17.1勾股定理同步练习 （含解析）
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17.1勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8 ，7 D．8，39，40
2．如图，将长为16cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升至点C，橡皮筋被拉长了4cm，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．2
3．如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为SA、SB、SC、SD、SE、SF，则下列各式正确的有（ ）个.
① SA+SB+SC+SD=49；② SE+SF=49；③ SA+SB+SF=49；④ SC+SD+SE=49
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，以AC为边向外作正方形ACEF，则正方形ACEF的面积为（ ）
A．64cm2 B．60cm2 C．48cm2 D．16cm2
5．如图，在中，则三条边长之间的数量关系满足( )
A． B． C． D．
6．如图，在中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图①，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了图②，如果继续“生长”下去 ，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2 014次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )
A．2 012 B．2 013 C．2 014 D．2 015
8．在中，，，则点C到斜边的距离是（ ）
A． B． C．9 D．6
9．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．8，15，17 C．6，8，10 D．5，12，13
10．下列四组数，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，，3 D．5，12，13
11．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
12．如图，某学校有一块长方形花圃，有极少数人为了3m 路避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路"，踩伤了花草，而他们仅仅少走路（假设2步为1米）（ ）
A．2步 B．4步 C．5步 D．10步
二、填空题
13．如图，在中，，D是上一点，连接，将沿翻折，点C的对应点落在平面内，连接．若，则的面积为 ．
14．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．
15．如图，中，，于D，平分，交于G，，，则 ．
16．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为5，则正方形、、、的面积之和为 ．
17．在中，，若，，则＝ ．
三、解答题
18．已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠B=90°，AB=400m，AD=1300m，CD=1200m，BC=300m，请计算种植草皮的面积．
19．在如图所示的正方形网格中，每个小方格的边长为 1，点 A、B、C 是格点．
（1）只用直尺（不带刻度）作出AB边上的高CH（保留作图痕迹）；
（2）只用直尺（不带刻度）作出AC边上的高BG（保留作图痕迹）．
20．随着共享单车与城市生活的深度融合，骑车绿色出行已成为市民日常．如图是某市公共自行车车桩的截面示意图如示，，，点B，C在上，，，．
(1)求的长；
(2)该市拟建A、B两类自行车位共100组，建A类车位每组需要3万元，建B类车位每组需要万元，若该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，则至少建A类自行车位多少组？
21．风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变仰角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级数学实践小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 ①测得水平距离的长为15米
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为米
根据勘测组的测量数据，完成下列任务：
(1)求出风筝离地面的垂直高度；
(2)如果想要风筝沿方向再上升12米，的长度不变，则应该再放出多少米线？
22．如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一所中学，，一辆行驶速度为的拖拉机从P沿公路前行．
(1)假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响，则拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离是多少？
(2)该学校受影响的时间为多少？
23．如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC．
（1）求证：CD＝DE；
（2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；
（3）若AD＝2，AE平分∠BAC，连接CE，请直接写出△CDE的周长．
24．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=6，D在线段BC上，E是线段AD的一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．
(1)如图1，求证：△AEC≌△BFC．
(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若AF＝2，求BF的长；
(3)如图3，若∠BAD＝15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE=30°时，求△CDF的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C C B D A A D
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a+b=c时，则三角形为直角三角形．
【详解】A. 8+15=17，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；
B. 4+5≠6，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C. 5+7≠8，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D. 8+39≠40，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误．
故选A.
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握计算公式.
2．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，线段中点的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据线段中点的定义和等腰三角形的性质，可求出的长，再由勾股定理可求出．
【详解】解：中，，
，
，
，
故选：C．
3．D
【分析】如下图,根据勾股定理得a2+b2=e2、c2+d2=f2、e2+f2=g2,即a2+b2+c2+d2 =g2即可解题.
