19.2一次函数同步练习（含解析）
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19.2一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线分别交轴、轴于点直线分别交轴、轴于点，直线与直线相交于点，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
2．将直线向右平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一次函数和一次函数的自变量x与因变量，的部分对应数值如表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）
x … 0 1 2 …
… 1 2 4 …
… 1 3 …
A． B． C． D．
4．下面说法正确的有（ ）个．
①，x和y成反比例
②正方形的边长和周长成正比例
③甲数的等于乙数的（甲乙均大于0），则甲＜乙
④经过两点可以画无数条直线
A．4 B．3 C．2 D．1
5．直线（m，n为常数）的图象如图，化简︱︱－得( )
A． B． C． D．
6．如图，直线与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将 OABC放置在平面直角坐标系xOy中，点A(1，3)，C(4，0)，当直线y＝kx﹣1平分 OABC的面积时，则k的值为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．2
8．如果函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象的交点在第三象限，那么k，a的取值范围是（ ）
A．k＞0，a＞﹣6 B．k＞0，a＜﹣6 C．k＞0，a＞6 D．k＜0，a＞6
9．将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（，是常数）中，一次函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交直线于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．如图：y=2x和y=ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集为：
A．＜ B．＞3 C．＞ D．＜3
二、填空题
13．直线平行于直线，且与轴交于点，则此函数的解析式 ．
14．正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ．
15．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标是，则不等式的解集为 ．
16．一次函数的图象经过点P(－1，2)，则k= ．
17．一次函数的图象经过点，则 ．
三、解答题
18．（1）计算：（＋）×﹣＋；
（2）已知直线y＝kx＋b经过（1，0），（2，3），求直线的解析式．
19．如图，已知平面直角坐标系中，，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点的坐标；
(2)在轴上找一点，当最大时，求点的坐标．（写出必要的求解过程）
20．某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元．
(1)若该车间某天获利17000元，这天加工甲、乙种零件的工人各有多少人？
(2)由于生产需要，每天都需要加工这两种零件，设加工甲种零件的工人有m人．
①请用含m的式子表示该车间每天的获利w（元）；
②若，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？
21．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多6元，用360元购进鲜肉粽的数量和用240元购进红枣粽的数量同样多．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场每千克鲜肉粽的进价是多少元？
(2)如果该商场购进鲜肉粽和红枣粽500千克，且总费用不超过8400元，并按照鲜肉粽每千克24元，红枣粽每千克16元全部售出，那么该商场购进多少千克鲜肉粽获得利润最大？最大利润是多少？
22．据研究发现，某种观赏植物移栽后10年内随年份逐渐长高，10年后几乎不再变化．已知该观赏植物移栽时（即0年）高1.2，移栽后10年内，平均每年增长的高度为0.4．设该植物高度为（），移栽时间为（年），．
(1)求（）与（年）之间的函数关系式（），并据此求出该植物移栽5年时的高度；
(2)试判断按此生长速度，该植物移栽10年能否达到7？
23．如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，若，且交正方形外角的平分线于点．
（1）如图1，若点是边的中点，是边的中点，连接，求证：．
（2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）.
①在点滑动过程中，是否一定成立？请说明理由；
②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在直线上，求此时点的坐标．
24．已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B与：y=x相交于点C．
（1）若平行于y轴的直线x=a交直线于点E，交直线于点D，交x轴于点M，且ED=2DM，求a的值；
（2）如图2，点P是第四象限内一点，且BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C A A C B B B
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】根据图象法求解即可．
【详解】∵直线与直线相交于点
∴不等式的解集为
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握图象法解不等式是解题的关键．
2．B
【分析】平移时的值不变，只有发生变化，然后根据平移规律求解即可．
【详解】解：直线向右平移2个长度单位，
则平移后所得的函数解析式是：，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图像的平移，解题的关键是掌握平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
3．D
【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：由表格可知，一次函数和一次函数的图象都经过点，
∴一次函数与的图象的交点坐标为，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
故选：D．
4．C
【分析】根据正比例，反比例，分数比较大小，直线的认识，依次进行判断即即可得．
【详解】解：①，则，比值一定，x和y成正比例，故①错误；
②正方形的周长÷边长=4，比值一定，即正方形的边长和周长成正比例，故②正确；
③甲数的等于乙数的（甲乙均大于0），，则甲＜乙，故③正确；
④经过两点可以画1条直线，故④错误；
综上，②③正确，正确的个数有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例，反比例，分数比较大小，直线的认识，解题的关键是掌握这些知识点．
5．A
【分析】根据一次函数的图像，可得，，解得，，然后对代数式进行化简，即可得到答案.
