正数x，y满足，
∴，则，
即，
∴的最小值为．
答：“”：的最小值为．
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