【详解】解：如下图,设正方形的边长分别为a、b、c、d、e、f、g,
根据正方形的面积公式等于边长的平方,
∴四边形A的面积是a2,四边形B的面积是b2,
a、b是对应直角三角形的直角边,根据勾股定理,则有a2+b2=e2;
同理,四边形C的面积是c2,四边形D的面积是d2,
c、d是对应直角三角形的直角边,根据勾股定理,则有c2+d2=f2;
根据正方形的对边相等,e、f就是下面大直角三角形的直角边,根据勾股定理,得到e2+f2=g2,
∵g是最大的正方形边长为7cm,
∴正方形A、B、C、D面积之和为7×7=49平方厘米.
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,利用图形找到直角边和正方形的边长之间的关系是解题关键.
4．C
【分析】先根据直角三角形的性质求出BC的长，再由勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，
∴BC=AB=4（cm），
∴AC=（cm），
∵四边形ACEF是正方形，
∴S正方形ACEF=AC2=48（cm2）．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理和直角三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
5．C
【分析】根据勾股定理定理直接进行解答即可.
【详解】∵∠A=90°，
∴b2+c2=a2，
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的内家“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”是解题的关键.
6．B
【分析】先连接CF，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∠BAC＝60°，
∴EB=EC，∠BAD＝30°，
∴BD=AB=4，
∴AD=，
当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=4，
∴EF+BE的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
7．D
【分析】求出每一次生长后所生长出的四边形面积，找出变化规律，计算出所有四边形的面积．
【详解】如图，
第一次生长后长出的四边形面积为SA+SB=1；
第二次生长后长出的四边形面积为SD+SC+SE+SF=1；
第三次生长后长出的四边形面积为：1；
第四次生长后长出的四边形面积为：1；
…
“生长”了2014次后形成的图形中，所有的正方形的面积和是1×2014+1=2015．
故选D．
【点睛】考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
8．A
【分析】本题考查勾股定理．勾股定理求出的长，等积法求出点C到斜边的距离即可．
【详解】解：设点C到斜边的距离h，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9．A
【分析】根据勾股数的定义，即满足且都是正整数的一组数，判断即可；
【详解】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数，符合题意；
B、82+152＝172，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股数的判定，准确判断是解题的关键．
10．D
【分析】先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵12＋22≠32，
∴1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、∵32＋22≠42，
∴4，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴1，，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵52＋122＝132，
∴5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数和算术平方根，能熟记勾股数的意义是解此题的关键．
11．B
【分析】过点作，由勾股定理得，，继而证明当在同一条直线上，且时，的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的长即可解题.
【详解】解：∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，
过点作，
由勾股定理得，
当在同一条直线上，且时，
的值最小为
△ABC中，AB=AC=10，
由等腰三角形两腰上的高相等
中，
的值最小为，
故选：B.
【点睛】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
12．B
【分析】根据勾股定理，可得答案．
【详解】由题图可知，在中，根据勾股定理，得，
所以m，
所以少走了（步）.
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．
13．
【分析】本题考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质，连接，过A点作交延长线于M，由，可知，再由折叠可得，由，求出，则，求出，所以，即可求．
【详解】解：连接，过A点作交延长线于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．40
【分析】根据题意可得：海里，海里，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：海里，海里，，
，
在中，
，
∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile,
故答案为：40．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．//4.2
【分析】连接，先证明，得，再计算和的长，根据面积法可得的长，由勾股定理计算的长，最后由线段的差可得结论．
【详解】如图，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明三角形全等得是解题的关键．
16．
【分析】如图，先由最大正方形的边长为5得出，，再根据勾股定理的几何意义得，，，，由此得出答案．
【详解】解：如图，
最大正方形的边长为5，
，
根据勾股定理的几何意义得：，，，
．
故答案为：25．
【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，掌握直角三角形斜边构成的正方形面积等于两直角边构成的正方形面积之和是解题的关键．
17．17
【分析】根据直角三角形中，勾股定理：，即可求出的值．
【详解】解：如图可知，所对应的边为直角三角形的斜边
∵，
∴
∴
∴
故答案为：17．
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．
18．种植草皮的面积为360000m
【详解】分析：连接AC,利用勾股定理求出AC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ACD是直角三角形，然后利用三角形面积公式即可求解.
详解：如图所示，连接AC,
∵∠B=90°，AB=400m，BC=300m ，
∴AC=（m），
在△ACD中，AD=1300m，CD=1200m，
，，
∴∠ACD=90°
∴ =360000（）.