【详解】解：由图可知，直线从左到右是下降趋势，且直线与y的正半轴有交点，
∴，，
∴，，
∴︱︱－
=
=
=
=；
故选择：A.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及绝对值的意义、二次根式的性质，解题的关键是利用一次函数的性质正确求出m、n的范围，从而正确进行化简.
6．A
【分析】由图知：一次函数与轴的交点横坐标为，且函数值随自变量的增大而减小，根据图形可判断出解集．
【详解】解：直线与轴交于点，当时，，函数值随的增大而减小；
因而关于的不等式的解集是．
故选．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键掌握任何一元一次不等式都可以转化的或、为常数，的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）时，求自变量相应的取值范围．
7．C
【分析】设直线y=kx-1交边AB于点E，交x轴于点F，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E，F的坐标，进而可得出AE，OF的长，由直线y=kx-1平分 OABC的面积，可得出AE+OF=OC，解之即可得出k值．
【详解】解：设直线y=kx-1交边AB于点E，交x轴于点F，如图所示．
当y=0时，kx-1=0，
解得：x=，
∴点F的坐标为（，0），OF=，
当y=3时，kx-1=3，
解得：x=，
∴点E的坐标为（，3），AE=-1．
又∵直线y=kx-1平分 OABC的面积，
∴CF=AE，BE=OF，
∴OF+AE=OC，即+-1=4，
∴k=1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及AE+OF=OC，找出关于k的方程是解题的关键．
8．B
【分析】根据各个选项选出草图进行判断是否符合题便可得出最终结论．．
【详解】解：A．∵k＞0，a＞﹣6，
∴函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象如图1所示：
两直线不交于第三象限，不符合题意，此选项错误；
B．．∵k＞0，a＜﹣6，
∴函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象如图2所示：
两直线交于第三象限，符合题意，此选项正确；
C．∵k＞0，a＞6
∴函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象如图3所示：
两直线不交于第三象限，不符合题意，此选项错误；
D．∵k＜0，a＞6，
∴函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象如图4所示：
两直线不交于第三象限，不符合题意，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，大致画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
9．B
【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可.
【详解】解：将直线向右平移2个单位，
所得直线的解析式为，
即，
故选：B.
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.
10．B
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键．一般地，形如（为常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义分析即可．
【详解】解：（1）是一次函数；
（2）是一次函数；
（3）自变量的次数不是1，不是一次函数；
（4）自变量的次数不是1，不是一次函数；
（5）（，是常数）当时，是一次函数，
（1）（2）是一次函数，共2个，
故选：B．
11．D
【分析】观察函数图象得到，当x＜1时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b＞mx+n的解集．
【详解】解：由图可得，直线y=kx+b交直线y=mx+n于点P（1，2），
所以，不等式kx+b＞mx+n的解集为x＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12．A
【详解】试题分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
试题解析：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
m=，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜
故选A．
考点：一次函数与一元一次不等式．
13．/
【分析】根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据与轴交于点求出b，即可得解．
【详解】解：∵直线平行于直线，
∴，
∵与轴交于点，
∴，
∴此函数的解析式为．
故答案为：．
【点睛】此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于确定k的值．
14．
【分析】根据题意求出，，，，，进而找出坐标规律，进行求解即可．
【详解】当时， ，
∴点 的坐标为．
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为，点的坐标为．
当时，，
∴点的坐标为．
∵为正方形，
∴点的坐标为，点的坐标为 ，
同理，可知：点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，…，
∴点的坐标为（是正整数），
∴点的坐标为；
故答案为：，
【点睛】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．同时考查了正方形的性质和一次函数的图象上的点．熟练掌握相关知识点，抽象概括出点的坐标规律，是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是数形结合；由图象知，位于直线下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2，则可得不等式的解集．
【详解】解：由图象知，位于直线下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2，
此时对应的自变量为正数，即不等式的解集为；
故答案为：．
16．1
【详解】试题分析：将P代入y=kx+3得：－k+3=2，解得：k=1.
