17.2勾股定理的逆定理同步练习 （含解析）

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17.2勾股定理的逆定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各组数中，能组成直角三角形的是（ ）
A．3，5，3 B．4，6，8 C．6，12，13 D．8，15，17
2．下列说法不正确的是（　　）
A．中，若，则是直角三角形
B．中，若，则是直角三角形
C．的三边之比是5：12：13，则是直角三角形
D．中，若，则不是直角三角形
3．的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．以下列各组数为边长能构成直角三角形的是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．在下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．在如图三角形中，，那么三角形的形状为（ ）三角形．
A．等边 B．锐角 C．直角 D．钝角
7．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）
A．6、12、14 B．6、8、10 C．4、6、8 D．3、5、3
8．在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1, B．9，40，41 C．2，3， D．
9．给出下列几组数：①6，7，8；②8，15，6；③﹣1，2n，+1；④+1，﹣1，．其中能组成直角三角形的三条边长是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
10．三角形边长分别为下列各数，其中能围成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6 B．5，6，7 C．6，8，9 D．5，12，13
11．若三角形的三边长为下列各组数：①5，12，13；②11，12，15；③9，40，41；④15，20，25，则其中直角三角形有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
12．下列各组数中，不是直角三角形的三条边的长的是（ ）
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．4，5，6
二、填空题
13．已知的三边为a、b、c，若，，，则的周长为 ，面积为 ，的最长边上的高为 ．
14．在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，则△ABC的周长为 ．
15．若三角形的三边之比为，则此三角形为 三角形．
16．如图，在中，已知是的高线，则长为 ．
17．如图，一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝米，米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和BC、BD是否都垂直 ？（填“是”或“否”）
三、解答题
18．计算：如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上．

(1)请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由；
(2)求点C到边的距离．
19．（1）尺规作图：如图1，在四边形ABCD内找一点P，使得点P到的距离相等，并且点P到点A、D的距离也相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
①在图2中以格点为顶点画一个面积为13的正方形；
②如图3，点A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为______°．
20．如图，社区有一块面积为的正方形空地，空地的B处有一个凉亭，，为两条小路，现在内种植月季花，其余地方种植郁金香，测得，．
(1)求正方形空地的边的长；
(2)求的大小；
(3)求郁金香的种植面积．
21．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由．
22．如图所示的一块地，已知米，米，，米，米，求这块地的面积．
23．如图，在四边形中，，，，，连接，求证：．
24．如图，在中，过点A作于点D，点E在线段上，且．已知，，．
(1)求线段的长；
(2)求证：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B D B B D D D
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握运用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法：①先确定最长边，②分别计算最长边平方和另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形是解题的关键．
【详解】解：．∵，∴不能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
．∵，∴不能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
．∵，∴不能组成直角三角形，故该选项不符合题意；
．∵ ，∴能组成直角三角形，故该选项符合题意；
故选：D．
2．D
【分析】根据直角三角形的判定方法即可判断．
【详解】解：A. △ABC中，若∠A -∠B=∠C，故∠C+∠B =∠A=90°，则△ABC是直角三角形，正确；
B. △ABC中，若a2= b2- c2，故a2+c2= b2，则△ABC是直角三角形，正确；
C. △ABC中，若a:b:c=5:12:13，故a2+b2= c2，则△ABC是直角三角形，正确；
D. △ABC中，若a2+b2≠c2，则不能判断△ABC是不是直角三角形，错误；
故选：D．
【点睛】此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知勾股定理的应用与角度的计算．
3．C
【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可．
【详解】解：、，此时只为等腰角三角形，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，，
，，
不能确定为直角三角形，故本选项不符合题意；
、，
，
即为直角三角形，故本选项符合题意；
、，，
，
即为锐角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．
4．B
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【详解】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形时直角三角形，由此进行判断即可.
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、令a=m，则b=m，c=2m（m为正数），，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意.
故选D.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理.
6．B
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的分类，令，根据已知，利用勾股定理得出，据此可判定，即可得出答案．
【详解】解：如图，令，
，，
，
三角形的形状为锐角三角形，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理依次进行计算即可得．
【详解】解：A、 ，故该项错误；
B、 ，故该项正确；
C、 ，故该项错误；
D、 ，故该项错误；
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，是基础知识，比较简单．利用勾股定理的逆定理判定三角形是否是直角三角形．
【详解】解：A、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，根据勾股定理，不是直角三角形，故本选符合题意．
故选：D．
9．D
【详解】试题分析：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．①≠，故不是直角三角形，故错误；②≠，故不是直角三角形，故错误；③，故是直角三角形，故正确；④，故是直角三角形，故正确．正确的是③④．
考点：勾股定理的逆定理
10．D
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：A、∵32＋42≠62，
∴以3，4，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵52＋62≠72，
∴以5，6，7为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵62＋82≠92，
∴以6，8，9为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52＋122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
11．C
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【详解】①∵52+122＝169＝132，∴能组成直角三角形，故本选项正确；
②∵112+122＝265≠152＝225，∴不能组成直角三角形，故本选项错误；
③92+402＝1681＝412，∴能组成直角三角形，故本选项正确；
④152+202＝625＝252，∴能组成直角三角形，故本选项正确．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
12．D
【分析】根据勾股定理即可判断.
【详解】A.∵ 32+42=52，故为直角三角形；
B. 62+82=102，故为直角三角形；
C. 52+122=132，故为直角三角形；
D. 42+52≠62，故不是直角三角形；
故选D.
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质.
13． 12 6 2.4
【分析】利用，得出，然后进一步即可得出，结合可得出该三角形为直角三角形，进一步计算可得出相应的周长及面积，然后利用“等面积法”即可得出该三角形最长边上的高，从而得出答案．
【详解】∵，，
∴，
即：，
∵为三角形边长，故都为正数，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故该三角形为直角三角形，且为直角边，为斜边，即最长的边，
∴周长=，面积=，
设最长边上的高为，
则：，
解得：，
故答案为：12，6，2.4．
【点睛】本题主要考查了直角三角形判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
14．36
【分析】在△ABD中，根据勾股定理的逆定理即可判断AD⊥BC，然后根据线段的垂直平分线的性质，即可得到AC＝AB，从而求解．
【详解】解：∵AD是中线，BC＝10，
∴BD＝BC＝5，
∵AB＝13，AD＝12，
∴52+122＝132，即BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB＝13，
∴△ABC的周长＝13+13+10＝36，
故答案为：36．
【点睛】本题考查三角形的中线、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键．
15．直角
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能熟记勾股定理的内容是解此题的关键．
【详解】解：三角形的三边之比为，
，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
16．
【分析】先证明△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求得CD的长．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=，
则，
∴CD=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的面积的计算方法及面积公式应用，关键是根据三角形的面积公式即可求得CD的长．
17．是
【分析】根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形即可解决问题．
【详解】，，，
,
电线杆和BC、BD都垂直，
故答案为：是
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，通过勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．
18．(1)不是，见解析；
(2)；
【分析】（1）根据勾股定理在网络图直角三角形中，求三角形三边的平方，根据勾股定理逆定理判断是否构成直角三角形；
（2）由面积法：运用组合图形求出三角形面积，利用三角形面积公式构建方程求解．
【详解】（1）不是；
如图，由勾股定理，
，，
∴
∴三角形不是直角三角形．