答：种植草皮的面积为360000m
点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理.利用辅助线将四边形转化成两个直角三角形是解题的关键.
19．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）结合网格特点和三角形高的概念作图可得；
（2）结合网格特点和三角形高的概念作图可得；
【详解】（1）
（2） 或
【点睛】本题考查学生的作图能力，充分合理利用网格的特点、三角形高的概念以及与勾股定理结合进行作图是解题的关键．
20．(1)
(2)至少建A类自行车位组．
【分析】（1）过点C作于M，利用勾股定理求解即可；
（2）设至少建A类自行车位x组，根据该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：过点C作于M，
因为，，
所以四边形是矩形，
所以
因为，
所以，
（2）解：设至少建A类自行车位x组，根据题意列不等式得，
，
解得，，
所以，至少建A类自行车位组．
【点睛】本题考查了勾股定理和一元一次不等式，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形求线段长，把握题目中的不等关系，列出不等式．
21．(1)
(2)应该再放出8米线
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）用勾股定理求出米即可得到答案；
（2）设应该再放出x米线，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米，
由题意得，米，
∴米，
∴风筝离地面的垂直高度为米；
（2）解：设应该再放出x米线，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：应该再放出8米线．
22．(1)拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离为；
(2)受影响的时间为．
【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识．
（1）过点A作，垂足为B，可以求得；
（2）以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，然后利用勾股定理得到和的长，进一步计算求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作，垂足为B，则就是拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离，
∵，，
∴，
答：拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离为；
（2）解：以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，
∴，
在中，
，
∴ ．
，
．
∴受影响的时间为．
23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质证明出，再证明，即可证得；
（2）由（1）中全等的结论，通过等量代换即可证得；
（3）过点E作，垂足为G，设，则，用角平分线的性质和勾股定理用x表示出BD，再利用等腰三角形的性质得出即可求出x，即可求出周长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴CD＝DE；
（2），理由如下：
如图，延长AE，交BC于点F，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）过点E作，垂足为G，如图，
设，则，
∵AE平分∠BAC，
∴，
由上述证明得
∴，
∴,
∴，
∴，
又∵，
∴，解得，
∴的周长．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，解题关键是掌握相关定理．
24．(1)见解析
(2)2
(3)3
【分析】（1）如图1中，根据SAS证明△AEC≌△BFC（SAS）即可．
（2）利用全等三角形的性质，证明∠ACD＝∠DFB＝90°，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图3中，作FH⊥BC于H．证明△BCF是底角为30°的等腰三角形，求出CF，CD，FH，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵△ACB，△ECF都是等腰三角形，
∴CA＝CB，CE＝CF，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△AEC≌△BFC（SAS），
（2）解：如图2中，
∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝，
∵△ACE≌△BCF，
∴∠CAD＝∠DBF，
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠ACD＝∠DFB＝90°，
∴BF＝．
（3）解：如图2中，作FH⊥BC于H．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴AE＝EC，
∵△ACE≌△BCF，
∴BF＝AE，CF＝CE，
∴CF＝BF，∠FCB＝∠CBF＝30°，
∵FC＝FB，FH⊥BC，
∴CH＝BH＝3，FH＝，
∴，
∵∠CED＝∠CAE+∠ACE＝60°，∠ECD＝90°﹣30°＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴EC＝CF＝CD＝，
∴S△CDF＝×CD×FH＝＝3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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17.1勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8 ，7 D．8，39，40
2．如图，将长为16cm的橡皮筋放置在水平桌面上，固定两端A和B，然后把中点P垂直向上拉升至点C，橡皮筋被拉长了4cm，则的长为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．2
3．如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为SA、SB、SC、SD、SE、SF，则下列各式正确的有（ ）个.
