18.1平行四边形同步练习（含解析）
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
18.1平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，与交于点，，，，则的长是（ ）
A．6 B． C．4 D．
3．如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平行四边形中，，垂足分别为E、F；，平行四边形的周长为．下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．平行四边形的面积是 D．
5．已知四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180°
6．如图，□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，图中全等三角形有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
9．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，则顶点D的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
10．在面积为的平行四边形中，．过点A作直线BC于E，作直线于F，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
11．若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
12．如图，在中，，平分交于E，，则（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
二、填空题
13．已知平行四边形ABCD的周长为18，AB＝4，则BC的长为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6厘米，AD=9厘米，P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．设运动的时间为秒，则当 时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
15．在平行四边形ABCD中，∠B=55°，那么∠D的度数是
16．如图所示，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝12cm2，S△BQC＝22cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
17．如图所示，AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB＝DC＝3，则BC＝ ．
三、解答题
18．（1）计算：；
（2）如图，在中，，分别是，的中点，连接，求证：．
19．如图所示，的顶点在的网格中的格点上．
(1)画出绕点A逆时针旋转得到的；
(2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形．
20．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
21．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围．
(1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程．
(2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围．
(3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________．
(4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______．
22．如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道，交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：
(1)若，你能判断的形状吗？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且（点M与点O，B不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积．
(3)若将该区域扩大，如图3，此时，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值．
23．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（－2，0），C点坐标为（0，－1）．
（1）AC的长为______；
（2）求证：AC⊥BC；
（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，画出平行四边形，并写出D点的坐标______．
24．如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D B B C B A B
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】根据平行四边形的对边平行和平行线的性质即可一一判断．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对边相等，对角相等）故B、C正确．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BC，
∠1=∠2，故A正确，
故只有∠1=∠3错误，
故选：D．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对边平行．
2．D
【分析】根据平行四边形的性质可知OB＝OD＝2，在直角△AOD中利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OB＝2，
∴OD＝2，
∵∠ODA＝90°，OA＝6，
∴在Rt△AOD中，AD＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
3．C
【分析】先根据平行四边形的性质得到，，，再利用平行线的性质和角平分线的定义得到，进而求得即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵平分，
∴，则，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的形、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定，证得是解答的关键．
4．D
【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为20，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以4即为平行四边形的面积；再利用勾股定理通过计算求得的长，即可判断．
【详解】解：∵平行四边形的周长为，
∴，
设为x，
∵，
∴，解得，
即，，故选项A、B正确，不符合题意；
∴平行四边形的面积是，故选项C正确，不符合题意；
在中，，
∴，
在中，，
∴，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，主要利用了平行四边形的对边相等．
5．B
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，逐项判断即可．
【详解】解： A.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断；
B. 根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断是平行四边形；
C. 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；可判断；
D. ∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；可判断；
故选B．
【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
6．B
