18.2特殊的平行四边形同步练习（含解析）

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18.2特殊的平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连接并延长交于点，连接，记的面积为，正方形的面积为S．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．3 D．2.5
3．如图，矩形中，对角线，交于点，若，，则长为（ ）

A． B．2 C．3 D．5
4．下列说法中正确的是 （ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
5．如图，有一张矩形纸条，，，点，分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点，分别落在点，上．在点从点运动到点的过程中，若边与边交于点，则点相应运动的路径长为（ ）
A． B． C． D．
6．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是矩形；③它是正方形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由①推出②，由②推出③ B．由②推出①，由②推出③
C．由①推出②，由③推出② D．由②推出①，由③推出②
7．如图，在菱中，点E是边上一点，，连接EC．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是矩形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是正方形
9．如图，直线，，分别过正方形的三个顶点、、且相互平行，若，的距离为2，，的距离为4，则正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．无法判断
10．正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线垂直
11．如图，矩形对角线、相交于点，点是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，若，，则的值为（ ）

A．5 B．4.8 C．2.4 D．2
12．如图，在正方形中，、分别为边、上一点，且，连接，，平分交于点，且点为中点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示，已知菱形的对角线、的长分别为12cm、16cm，于点，则的长是 cm．

14．如图．在矩形中，E，F，G，H 为矩形四边的中点，依次连接点 E，F，G，H．
（1）四边形 的形状是 ．
（2）若，则四边形的周长是 ．
15．如图，矩形的对角线、相交点，、分别为、的中点．若，，则的长是 ．
16．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号）
17．如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿 CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为 ．
三、解答题
18．如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点经过最低点，最终荡到最高点处，若，点A与点的高度差米，水平距离米，求点与点的高度差的长．
19．如图，是矩形的对角线．
(1)作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)设的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．
①直接写出四边形的形状： ；
②在①的条件下，若，，求四边形的边的长．
20．某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风管的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得的长度为8米；（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高米；（注：）
求风筝的垂直高度．
21．如图，某无人机爱好者在可放飞区域放飞无人机，当无人机飞到点A处时，无人机测得操控者所在位置点B的俯角为，测得某建筑物的顶端D的俯角为，操控者在点B处测得建筑物的顶端D的仰角为．已知点A，B，C，D，E在同一平面，无人机距地面的高度是32m．
(1)求操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长．（结果保留整数）
(2)设建筑物的高为h．
①用含有h的式子表示；
②求建筑物的高度：（结果保留整数）
参考数据取1.6，取0.9．
22．如图，有一张矩形纸条，，，点M，N分别在边，上，．现将四边形沿折叠，使点B，C分别落在点，上．
(1)当点恰好落在边上时，
①证明：是等腰三角形；
②求线段的长；
(2)点M从点A向点B运动的过程中，若线段与边交于点E，
①求此运动过程中，的最大值；
②请直接写出点E相应运动的路径长．
23．如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：
（1）在图1中，连接，且
①求证：与互相平分；
②求证：；
（2）在图2中，当，其它条件不变时，是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.
（3）在图3中，当，，时，求之长.
24．如图，在矩形中，，动点P在边上，连接，将沿所在的直线翻折得到，延长交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D A D B C A B
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】
本题主要考查了正方形．正方形的性质，等腰直角三角形的性质，是解题的关键．
连接，设，得到，根据过正方形的中心得到点F在上，得到，得到．
【详解】
如图，连接，
∵点是正方形的中心，
∴过点O，
∵过点O，
∴点F在上，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故选：D．
2．C
【分析】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】∵四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
故选：C
【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．
3．B
【分析】先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，即可得到答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，
矩形对角线，交于点，
，，即，
，
是等边三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键.
4．D
【分析】正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形.
平行四边形：有两组对边分别平行的四边形.
菱形：在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形.
矩形：有一个角是直角的平行四边形，矩形也叫长方形.
【详解】A选项中四边相等的四边形不能证明是正方形,有可能是菱形.则A错误.
B选项一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形，所以B错误.
C选项中，对角线互相垂直，不能判定四边形是菱形.
根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，即可得出本题正确答案为D.
【点睛】本题的关键在于：熟练掌握正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定.