① SA+SB+SC+SD=49；② SE+SF=49；③ SA+SB+SF=49；④ SC+SD+SE=49
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，以AC为边向外作正方形ACEF，则正方形ACEF的面积为（ ）
A．64cm2 B．60cm2 C．48cm2 D．16cm2
5．如图，在中，则三条边长之间的数量关系满足( )
A． B． C． D．
6．如图，在中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图①，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了图②，如果继续“生长”下去 ，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2 014次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )
A．2 012 B．2 013 C．2 014 D．2 015
8．在中，，，则点C到斜边的距离是（ ）
A． B． C．9 D．6
9．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．8，15，17 C．6，8，10 D．5，12，13
10．下列四组数，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，，3 D．5，12，13
11．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
12．如图，某学校有一块长方形花圃，有极少数人为了3m 路避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路"，踩伤了花草，而他们仅仅少走路（假设2步为1米）（ ）
A．2步 B．4步 C．5步 D．10步
二、填空题
13．如图，在中，，D是上一点，连接，将沿翻折，点C的对应点落在平面内，连接．若，则的面积为 ．
14．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时12 n mile的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时16 n mile的速度沿北偏西方向航行．2小时后，“远航”号、“海天”号分别位于M，N处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 n mile．
15．如图，中，，于D，平分，交于G，，，则 ．
16．如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为5，则正方形、、、的面积之和为 ．
17．在中，，若，，则＝ ．
三、解答题
18．已知某经济开发区有一块四边形空地ABCD，如图所示，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠B=90°，AB=400m，AD=1300m，CD=1200m，BC=300m，请计算种植草皮的面积．
19．在如图所示的正方形网格中，每个小方格的边长为 1，点 A、B、C 是格点．
（1）只用直尺（不带刻度）作出AB边上的高CH（保留作图痕迹）；
（2）只用直尺（不带刻度）作出AC边上的高BG（保留作图痕迹）．
20．随着共享单车与城市生活的深度融合，骑车绿色出行已成为市民日常．如图是某市公共自行车车桩的截面示意图如示，，，点B，C在上，，，．
(1)求的长；
(2)该市拟建A、B两类自行车位共100组，建A类车位每组需要3万元，建B类车位每组需要万元，若该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，则至少建A类自行车位多少组？
21．风筝能够飞行的主要原因就是风力会产生一个向上的分力，风对风筝产生的作用力是垂直于风筝向上的，而线产生的拉力是斜向下的，这样就有可能达到受力平衡，风筝就可以稳定的飞在天上．“风大放线，风小收线”，其实说的就是通过调整拉力的大小来改变仰角，这样风筝就可以稳定的飞行了．某校八年级数学实践小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 ①测得水平距离的长为15米
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为米
根据勘测组的测量数据，完成下列任务：
(1)求出风筝离地面的垂直高度；
(2)如果想要风筝沿方向再上升12米，的长度不变，则应该再放出多少米线？
22．如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一所中学，，一辆行驶速度为的拖拉机从P沿公路前行．
(1)假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响，则拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离是多少？
(2)该学校受影响的时间为多少？
23．如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC．
（1）求证：CD＝DE；
（2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；
（3）若AD＝2，AE平分∠BAC，连接CE，请直接写出△CDE的周长．
24．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=6，D在线段BC上，E是线段AD的一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．
(1)如图1，求证：△AEC≌△BFC．
(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若AF＝2，求BF的长；
(3)如图3，若∠BAD＝15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE=30°时，求△CDF的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C C B D A A D
题号 11 12
答案 B B
1．A
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a+b=c时，则三角形为直角三角形．
【详解】A. 8+15=17，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确；
B. 4+5≠6，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C. 5+7≠8，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D. 8+39≠40，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误．
故选A.
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握计算公式.
2．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，线段中点的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据线段中点的定义和等腰三角形的性质，可求出的长，再由勾股定理可求出．
【详解】解：中，，
，
，
，
故选：C．
3．D
【分析】如下图,根据勾股定理得a2+b2=e2、c2+d2=f2、e2+f2=g2,即a2+b2+c2+d2 =g2即可解题.