考点：一次函数图象上的点
17．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数表达式即可求出b的值．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴2+b=-3，
解得b=-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b（k≠0）是解题的关键．
18．（1）2+4；（2）y＝3x﹣3
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则算乘法，再根据二次根式的加减法则算加减即可；
（2）把点的坐标代入函数的解析式，得出关于k、b的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：（1）（＋）×﹣＋
＝4+3﹣2＋
＝2+4；
（2）∵直线y＝kx＋b经过点（1，0），（2，3），
∴代入得：，
解得：k＝3，b＝﹣3，
∴直线的解析式是y＝3x﹣3．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，待定系数法求一次函数解析式．（1）中熟练掌握二次根式的混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键；（2）中能根据题意列出二元一次方程组并正确求解是解题关键．
19．(1)作图见解析，
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接，即可得到，结合图像确定点的坐标即可；
（2）取轴上一点，连接，由轴对称的性质可得，由三角形三边关系可得，易得，故当三点共线时，可有取最大值，即取最大值，然后利用待定系数法解得直线的解析式，即可确定点的坐标．
【详解】（1）解：如下图，即为所求；
其中，，；
（2）如下图，作直线，交轴于点，即当，，共线时，取最大值．
理由如下：
如下图，取轴上一点，连接，
∵点，关于轴对称，
∴，
由三角形三边关系可得，
∴，
∴当三点共线时，可有取最大值，
即取最大值，
此时，设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、三角形三边关系以及一次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．
20．(1)加工甲种零件的工人有25人，加工乙种零件的工人有25人
(2)①；②当m为20时，该车间一天的获利w最大，最大为17200元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用以及一次函数的性质：
（1）设这天加工甲种零件的工人有x人，加工乙种零件的工人有y人，依题意建立方程组，解出，即可作答．
（2）①根据甲获利加上乙获利等于总获利，即可建立获利w的表达式；
②，根据，w随m的增大而减小，即可作答．
【详解】（1）解：设这天加工甲种零件的工人有x人，加工乙种零件的工人有y人．
根据题意，得．
解得．
答：这天加工甲种零件的工人有25人，加工乙种零件的工人有25人．
（2）解：①根据题意，得．
②∵，，
∴w随m的增大而减小，
∵，
∴当时，w最大，此时（元）．
答：当m为20时，该车间一天的获利w最大，最大为17200元．
21．(1)该商场每千克鲜肉粽的进价是18元
(2)该商场购进400千克鲜肉粽获得利润最大，最大利润是2800元
【分析】（1）设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的数量同样多列分式方程求解即可；
（2）设该商场购进千克鲜肉粽，则购进千克红枣粽，设购进的鲜肉粽和红枣粽全部售出后该商场获得的总利润为元，列不等式及一次函数，根据一次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该商场每千克鲜肉粽的进价是元；
（2）解：设该商场购进千克鲜肉粽，则购进千克红枣粽，
根据题意得： (，
解得：．
设购进的鲜肉粽和红枣粽全部售出后该商场获得的总利润为元，则，
即，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值．
答：该商场购进千克鲜肉粽获得利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了一次函数、不等式及分式方程的应用，正确找出相等关系和不等关系是解题的关键．
22．(1)，
(2)不能
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确求得（）与（年）之间的函数关系式是解题关键．
（1）结合题意可得（）与（年）之间成一次函数关系，设（）与（年）之间的函数关系式为，利用待定系数法求得函数解析式，并令，可解得该植物移栽5年时的高度；
（2）令，可解得该植物移栽10年时的高度，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该观赏植物移栽时（即0年）高1.2，移栽后10年内，平均每年增长的高度为0.4，可知（）与（年）之间成一次函数关系，
移栽1年后，高度为，
设（）与（年）之间的函数关系式为，
将点，代入，
可得，解得，
所以，（）与（年）之间的函数关系式为，
当，可有，
所以，该植物移栽5年时的高度为；
（2）对于函数，
令，可有，
所以，按此生长速度，该植物移栽10年不能达到7．
23．(1)证明见解析；(2) AE=EF一定成立，理由见解析；②F点坐标为
【分析】(1)利用ASA证明△AME≌△ECF，可得结论；
(2) ①在AB上截取AM=EC，连接ME，同（1）证明△AME≌△ECF，可得AE=EF；
②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出FG、FH，由角平分线的性质得到关于a的方程，求得a的值，即可得出F的坐标.