5．A
【分析】由折叠的性质可得，然后可得，在Rt△C′B′N中利用勾股定理求解DB′；当点M与点A重合时，可得ME=NE，设NE=x，在中，利用勾股定理求解DE，当时，的值最大；当点运动到点落在时， 点的运动轨迹，运动路径求出即可．
【详解】解：如图1中，当点B′在DC上时，点E定为点B′，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，
∴，
∵（），
∴（）．
∴DB′=DN-B′N=，
如图2中，当点与重合时，点E定为点E，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，，
∴，
∴ME=NE，
设，DE=DN-NE=4-x，
在中，则有AD2+DE2=AE2，即，
解得，
∴（），
如图3中，当点运动到时，此时点E位置定为E′，的值最大，（），
如图4中，当点运动到点落在时，
∴点的运动轨迹，运动路径（）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质，熟练掌握翻折的性质、矩形的性质及勾股定理，等腰三角形判定与性质是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的性质，直接利用矩形，正方形的性质可得答案；
【详解】解：根据正方形特点由③可以推理出②①，再由矩形的性质根据②推出①，
故选D．
7．B
【分析】由菱形的性质得，，，再由等腰三角形的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定，进行解答即可得．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴四边形ABCD是菱形；
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴四边形ABCD是矩形；
综上，选项C符合题意，正确，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．
9．A
【分析】先作CF⊥L2，AE⊥L2，再利用全等三角形的判定和勾股定理求解．
【详解】如图，作CF⊥L2，垂足为F，AE⊥L2，垂足为E，
∴由同角的余角相等得，∠FCD=∠EDA，
又∵AD=CD，∠AED=∠CFD=90°，
∴△AED≌△DFC，
∴ED=CF=4，AE=2，
∴AD=＝．
故选A．
【点睛】本题利用了全等三角形的判定的性质，勾股定理，正方形的性质求解，关键是先作CF⊥L2，AE⊥L2．
10．B
【分析】根据正方形的性质和菱形的性质从边、角、对角线三个方面分析，容易得出结论．
【详解】正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．
11．C
【分析】首先连接．由矩形的两边，，可求得，然后由求得答案．
【详解】解：连接，如图，
矩形的两边，，
，，，，，
，，
，
．
故选：C．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
12．D
【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；过点作于点，证明，，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴
∴
∵平分交于点，且点为中点．
∴，，
∴
又∵
在和中，
，
∴，
∴，
故选：D．
13．
【分析】先根据菱形的性质及勾股定理求得的长，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】∵菱形的对角线、的长分别为12cm、16cm
∴，，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式；菱形的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．
14． 菱形
【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质、三角形的中位线定理、菱形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
（1）连接、，由矩形的性质可得，由三角形的中位线定理可得，，从而得到，根据菱形的判定即可得证；
（2）连接，，先由勾股定理求得，再进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）连接、，
四边形为矩形，
，
点、、、，分别是四边的中点
，，
，
四边形为菱形，
故答案为：菱形；
（2）如图，连接，，
四边形是矩形，
，，，，
点、、、，分别是四边的中点，
，，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为，
故答案为：．
15．2.5
【分析】先根据矩形的性质得出，再根据勾股定理得出，根据中位线定理得出，即可求解．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵、分别为、的中点，
∴，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．①②③
【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解，
本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：①∵，
∴四边形是平行四边形，故①正确；
②若，
∴平行四边形是矩形；故②正确；
③若平分，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴；
∴平行四边形是菱形；故③正确；
④若；
∴平分；
∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误；
所以正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
17．
【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时 ，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；
【详解】解：设BE=x，则：EF=x，AE=3-x
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=
在Rt△EBC中，由勾股定理得:EC=
由折叠可知CF=CB=2
所以：AF=AC-CF=-2
故答案为-2.
【点睛】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.