【详解】解：如下图,设正方形的边长分别为a、b、c、d、e、f、g,
根据正方形的面积公式等于边长的平方,
∴四边形A的面积是a2,四边形B的面积是b2,
a、b是对应直角三角形的直角边,根据勾股定理,则有a2+b2=e2;
同理,四边形C的面积是c2,四边形D的面积是d2,
c、d是对应直角三角形的直角边,根据勾股定理,则有c2+d2=f2;
根据正方形的对边相等,e、f就是下面大直角三角形的直角边,根据勾股定理,得到e2+f2=g2,
∵g是最大的正方形边长为7cm,
∴正方形A、B、C、D面积之和为7×7=49平方厘米.
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,中等难度,利用图形找到直角边和正方形的边长之间的关系是解题关键.
4．C
【分析】先根据直角三角形的性质求出BC的长，再由勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=8cm，
∴BC=AB=4（cm），
∴AC=（cm），
∵四边形ACEF是正方形，
∴S正方形ACEF=AC2=48（cm2）．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理和直角三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
5．C
【分析】根据勾股定理定理直接进行解答即可.
【详解】∵∠A=90°，
∴b2+c2=a2，
故选C.
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的内家“直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方”是解题的关键.
6．B
【分析】先连接CF，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，求得CF的长，即为FE+EB的最小值．
【详解】解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，∠BAC＝60°，
∴EB=EC，∠BAD＝30°，
∴BD=AB=4，
∴AD=，
当C、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=4，
∴EF+BE的最小值为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
7．D
【分析】求出每一次生长后所生长出的四边形面积，找出变化规律，计算出所有四边形的面积．
【详解】如图，
第一次生长后长出的四边形面积为SA+SB=1；
第二次生长后长出的四边形面积为SD+SC+SE+SF=1；
第三次生长后长出的四边形面积为：1；
第四次生长后长出的四边形面积为：1；
…
“生长”了2014次后形成的图形中，所有的正方形的面积和是1×2014+1=2015．
故选D．
【点睛】考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
8．A
【分析】本题考查勾股定理．勾股定理求出的长，等积法求出点C到斜边的距离即可．
【详解】解：设点C到斜边的距离h，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
9．A
【分析】根据勾股数的定义，即满足且都是正整数的一组数，判断即可；
【详解】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不是勾股数，符合题意；
B、82+152＝172，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
C、62+82＝102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股数的判定，准确判断是解题的关键．
10．D
【分析】先求出两小边的平方和和最长边的平方，看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵12＋22≠32，
∴1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、∵32＋22≠42，
∴4，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴1，，3不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、∵52＋122＝132，
∴5，12，13是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数和算术平方根，能熟记勾股数的意义是解此题的关键．
11．B
【分析】过点作，由勾股定理得，，继而证明当在同一条直线上，且时，的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等，在中，由勾股定理解得的长即可解题.
【详解】解：∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，
过点作，
由勾股定理得，
当在同一条直线上，且时，
的值最小为
△ABC中，AB=AC=10，
由等腰三角形两腰上的高相等
中，
的值最小为，
故选：B.
【点睛】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
12．B
【分析】根据勾股定理，可得答案．
【详解】由题图可知，在中，根据勾股定理，得，
所以m，
所以少走了（步）.
故选B.
【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理得出路的长是解题关键．
13．
【分析】本题考查勾股定理、轴对称的性质、平行线的性质，连接，过A点作交延长线于M，由，可知，再由折叠可得，由，求出，则，求出，所以，即可求．
【详解】解：连接，过A点作交延长线于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．40
【分析】根据题意可得：海里，海里，，从而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：海里，海里，，
，
在中，
，
∴此时“远航”号与“海天”号的距离为40n mile,
故答案为：40．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．//4.2
【分析】连接，先证明，得，再计算和的长，根据面积法可得的长，由勾股定理计算的长，最后由线段的差可得结论．
【详解】如图，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明三角形全等得是解题的关键．
16．
【分析】如图，先由最大正方形的边长为5得出，，再根据勾股定理的几何意义得，，，，由此得出答案．
【详解】解：如图，
最大正方形的边长为5，
，
根据勾股定理的几何意义得：，，，
．
故答案为：25．
【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，掌握直角三角形斜边构成的正方形面积等于两直角边构成的正方形面积之和是解题的关键．
17．17
【分析】根据直角三角形中，勾股定理：，即可求出的值．
【详解】解：如图可知，所对应的边为直角三角形的斜边
∵，
∴
∴
∴
故答案为：17．
【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．
18．种植草皮的面积为360000m
【详解】分析：连接AC,利用勾股定理求出AC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ACD是直角三角形，然后利用三角形面积公式即可求解.