【详解】(1)证明：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∵M、E为中点，
∴AM=EC=BE=BM，
∴∠BME＝45°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠AME=∠ECF=135°，
在△AME和△ECF中， ，
∴△AME≌△ECF (ASA) ，
∴AE=EF；
(2)解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立.
证明：如图2中，在AB上截取AM=EC，连接ME，
∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF是角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AME和△ECF中， ，
∴△AME≌△ECF (ASA) ，
∴AE=EF；
②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3，
则FG=CH=a-1，FH=-2a+6，
∵CF为角平分线，
∴FH=FG，
∴a-1=-2a+6，
解得，
当时，，
∴F点坐标为.
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质及方程思想等知识，能够添加正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键.
24．（1）a=2或6；（2）AP⊥BP,理由见解析
【分析】（1）根据题意可知M(a，0)，D(a, a)，E(a，-a+4)，DE=2DM即∣a-(-a+4) ∣=2∣a∣，可求得a
（2）过O作OC⊥OP，交BP的延长线于C，设AP交OB于点D，由BPO=135°易得△OCP为等腰直角三角形，OC=OP，在平面直角坐标系中有∠AOB=∠COP=90°，故△AOP=∠BOC，由OA=OB可证得△AOP≌△BOC，进而可知∠OAP=∠OBC，根据∠ADO=∠BDP可得∠AOD=∠BPD=90°，进而证得AP⊥BP
【详解】（1）根据题意M(a，0)，D(a, a)，E(a,-a+4)
∵DE=2DM
∴∣a-(-a+4) ∣=2∣a∣
解得a=2或6
(2)AP⊥BP，理由如下：
过O作OC⊥OP，交BP的延长线于C，设AP交OB于点D
∵∠BPO=135°
∴△OCP为等腰直角三角形，OC=OP
∵∠AOB=∠COP=90°
∴∠AOP=∠BOC
∵易得OA=OB
∴△AOP≌△BOC
∴∠OAP=∠OBC
∵∠ADO=∠BDP
∴∠AOD=∠BPD=90°
∴AP⊥BP
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形证线段和角度相等，解本题的关键是仔细审题，借助正确的辅助线来解题.