【分析】根据平行四边形的性质，结合题目所给条件即可作出判断．
【详解】全等的三角形有：△ADE≌△CBF，△DEB≌△BFD，△ADB≌△CBD，共3对．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，注意平行四边形的对边相等且对边平行．
7．C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先得到，，为平行四边形，然后根据对边相等得到图形的周长为解题即可．
【详解】解：延长，交，于点G，H，
∵，，
∴四边形，，为平行四边形，
∴，，
∴图形的周长为，
∴需要知道的长即可，
故选：C．
8．B
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6．5，最小值是2．5，可解答．
【详解】解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为6．5．
∵∠A＝90，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2．5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查图形与坐标和平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键．
如图：根据平行四边形对边平行且相等的性质可得，进而确定点C和点D纵坐标相同，再根据两点之间的距离列方程即可解答．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∵平行四边形，
∴，
∴轴，
∴点C和点D纵坐标相同，即为3；
又∵，点，
∴ ，
∴点D坐标为．
故选A．
10．B
【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形的面积公式以及勾股定理，分别求出的长，再进行计算即可．
【详解】解：如图，平行四边形中，，
∴，
∵，
∴平行四边形的面积，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和勾股定理．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据题意，正确的画出图形．
11．C
【分析】本题考查中垂线的定义和三角形的中位线定理．如图，垂直平分，则，为的中点，再根据为的中点，得到为的中位线，得到，进而得到，即可得出结论．
【详解】解：如图，垂直平分，交于，交于点，
则：，为的中点，
由题意，得：为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
故选C．
12．D
【分析】先根据平行四边形的性质得出，从而得到，再由角平分线的性质得出，从而得出，再根据等腰三角形的性质与判定进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质和等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
13．5
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=18，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=18，
∴BC=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
14．2或3/3或2
【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形ABQP是平行四边形；根据题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，由AP=BQ得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP， 根据题意，得AP=x厘米，CQ=2x厘米， 则PD=（9-x）厘米，由AP=BQ得出方程，解方程即可．
【详解】解：①设经过t秒四边形ABQP是平行四边形，
根据题意，得AP=t厘米，CQ=2t厘米， 则BQ=（6-2t）厘米，
∵，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t， 解得t=2，
即经过2秒四边形ABQP为平行四边形；
②设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP，
根据题意，得AP=x厘米，CQ=2x厘米， 则PD=（9-x）厘米，
∵，
∴当CQ=PD时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2x=9-x， 解得x=3．
综上，经过2秒或3秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
故答案为：2或3
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解．
15．125°
【详解】试题分析：根据平行四边形的对角相等，邻角互补，所以∠B+∠D=180°，∠D=180°-∠B=125°.
考点：平行四边形的性质
16．34
【分析】作出辅助线，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
【详解】如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF=S△DEF，
即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF，
即S△APD=S△EPF=12cm2，
同理可得S△BQC=S△EFQ=22cm2，
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=12+22=34cm2
故答案为：34
【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于进行等量代换．
17．3
【详解】试题解析：平分
又
四边形为平行四边形，
故答案为
18．（1）；（2）见解析
【分析】（1）先化简二次根式、负整数指数幂和去绝对值，然后计算加减即可得到答案；
（2）由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，即可得证．
【详解】（1）解：
；
（2）证明：在中，，
，
分别是，的中点，
是的中位线，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂、化简绝对值、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由题意可知旋转中心、旋转角、旋转方向，根据旋转的画图方法作图即可；
（2）如图有三种情况，构造平行四边形即可.
【详解】解：（1）如图即为所求
（2）如图，D、D’、D’’均为所求.
【点睛】本题考查了图形的旋转及中心对称图形，熟练掌握作旋转图形的方法及中心对称图形的定义是解题的关键.
20．(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．
（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
21．(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征即可得到．
【详解】（1）解：如图，取边上的中点，连接，
为中点，为中点，
，
，，
，，
在中，，
即．
（2）解：如图，连接，取中点，连接、，
又、分别为、中点，
，，
，，
，，
在中，，
即．
（3）解：如图，连接，取中点，连接、，
又、分别为、中点，
，，
，，
，，
在中，，
即．
故答案为：．
（4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，
，点是中点，点是的中点，
，，，，
，，
，
，
，
正好平分的周长，
，
又，点是中点，
，
，
又，，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、三角形三边关系、等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理解三角形的三边关系．
22．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)
(3)万元