18．4.5米
【分析】作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，在中，根据勾股定理可求，即得，再根据勾股定理和线段的和差关系可求点C与点B的高度差．
本题主要考查了全等三角形，勾股定理，矩形等．熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形，矩形的判定与性质，添加辅助线构造两个全等的三角形，是解决问题的关键．
【详解】过点A作于F，过点C作于G，
∵，，，
∴，，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
即，
解得．
则．
故点与点的高度差的长为4.5米．
19．(1)见解析
(2)①菱形；②
【分析】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）分别以点B、D为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M、N，作直线，则问题可求解；
（2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证；②由矩形的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是矩形，，
∴，
由①可设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，
∴．
20．米
【分析】
本题考查勾股定理，矩形判定及性质．根据题意可知是矩形，继而得到，再利用勾股定理即可得到，继而得到答案．
【详解】解：∵，垂直地面，王明垂直地面，
∴四边形是矩形，
∴米，
∵米，米，
∴米，
∴米．
21．(1)操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离的长约为20m
(2)①；②建筑物的高度约为25m
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，对于（1），根据题意可知，，，再根据，可得，代入计算即可．
对于（2）①，根据题意得，，结合，可得答案；②作，先说明四边形DCEF是矩形，由，得，再根据等腰直角三角形的性质得，进而得出，然后由（1）结合，并根据（2），结合得出方程，求出答案即可．
【详解】（1）根据题意，有，，．
在中，，
（m）．
答：操控者所在位置与无人机所在位置的水平距离BE的长约为20m；
（2）①根据题意，有，．
在中，，
②如图，过点D作，垂足为F，则．
．
四边形是矩形．
，．
．
根据题意，有，
．
．
由（1）知，
，
由（2）①知，
．
．
答：建筑物的高度约为25m．
22．(1)①见解析；②
(2)①；②
【分析】（1）①证明，可得；
②利用勾股定理求出可得结论．
（2）①如图3中，当点M运动到时，的值最大；
②探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】（1）解：①证明：如图1中，
，
，
由翻折变换的性质可知，，
，
，
是等腰三角形；
②由翻折变换的性质可知，，，，
．
（2）①如图2中，当点M运动到时，的值最大，．
②如图1中，点恰好落在边上时，．
如图3中，当点M与A重合时，，设，
在中，则有，解得，
，
如图4中，当点M运动到点落在时，，
点E的运动轨迹，运动路径为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，理由详见解析；（3）
【分析】（1）①连接ED、BF，证明四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；②根据正方形的性质、勾股定理证明；
（2）过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD，证明四边形EFDM是矩形，得到EM=DF，DM=EF，∠BMD=90°，根据勾股定理计算；
（3）过P作PE⊥PD，过B作BELPE于E，根据（2）的结论求出PE，结合图形解答.
【详解】（1）证明：①连接ED、BF，
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BD、EF互相平分；
②设BD交EF于点O，则OB＝OD＝BD，OE＝OF＝EF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°．
在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝（2BE）2+（2OE）2＝4（BE2+OE2）＝4OB2＝（2OB）2＝BD2．
在正方形ABCD中，AB＝AD，BD2＝AB2+AD2＝2AB2．
∴（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（2）解：当BE≠DF时，（BE+DF）2+EF2＝2AB2仍然成立，
理由如下：如图2，过D作DM⊥BE交BE的延长线于M，连接BD．
∵BE∥DF，EF⊥BE，
∴EF⊥DF，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EM＝DF，DM＝EF，∠BMD＝90°，
在Rt△BDM中，BM2+DM2＝BD2，
∴（BE+EM）2+DM2＝BD2．
即（BE+DF）2+EF2＝2AB2；
（3）解：过P作PE⊥PD，过B作BE⊥PE于E，
则由上述结论知，（BE+PD）2+PE2＝2AB2．
∵∠DPB＝135°，
∴∠BPE＝45°，
∴∠PBE＝45°，
∴BE＝PE．
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴BP＝BE，
∵BP+2PD＝4 ，
∴2BE+2PD＝4，即BE+PD＝2，
∵AB＝4，
∴（2）2+PE2＝2×42，
解得，PE＝2，
∴BE＝2，
∴PD＝2﹣2．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键.
24．(1)见解析
(2)
【分析】
（1）由矩形的性质得到，结合翻折的性质得到，根据等角对等边即可证明；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
由翻折的性质可知：，
∴，
∴；
（2）
解：∵四边形是矩形，
∴．
由翻折的性质可得到，，．
设，则，．
在中，
由勾股定理得：，即，
解得：，
∴．
【点睛】此题考查四边形综合题，翻折变换的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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