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19.2一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线分别交轴、轴于点直线分别交轴、轴于点，直线与直线相交于点，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
2．将直线向右平移2个单位长度，可得直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一次函数和一次函数的自变量x与因变量，的部分对应数值如表所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）
x … 0 1 2 …
… 1 2 4 …
… 1 3 …
A． B． C． D．
4．下面说法正确的有（ ）个．
①，x和y成反比例
②正方形的边长和周长成正比例
③甲数的等于乙数的（甲乙均大于0），则甲＜乙
④经过两点可以画无数条直线
A．4 B．3 C．2 D．1
5．直线（m，n为常数）的图象如图，化简︱︱－得( )
A． B． C． D．
6．如图，直线与轴交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将 OABC放置在平面直角坐标系xOy中，点A(1，3)，C(4，0)，当直线y＝kx﹣1平分 OABC的面积时，则k的值为（ ）
A．﹣1 B． C．1 D．2
8．如果函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象的交点在第三象限，那么k，a的取值范围是（ ）
A．k＞0，a＞﹣6 B．k＞0，a＜﹣6 C．k＞0，a＞6 D．k＜0，a＞6
9．将直线向右平移2个单位所得直线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（，是常数）中，一次函数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线交直线于点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．如图：y=2x和y=ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集为：
A．＜ B．＞3 C．＞ D．＜3
二、填空题
13．直线平行于直线，且与轴交于点，则此函数的解析式 ．
14．正方形，，，…按如图所示放置，点，，，…和，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ．
15．如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标是，则不等式的解集为 ．
16．一次函数的图象经过点P(－1，2)，则k= ．
17．一次函数的图象经过点，则 ．
三、解答题
18．（1）计算：（＋）×﹣＋；
（2）已知直线y＝kx＋b经过（1，0），（2，3），求直线的解析式．
19．如图，已知平面直角坐标系中，，．
(1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出点的坐标；
(2)在轴上找一点，当最大时，求点的坐标．（写出必要的求解过程）
20．某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元．
(1)若该车间某天获利17000元，这天加工甲、乙种零件的工人各有多少人？
(2)由于生产需要，每天都需要加工这两种零件，设加工甲种零件的工人有m人．
①请用含m的式子表示该车间每天的获利w（元）；
②若，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？
21．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗，今年端午节来临之际，某商场进来鲜肉粽和红枣粽．每千克鲜肉粽进价比红枣粽多6元，用360元购进鲜肉粽的数量和用240元购进红枣粽的数量同样多．根据以上信息，解答下列问题：
(1)该商场每千克鲜肉粽的进价是多少元？
(2)如果该商场购进鲜肉粽和红枣粽500千克，且总费用不超过8400元，并按照鲜肉粽每千克24元，红枣粽每千克16元全部售出，那么该商场购进多少千克鲜肉粽获得利润最大？最大利润是多少？
22．据研究发现，某种观赏植物移栽后10年内随年份逐渐长高，10年后几乎不再变化．已知该观赏植物移栽时（即0年）高1.2，移栽后10年内，平均每年增长的高度为0.4．设该植物高度为（），移栽时间为（年），．
(1)求（）与（年）之间的函数关系式（），并据此求出该植物移栽5年时的高度；
(2)试判断按此生长速度，该植物移栽10年能否达到7？
23．如图1，已知正方形的边长为1，点在边上，若，且交正方形外角的平分线于点．
（1）如图1，若点是边的中点，是边的中点，连接，求证：．
（2）如图2，若点在线段上滑动（不与点，重合）.
①在点滑动过程中，是否一定成立？请说明理由；
②在如图所示的直角坐标系中，当点滑动到某处时，点恰好落在直线上，求此时点的坐标．
24．已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线：y=-x+4与坐标轴分别相交于点A、B与：y=x相交于点C．
（1）若平行于y轴的直线x=a交直线于点E，交直线于点D，交x轴于点M，且ED=2DM，求a的值；
（2）如图2，点P是第四象限内一点，且BPO=135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C A A C B B B
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】根据图象法求解即可．
【详解】∵直线与直线相交于点
∴不等式的解集为
故答案为：B．
【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握图象法解不等式是解题的关键．
2．B
【分析】平移时的值不变，只有发生变化，然后根据平移规律求解即可．
【详解】解：直线向右平移2个长度单位，
则平移后所得的函数解析式是：，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数图像的平移，解题的关键是掌握平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
3．D
【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：由表格可知，一次函数和一次函数的图象都经过点，
∴一次函数与的图象的交点坐标为，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
故选：D．
4．C
【分析】根据正比例，反比例，分数比较大小，直线的认识，依次进行判断即即可得．
【详解】解：①，则，比值一定，x和y成正比例，故①错误；
②正方形的周长÷边长=4，比值一定，即正方形的边长和周长成正比例，故②正确；
③甲数的等于乙数的（甲乙均大于0），，则甲＜乙，故③正确；
④经过两点可以画1条直线，故④错误；
综上，②③正确，正确的个数有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例，反比例，分数比较大小，直线的认识，解题的关键是掌握这些知识点．
5．A
【分析】根据一次函数的图像，可得，，解得，，然后对代数式进行化简，即可得到答案.