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，进而可得，则是等腰三角形；
（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；
（3）如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，，同理可得，求出，进而推出当三点共线时，最小，即最小，最小值为，由勾股定理得，则，据此求解即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
过点作于点，
，
，
，
；
．
种植马鞭草区域的面积为．
（3）解：如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴修建这三条绿道投入资金的最小值为万元．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键．
23．（1）；（2）证明见解析；（3）画图见解析，（0，4），（4，2），（－4，－4）．
【分析】（1）根据A点与C点的坐标，应用两点间的距离公式求解即得；
（2）先根据两点的距离公式分别计算AC、AB和BC的长度的平方，在根据勾股定理逆定理证明即得；
（3）分别以AC、AB和BC为对角线即可画出平行四边形．
【详解】（1）解：∵A（2，3），C（0，－1）
∴AC＝
故答案为：；
（2）证明：∵A（2，3），B（－2，0），C（0，－1）
∴BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，AC2＝20，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵
∴AC⊥BC；
（3）如图所示：
当AB为平行四边形对角线时，D点的坐标（0，4）；
当AC为平行四边形对角线时，D点的坐标（4，2）；
当BC为平行四边形对角线时，D点的坐标（－4，－4）．
故答案为：（0，4），（4，2），（－4，－4）．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理及平行四边形的判定，应用两点间的距离公式求解边长是解直角坐标系内边长问题的关键，勾股定理逆定理是判定直角三角形的常用方法，平行四边形的构造情况按照对角线进行分类能有效避免遗漏某种情况．
24．(1)平行四边形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线定理结合题意可得出，，即判定四边形为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得出，再根据等边三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴．
∵为的中点，三角形为等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握等边三角形“三线合一”的性质和特殊四边形的判定和性质是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
18.1平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，与交于点，，，，则的长是（ ）
A．6 B． C．4 D．
3．如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平行四边形中，，垂足分别为E、F；，平行四边形的周长为．下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．平行四边形的面积是 D．
5．已知四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AD∥BC D．∠A+∠B＝180°
6．如图，□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，图中全等三角形有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
8．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
9．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，则顶点D的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
10．在面积为的平行四边形中，．过点A作直线BC于E，作直线于F，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
11．若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
12．如图，在中，，平分交于E，，则（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
二、填空题
13．已知平行四边形ABCD的周长为18，AB＝4，则BC的长为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6厘米，AD=9厘米，P、Q分别从A、C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，Q以2厘米/秒的速度由C向B运动．设运动的时间为秒，则当 时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
15．在平行四边形ABCD中，∠B=55°，那么∠D的度数是
16．如图所示，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝12cm2，S△BQC＝22cm2，则阴影部分的面积为 cm2．
17．如图所示，AC平分∠BAD，∠1＝∠2，AB＝DC＝3，则BC＝ ．
三、解答题
18．（1）计算：；
（2）如图，在中，，分别是，的中点，连接，求证：．
19．如图所示，的顶点在的网格中的格点上．
(1)画出绕点A逆时针旋转得到的；
(2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形．
20．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
21．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围．
(1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程．
(2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围．
(3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________．
(4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______．
22．如图1所示，平行四边形是苏州乐园某主题区域的平面示意图，A，B，C，D分别是该区域的四个入口，两条主干道，交于点O，请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：
(1)若，你能判断的形状吗？请说明理由．
(2)在（1）的条件下，如图2，乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且（点M与点O，B不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植花期长久的马鞭草，求种植马鞭草区域的面积．
(3)若将该区域扩大，如图3，此时，修建（2）中的绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值．
23．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为（2，3），B点坐标为（－2，0），C点坐标为（0，－1）．
（1）AC的长为______；
（2）求证：AC⊥BC；
（3）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，画出平行四边形，并写出D点的坐标______．
24．如图，等边三角形的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，．
(1)请判断四边形的形状，并说明理由；