详解：如图所示，连接AC,
∵∠B=90°，AB=400m，BC=300m ，
∴AC=（m），
在△ACD中，AD=1300m，CD=1200m，
，，
∴∠ACD=90°
∴ =360000（）.
答：种植草皮的面积为360000m
点睛：本题考查了勾股定理及其逆定理.利用辅助线将四边形转化成两个直角三角形是解题的关键.
19．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】（1）结合网格特点和三角形高的概念作图可得；
（2）结合网格特点和三角形高的概念作图可得；
【详解】（1）
（2） 或
【点睛】本题考查学生的作图能力，充分合理利用网格的特点、三角形高的概念以及与勾股定理结合进行作图是解题的关键．
20．(1)
(2)至少建A类自行车位组．
【分析】（1）过点C作于M，利用勾股定理求解即可；
（2）设至少建A类自行车位x组，根据该市建设A、B两类自行车位共投入资金不少于234万元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：过点C作于M，
因为，，
所以四边形是矩形，
所以
因为，
所以，
（2）解：设至少建A类自行车位x组，根据题意列不等式得，
，
解得，，
所以，至少建A类自行车位组．
【点睛】本题考查了勾股定理和一元一次不等式，解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形求线段长，把握题目中的不等关系，列出不等式．
21．(1)
(2)应该再放出8米线
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）用勾股定理求出米即可得到答案；
（2）设应该再放出x米线，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米，
由题意得，米，
∴米，
∴风筝离地面的垂直高度为米；
（2）解：设应该再放出x米线，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：应该再放出8米线．
22．(1)拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离为；
(2)受影响的时间为．
【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识．
（1）过点A作，垂足为B，可以求得；
（2）以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，然后利用勾股定理得到和的长，进一步计算求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作，垂足为B，则就是拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离，
∵，，
∴，
答：拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离为；
（2）解：以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，
∴，
在中，
，
∴ ．
，
．
∴受影响的时间为．
23．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质证明出，再证明，即可证得；
（2）由（1）中全等的结论，通过等量代换即可证得；
（3）过点E作，垂足为G，设，则，用角平分线的性质和勾股定理用x表示出BD，再利用等腰三角形的性质得出即可求出x，即可求出周长．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴CD＝DE；
（2），理由如下：
如图，延长AE，交BC于点F，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）过点E作，垂足为G，如图，
设，则，
∵AE平分∠BAC，
∴，
由上述证明得
∴，
∴,
∴，
∴，
又∵，
∴，解得，
∴的周长．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，解题关键是掌握相关定理．
24．(1)见解析
(2)2
(3)3
【分析】（1）如图1中，根据SAS证明△AEC≌△BFC（SAS）即可．
（2）利用全等三角形的性质，证明∠ACD＝∠DFB＝90°，再利用勾股定理即可解决问题．
（3）如图3中，作FH⊥BC于H．证明△BCF是底角为30°的等腰三角形，求出CF，CD，FH，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵△ACB，△ECF都是等腰三角形，
∴CA＝CB，CE＝CF，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△AEC≌△BFC（SAS），
（2）解：如图2中，
∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝，
∵△ACE≌△BCF，
∴∠CAD＝∠DBF，
∵∠ADC＝∠BDF，
∴∠ACD＝∠DFB＝90°，
∴BF＝．
（3）解：如图2中，作FH⊥BC于H．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵∠BAD＝15°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴AE＝EC，
∵△ACE≌△BCF，
∴BF＝AE，CF＝CE，
∴CF＝BF，∠FCB＝∠CBF＝30°，
∵FC＝FB，FH⊥BC，
∴CH＝BH＝3，FH＝，
∴，
∵∠CED＝∠CAE+∠ACE＝60°，∠ECD＝90°﹣30°＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴EC＝CF＝CD＝，
∴S△CDF＝×CD×FH＝＝3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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