【详解】解：由图可知，直线从左到右是下降趋势，且直线与y的正半轴有交点，
∴，，
∴，，
∴︱︱－
=
=
=
=；
故选择：A.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及绝对值的意义、二次根式的性质，解题的关键是利用一次函数的性质正确求出m、n的范围，从而正确进行化简.
6．A
【分析】由图知：一次函数与轴的交点横坐标为，且函数值随自变量的增大而减小，根据图形可判断出解集．
【详解】解：直线与轴交于点，当时，，函数值随的增大而减小；
因而关于的不等式的解集是．
故选．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键掌握任何一元一次不等式都可以转化的或、为常数，的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）时，求自变量相应的取值范围．
7．C
【分析】设直线y=kx-1交边AB于点E，交x轴于点F，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E，F的坐标，进而可得出AE，OF的长，由直线y=kx-1平分 OABC的面积，可得出AE+OF=OC，解之即可得出k值．
【详解】解：设直线y=kx-1交边AB于点E，交x轴于点F，如图所示．
当y=0时，kx-1=0，
解得：x=，
∴点F的坐标为（，0），OF=，
当y=3时，kx-1=3，
解得：x=，
∴点E的坐标为（，3），AE=-1．
又∵直线y=kx-1平分 OABC的面积，
∴CF=AE，BE=OF，
∴OF+AE=OC，即+-1=4，
∴k=1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及AE+OF=OC，找出关于k的方程是解题的关键．
8．B
【分析】根据各个选项选出草图进行判断是否符合题便可得出最终结论．．
【详解】解：A．∵k＞0，a＞﹣6，
∴函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象如图1所示：
两直线不交于第三象限，不符合题意，此选项错误；
B．．∵k＞0，a＜﹣6，
∴函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象如图2所示：
两直线交于第三象限，符合题意，此选项正确；
C．∵k＞0，a＞6
∴函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象如图3所示：
两直线不交于第三象限，不符合题意，此选项错误；
D．∵k＜0，a＞6，
∴函数y＝kx﹣6和y＝﹣2x+a的图象如图4所示：
两直线不交于第三象限，不符合题意，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，大致画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
9．B
【分析】直接根据“左加右减，上加下减” 的平移规律求解即可.
【详解】解：将直线向右平移2个单位，
所得直线的解析式为，
即，
故选：B.
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.