(2)求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D B B C B A B
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】根据平行四边形的对边平行和平行线的性质即可一一判断．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，（平行四边形的对边相等，对角相等）故B、C正确．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BC，
∠1=∠2，故A正确，
故只有∠1=∠3错误，
故选：D．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对边平行．
2．D
【分析】根据平行四边形的性质可知OB＝OD＝2，在直角△AOD中利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OB＝2，
∴OD＝2，
∵∠ODA＝90°，OA＝6，
∴在Rt△AOD中，AD＝．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．
3．C
【分析】先根据平行四边形的性质得到，，，再利用平行线的性质和角平分线的定义得到，进而求得即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵平分，
∴，则，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的形、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定，证得是解答的关键．
4．D
【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为20，设为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得长，乘以4即为平行四边形的面积；再利用勾股定理通过计算求得的长，即可判断．
【详解】解：∵平行四边形的周长为，
∴，
设为x，
∵，
∴，解得，
即，，故选项A、B正确，不符合题意；
∴平行四边形的面积是，故选项C正确，不符合题意；
在中，，
∴，
在中，，
∴，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，主要利用了平行四边形的对边相等．
5．B
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，逐项判断即可．
【详解】解： A.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断；
B. 根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断是平行四边形；
C. 根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；可判断；
D. ∵∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形；可判断；
故选B．
【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
6．B
【分析】根据平行四边形的性质，结合题目所给条件即可作出判断．
【详解】全等的三角形有：△ADE≌△CBF，△DEB≌△BFD，△ADB≌△CBD，共3对．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，注意平行四边形的对边相等且对边平行．
7．C
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先得到，，为平行四边形，然后根据对边相等得到图形的周长为解题即可．
【详解】解：延长，交，于点G，H，
∵，，
∴四边形，，为平行四边形，
∴，，
∴图形的周长为，
∴需要知道的长即可，
故选：C．
8．B
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6．5，最小值是2．5，可解答．
【详解】解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为6．5．
∵∠A＝90，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2．5，
∴EF长度的可能为5；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查图形与坐标和平行四边形的性质，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键．
如图：根据平行四边形对边平行且相等的性质可得，进而确定点C和点D纵坐标相同，再根据两点之间的距离列方程即可解答．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∵平行四边形，
∴，
∴轴，
∴点C和点D纵坐标相同，即为3；
又∵，点，
∴ ，
∴点D坐标为．
故选A．
10．B
【分析】根据题意画出图形，利用平行四边形的面积公式以及勾股定理，分别求出的长，再进行计算即可．
【详解】解：如图，平行四边形中，，
∴，
∵，
∴平行四边形的面积，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和勾股定理．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，根据题意，正确的画出图形．
11．C
【分析】本题考查中垂线的定义和三角形的中位线定理．如图，垂直平分，则，为的中点，再根据为的中点，得到为的中位线，得到，进而得到，即可得出结论．
【详解】解：如图，垂直平分，交于，交于点，
则：，为的中点，
由题意，得：为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
故选C．
12．D
【分析】先根据平行四边形的性质得出，从而得到，再由角平分线的性质得出，从而得出，再根据等腰三角形的性质与判定进行求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质和等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
13．5
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，根据2（AB+BC）=18，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=18，
∴BC=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能利用平行四边形的性质进行计算是解此题的关键．
14．2或3/3或2
【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形ABQP是平行四边形；根据题意得：AP=tcm，CQ=2tcm，由AP=BQ得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP， 根据题意，得AP=x厘米，CQ=2x厘米， 则PD=（9-x）厘米，由AP=BQ得出方程，解方程即可．
【详解】解：①设经过t秒四边形ABQP是平行四边形，
根据题意，得AP=t厘米，CQ=2t厘米， 则BQ=（6-2t）厘米，
∵，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t， 解得t=2，
即经过2秒四边形ABQP为平行四边形；
②设经过x秒直线PQ将四边形ABCD截出另一个平行四边形DCQP，
根据题意，得AP=x厘米，CQ=2x厘米， 则PD=（9-x）厘米，
∵，
∴当CQ=PD时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2x=9-x， 解得x=3．
综上，经过2秒或3秒直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
故答案为：2或3
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解．
15．125°
【详解】试题分析：根据平行四边形的对角相等，邻角互补，所以∠B+∠D=180°，∠D=180°-∠B=125°.