（2）如图，
∵
∴
设点C到边的距离为,则，解得
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，组合图形求面积，观察图形，确定合适的直角三角形运用勾股定理是解题的关键．
19．（1）画图见解析；（2）①画图见解析；②45
【分析】（1）点P到的距离相等，则点P在的角平分线上，点P到点A、D的距离也相等，则点P在线段的垂直平分线上，由此作图即可；
（2）①正方形的面积为13则其边长为，由此作图即可；②连接，利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形即可得到答案．
【详解】解：（1）如图1所示，作线段的垂直平分线与的角平分线交于点P，点P即为所求；
（2）①如图所示，四边形即为所求；
②如图所示，连接，
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，勾股定理和勾股定理的逆定理，等边对等角求角度等等，熟知相关知识是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)郁金香的种植面积为
【分析】（1）根据算术平方根的意义结合二次根式的性质计算即可．
（2）利用勾股定理的逆定理计算即可．
（3）利用面积公式计算即可．
本题考查了算术平方根的应用，勾股定理的逆定理，二次根式的性质和直角三角形的面积．熟练掌握算术平方根，勾股定理的逆定是解题的关键．
【详解】（1）∵正方形的面积为，
∴，
∴．
（2）∵，，．
∴，
∴，
∴．
（3）∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴郁金香的种植面积为.
21．能，原路线长为千米，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．由已知可得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到答案．
【详解】解：能；
，，
．
是直角三角形，且，
．
在中，
，
（千米）．
答：原路线长为千米．
22．这块地的面积为24米
【分析】考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用，关键是作出辅助线得到直角三角形．连接，利用勾股定理可以得出和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积．
【详解】解：连接．
由勾股定理可知
（米．
又，
是直角三角形，
故所求面积的面积的面积（米）．
答：这块地的面积为24米．
23．见解析
【分析】首先在中，利用勾股定理求出的长，求出，再根据勾股定理逆定理在中，证明是直角三角形，即可求解．
【详解】解：在中，
，
．
．
在中，，，，
则．
是直角三角形．
．
【点睛】此题考查了勾股定理以及逆定理的运用，解决问题的关键是能运用勾股定理解直角三角形和运用逆定理确定三角形的形状并求出角度．
24．(1)
(2)见解析
【分析】（1）设，，根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出x的长，从而求出的长；
（2）先在和中，利用勾股定理分别求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴
即的长为；
（2）证明：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理并灵活运用是解答的关键．
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