10．B
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键．一般地，形如（为常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义分析即可．
【详解】解：（1）是一次函数；
（2）是一次函数；
（3）自变量的次数不是1，不是一次函数；
（4）自变量的次数不是1，不是一次函数；
（5）（，是常数）当时，是一次函数，
（1）（2）是一次函数，共2个，
故选：B．
11．D
【分析】观察函数图象得到，当x＜1时，一次函数y=kx+b的图象都在一次函数y=mx+n的图象的上方，由此得到不等式kx+b＞mx+n的解集．
【详解】解：由图可得，直线y=kx+b交直线y=mx+n于点P（1，2），
所以，不等式kx+b＞mx+n的解集为x＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12．A
【详解】试题分析：先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．
试题解析：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
m=，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜
故选A．
考点：一次函数与一元一次不等式．
13．/
【分析】根据互相平行的直线的解析式的一次项系数的值相等确定出k，根据与轴交于点求出b，即可得解．
【详解】解：∵直线平行于直线，
∴，
∵与轴交于点，
∴，
∴此函数的解析式为．
故答案为：．
【点睛】此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键在于确定k的值．
14．
【分析】根据题意求出，，，，，进而找出坐标规律，进行求解即可．
【详解】当时， ，
∴点 的坐标为．
∵四边形为正方形，
∴点的坐标为，点的坐标为．
当时，，
∴点的坐标为．
∵为正方形，
∴点的坐标为，点的坐标为 ，
同理，可知：点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，…，
∴点的坐标为（是正整数），
∴点的坐标为；
故答案为：，
【点睛】本题考查平面直角坐标下点的规律探究．同时考查了正方形的性质和一次函数的图象上的点．熟练掌握相关知识点，抽象概括出点的坐标规律，是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是数形结合；由图象知，位于直线下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2，则可得不等式的解集．
【详解】解：由图象知，位于直线下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2，
此时对应的自变量为正数，即不等式的解集为；
故答案为：．
16．1
【详解】试题分析：将P代入y=kx+3得：－k+3=2，解得：k=1.
考点：一次函数图象上的点
17．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数表达式即可求出b的值．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴2+b=-3，
解得b=-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b（k≠0）是解题的关键．
18．（1）2+4；（2）y＝3x﹣3
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则算乘法，再根据二次根式的加减法则算加减即可；
（2）把点的坐标代入函数的解析式，得出关于k、b的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：（1）（＋）×﹣＋
＝4+3﹣2＋
＝2+4；
（2）∵直线y＝kx＋b经过点（1，0），（2，3），
∴代入得：，
解得：k＝3，b＝﹣3，
∴直线的解析式是y＝3x﹣3．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，待定系数法求一次函数解析式．（1）中熟练掌握二次根式的混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键；（2）中能根据题意列出二元一次方程组并正确求解是解题关键．
19．(1)作图见解析，
(2)
【分析】（1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接，即可得到，结合图像确定点的坐标即可；
（2）取轴上一点，连接，由轴对称的性质可得，由三角形三边关系可得，易得，故当三点共线时，可有取最大值，即取最大值，然后利用待定系数法解得直线的解析式，即可确定点的坐标．
【详解】（1）解：如下图，即为所求；
其中，，；
（2）如下图，作直线，交轴于点，即当，，共线时，取最大值．
理由如下：
如下图，取轴上一点，连接，
∵点，关于轴对称，
∴，
由三角形三边关系可得，
∴，
∴当三点共线时，可有取最大值，
即取最大值，
此时，设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、轴对称变换、三角形三边关系以及一次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．
20．(1)加工甲种零件的工人有25人，加工乙种零件的工人有25人
(2)①；②当m为20时，该车间一天的获利w最大，最大为17200元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用以及一次函数的性质：
（1）设这天加工甲种零件的工人有x人，加工乙种零件的工人有y人，依题意建立方程组，解出，即可作答．
（2）①根据甲获利加上乙获利等于总获利，即可建立获利w的表达式；
②，根据，w随m的增大而减小，即可作答．
【详解】（1）解：设这天加工甲种零件的工人有x人，加工乙种零件的工人有y人．
根据题意，得．
解得．
答：这天加工甲种零件的工人有25人，加工乙种零件的工人有25人．
（2）解：①根据题意，得．