考点：平行四边形的性质
16．34
【分析】作出辅助线，因为△ADF与△DEF同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解．
【详解】如图，连接EF
∵△ADF与△DEF同底等高，
∴S△ADF=S△DEF，
即S△ADF-S△DPF=S△DEF-S△DPF，
即S△APD=S△EPF=12cm2，
同理可得S△BQC=S△EFQ=22cm2，
∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=12+22=34cm2
故答案为：34
【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于进行等量代换．
17．3
【详解】试题解析：平分
又
四边形为平行四边形，
故答案为
18．（1）；（2）见解析
【分析】（1）先化简二次根式、负整数指数幂和去绝对值，然后计算加减即可得到答案；
（2）由等腰三角形的性质可得，由三角形中位线定理可得，即可得证．
【详解】（1）解：
；
（2）证明：在中，，
，
分别是，的中点，
是的中位线，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂、化简绝对值、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由题意可知旋转中心、旋转角、旋转方向，根据旋转的画图方法作图即可；
（2）如图有三种情况，构造平行四边形即可.
【详解】解：（1）如图即为所求
（2）如图，D、D’、D’’均为所求.
【点睛】本题考查了图形的旋转及中心对称图形，熟练掌握作旋转图形的方法及中心对称图形的定义是解题的关键.
20．(1)见详解．
(2)13
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一性质知识，
（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得，．即可得到，．即可求证结论．
（2）过点A作，垂足为H，利用，可计算出的长度，结合（1）即可求出长度．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
21．(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征即可得到．
【详解】（1）解：如图，取边上的中点，连接，
为中点，为中点，
，
，，
，，
在中，，
即．
（2）解：如图，连接，取中点，连接、，
又、分别为、中点，
，，
，，
，，
在中，，
即．
（3）解：如图，连接，取中点，连接、，
又、分别为、中点，
，，
，，
，，
在中，，
即．
故答案为：．
（4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，
，点是中点，点是的中点，
，，，，
，，
，
，
，
正好平分的周长，
，
又，点是中点，
，
，
又，，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、三角形三边关系、等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理解三角形的三边关系．
22．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)
(3)万元
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，进而可得，则是等腰三角形；
（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；
（3）如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，，同理可得，求出，进而推出当三点共线时，最小，即最小，最小值为，由勾股定理得，则，据此求解即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
过点作于点，
，
，
，
；
．
种植马鞭草区域的面积为．
（3）解：如图所示，过点M作，过点A作交于P，则四边形是平行四边形，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴修建这三条绿道投入资金的最小值为万元．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的性质与判定，正确做出辅助线是解题的关键．
23．（1）；（2）证明见解析；（3）画图见解析，（0，4），（4，2），（－4，－4）．
【分析】（1）根据A点与C点的坐标，应用两点间的距离公式求解即得；
（2）先根据两点的距离公式分别计算AC、AB和BC的长度的平方，在根据勾股定理逆定理证明即得；
（3）分别以AC、AB和BC为对角线即可画出平行四边形．
【详解】（1）解：∵A（2，3），C（0，－1）
∴AC＝
故答案为：；
（2）证明：∵A（2，3），B（－2，0），C（0，－1）
∴BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，AC2＝20，
∴BC2＋AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵
∴AC⊥BC；
（3）如图所示：
当AB为平行四边形对角线时，D点的坐标（0，4）；
当AC为平行四边形对角线时，D点的坐标（4，2）；
当BC为平行四边形对角线时，D点的坐标（－4，－4）．
故答案为：（0，4），（4，2），（－4，－4）．
【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理及平行四边形的判定，应用两点间的距离公式求解边长是解直角坐标系内边长问题的关键，勾股定理逆定理是判定直角三角形的常用方法，平行四边形的构造情况按照对角线进行分类能有效避免遗漏某种情况．
24．(1)平行四边形，理由见解析
(2)
【分析】（1）由三角形中位线定理结合题意可得出，，即判定四边形为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可得出，再根据等边三角形“三线合一”的性质和勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下：
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴．
∵为的中点，三角形为等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．掌握等边三角形“三线合一”的性质和特殊四边形的判定和性质是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)