16.3二次根式的加减同步练习（含解析）

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16.3二次根式的加减
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．2 B． C．4 D．6
4．化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
5．下列计算中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ）
A． B．15 C．0 D．不确定
10．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如果，那么的值是 ．
14．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝ ．
15．的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ．
16．已知最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
17．比较大小： 1；
三、解答题
18．计算：
(1)
(2)
(3)
19．我们在学习二次根式时，常遇到，这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”．
例如：，．请你应用“分母有理化”知识，解决下面问题解答过程中出现分母含有无理式的式子：
如图，在中，．
(1)用尺规作图法在上找一点D．使得点D到边的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，求的值．（提示：等腰三角形，斜边是直角边倍）
20．已知刹车距离的计算公式，其中v表示车速（单位：），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中．测得，，而发生交通事故的路段限速为，通过计算说明肇事汽车是否违规行驶．
21．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ；
(2)求剩余木料的面积；
(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条．
22．【阅读下列材料】
我们知道：，
即，
（当且仅当时，）．
进一步得到当时，
，即，
（当且仅当时，）
【例】若，求的最小值．
解：，
的最小值为4．
【解决问题】
(1)当时，当且仅当__________时，有最小值__________．
(2)用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长），面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少？
23．若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明）
例如：
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
(1)求的值；
【能力提升】
(2)设，求S的整数部分．
【拓展升华】
(3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围．
24．观察下列各式：
①；②；③；④．
根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题：
（1）写出第⑤个式子：____________；
（2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A B C C C D A D
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】根据合并同类二次根式，二次根式的除法，完全平方公式，二次根式的性质，逐项分析即可．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的除法，完全平方公式，二次根式的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．A
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，即，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
3．A
【分析】先求出大、小正方形的边长，进而求出整个图形面积，最后根据阴影部分的面积=大矩形面积-两个正方形面积，本题得以解决．
【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
4．B
【分析】本题考查分母有理化，给分子、分母同乘以即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
5．C
【详解】试题分析：A．，故错误；B．，不能合并，故错误；C．，故正确；D．，故错误．
故选C．
考点：无理数的运算．
6．C
【分析】利用二次根式的加减法运算法则判断A和B，利用二次根式的乘除法运算法则判断C和D．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
C、，正确，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的乘除法计算法则；是解题关键．
7．C
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
8．D
【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的加法以及除法运算，根据二次根式的性质以及二次根式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
9．A
【分析】本题主要考查了同类二次根式，二次根式的化简．把化简，再根据同类二次根式，可得，即可求解．
【详解】解：∵，最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：．
故选：A
10．D
【分析】根据二次根式加减法法则、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项的法则依次判断即可求出答案．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、幂的乘方、二次根式加减法法则和完全平方公式，熟练运用法则进行正确的计算是解本题的关键．
11．A
【分析】本题考查化最简二次根式，同类二次根式的判断．掌握将各二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式是解题关键．根据同类二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：，与是同类二次根式，故A符合题意；
与不是同类二次根式，故B不符合题意；
，与不是同类二次根式，故C不符合题意；
，与不是同类二次根式，故D不符合题意．
故选A．
12．D
【分析】结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项．
【详解】解：A．，原式错误，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．，故本选项错误；
D．，计算正确，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法和乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的加减法则和乘除法则．
13．
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
14．
【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．
【详解】∵m+n=10，mn=9，
∴=，
∴=±．
故答案是：±．
【点睛】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式．
15．7
【分析】根据可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
∴，
∴．
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握无理数的估算，二次根式的混合运算是解题的关键．
16．0
【分析】根据二次根式的定义化简得，由此得到，求出a与b的值即可．
【详解】解：∵是二次根式，
∴
∴，
解得，
∴
故答案为0．
【点睛】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键．
17． < <
【分析】二次根式比较大小，化简成相同的形式在比较大小.
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：＜，＜．
【点睛】本题考查二次根式的大小比较.
18．(1)15
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算；
（2）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则进行计算；
（3）先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的加法法则进行计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
19．(1)见解析
(2)．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，分母有理化等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）点D到边的距离相等，则点D在的角平分线上，据此作图即可；
（2）先证明是等腰直角三角形，求得，利用角平分线的性质求得，再利用面积公式求得，然后分母有理化即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：作于点，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
20．肇事汽车没有违规行驶
【分析】本题考查了二次根式运算的实际应用，将和的值代入计算，求出，再与比较大小，即可求解；能进行正确运算是解题的关键．
【详解】解：由题意得
（），
，
没有超速；
答：肇事汽车没有违规行驶．
21．(1)，；
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键．
（1）根据算术平方根的含义可得答案；
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案；
（3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案．
【详解】（1）解：，，
（2）矩形的长为，宽为，
∴剩余木料的面积；
（3）剩余木条的长为，宽为，
∵，，
∴能截出个木条．
22．(1)，；
(2)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，理解题意是关键．
（1）直接利用（当且仅当时，），再计算即可；
（2）设垂直于墙的一边为xm，利用长方形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用求解即可；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
当时，则，
解得：（舍去），
即当时，，
故答案为：，
（2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
此时，
∴或（舍去）．
∴，
∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
23．(1)
(2)S的整数部分2019
(3)代数式取得最小值时，x的取值范围是
【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为，再根据||取最小值时，确定x的取值范围．
【详解】（1）
（2）
，
∴S的整数部分2019；
（3）由已知得：，且，
，
∵，
∴原式，
当时，
；
当时，
；
∴当，即时，取得最小值为2，
∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：．
【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点．
24．（1）；（2），见解析
【分析】（1）从两个角度去思考：一是序号与右边根式前面的整数的关系，二是这个整数与分数的分母之间的关系，确定好规律好，问题自然得解；
（2）利用特殊与一般的关系推广即可
【详解】（1）∵右边根式前面的整数等于序号+1，分数的分母等于这个整数的平方减去1，
∴第⑤个式子：，
故答案为：；
（2）第个式子：.
证明如下：
=
=
=.
【点睛】本题考查了二次根式背景下的规律探索问题，准确找出序号与右边根式前面的整数的关系，这个整数与分数的分母之间的关系是解题的关键．
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