②∵，，
∴w随m的增大而减小，
∵，
∴当时，w最大，此时（元）．
答：当m为20时，该车间一天的获利w最大，最大为17200元．
21．(1)该商场每千克鲜肉粽的进价是18元
(2)该商场购进400千克鲜肉粽获得利润最大，最大利润是2800元
【分析】（1）设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据用元购进鲜肉粽的数量和用元购进红枣粽的数量同样多列分式方程求解即可；
（2）设该商场购进千克鲜肉粽，则购进千克红枣粽，设购进的鲜肉粽和红枣粽全部售出后该商场获得的总利润为元，列不等式及一次函数，根据一次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：设该商场每千克鲜肉粽的进价是元，则每千克红枣粽的进价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：该商场每千克鲜肉粽的进价是元；
（2）解：设该商场购进千克鲜肉粽，则购进千克红枣粽，
根据题意得： (，
解得：．
设购进的鲜肉粽和红枣粽全部售出后该商场获得的总利润为元，则，
即，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值．
答：该商场购进千克鲜肉粽获得利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了一次函数、不等式及分式方程的应用，正确找出相等关系和不等关系是解题的关键．
22．(1)，
(2)不能
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确求得（）与（年）之间的函数关系式是解题关键．
（1）结合题意可得（）与（年）之间成一次函数关系，设（）与（年）之间的函数关系式为，利用待定系数法求得函数解析式，并令，可解得该植物移栽5年时的高度；
（2）令，可解得该植物移栽10年时的高度，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意，该观赏植物移栽时（即0年）高1.2，移栽后10年内，平均每年增长的高度为0.4，可知（）与（年）之间成一次函数关系，
移栽1年后，高度为，
设（）与（年）之间的函数关系式为，
将点，代入，
可得，解得，
所以，（）与（年）之间的函数关系式为，
当，可有，
所以，该植物移栽5年时的高度为；
（2）对于函数，
令，可有，
所以，按此生长速度，该植物移栽10年不能达到7．
23．(1)证明见解析；(2) AE=EF一定成立，理由见解析；②F点坐标为
【分析】(1)利用ASA证明△AME≌△ECF，可得结论；
(2) ①在AB上截取AM=EC，连接ME，同（1）证明△AME≌△ECF，可得AE=EF；
②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出FG、FH，由角平分线的性质得到关于a的方程，求得a的值，即可得出F的坐标.
【详解】(1)证明：∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∵M、E为中点，
∴AM=EC=BE=BM，
∴∠BME＝45°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠AME=∠ECF=135°，
在△AME和△ECF中， ，
∴△AME≌△ECF (ASA) ，
∴AE=EF；
(2)解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立.
证明：如图2中，在AB上截取AM=EC，连接ME，
∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF是角平分线，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AME=∠ECF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
在△AME和△ECF中， ，
∴△AME≌△ECF (ASA) ，
∴AE=EF；
②设F (a，-2a+6)，过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3，
则FG=CH=a-1，FH=-2a+6，
∵CF为角平分线，
∴FH=FG，
∴a-1=-2a+6，
解得，
当时，，
∴F点坐标为.
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用、正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质及方程思想等知识，能够添加正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键.
24．（1）a=2或6；（2）AP⊥BP,理由见解析
【分析】（1）根据题意可知M(a，0)，D(a, a)，E(a，-a+4)，DE=2DM即∣a-(-a+4) ∣=2∣a∣，可求得a
（2）过O作OC⊥OP，交BP的延长线于C，设AP交OB于点D，由BPO=135°易得△OCP为等腰直角三角形，OC=OP，在平面直角坐标系中有∠AOB=∠COP=90°，故△AOP=∠BOC，由OA=OB可证得△AOP≌△BOC，进而可知∠OAP=∠OBC，根据∠ADO=∠BDP可得∠AOD=∠BPD=90°，进而证得AP⊥BP
【详解】（1）根据题意M(a，0)，D(a, a)，E(a,-a+4)
∵DE=2DM
∴∣a-(-a+4) ∣=2∣a∣
解得a=2或6
(2)AP⊥BP，理由如下：
过O作OC⊥OP，交BP的延长线于C，设AP交OB于点D
∵∠BPO=135°
∴△OCP为等腰直角三角形，OC=OP
∵∠AOB=∠COP=90°
∴∠AOP=∠BOC
∵易得OA=OB
∴△AOP≌△BOC
∴∠OAP=∠OBC
∵∠ADO=∠BDP
∴∠AOD=∠BPD=90°
∴AP⊥BP
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形证线段和角度相等，解本题的关键是仔细审题，借助正确的辅助线来解题.
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