28.2解直角三角形及其应用同步练习（含解析）

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28.2解直角三角形及其应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
2．如图，把放置在平面直角坐标系中，，已知点是轴上的定点，点的坐标为．将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，则旋转前点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点P的直线折叠，点O恰好落在上的点Q处，折痕交于点P，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
5．我校的旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面如图所示，它们在同一平面内，旗杆与地面垂直，且处于升旗台正中央，在教学楼底部点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面的坡度是，坡长米，米，则旗杆的高度约为（　　）
（参考数据：，，）
A．16.5米 B．14.2米
C．14.8米 D．14.5米
6．如图，中，，，，为中点，以为对角线长作边长为3的菱形，现将菱形绕点顺时针旋转一周，旋转过程中当所在直线经过点时，点到菱形对角线交点之间的距离为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．如图，为的直径，弦于点，，为上一点，与交于点，若，则的长的范围为( )

A． B．
C． D．
8．如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，点为边的中点，连接并延长与的延长线交于点，过点作交于点，连接，与交于点，现有下列结论：①；②；③；④点是四边形的外接圆的圆心，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．一个三角形的边长分别为，，，另一个三角形的边长分别为，，，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
12．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D是AC的中点，点P由点D出发，沿△ABC顺时针方向运动，速度为7cm/s，同时，点Q从C出发，沿△ABC顺时针方向运动，速度为6cm/s，当点P追上点Q时，两点停止运动．设运动时间为t（s），△DPQ的面积为s（cm2），则s关于t的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题
13．小球沿着坡度为的坡面滚动了，则在这期间小球滚动的水平距离是 ．
14．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．则BC的长 ．
15．如图，点E在正方形ABCD的边BC上，连接DE、BD，延长CB到点F，使BF＝CE，过点E作EG⊥BD于点G，连接FG．若DE＝，则FG的长为 _____．
16．如图，在中，，D是的中点，连接，过点B作的垂线，交延长线于点E．，，则 ．
17．已知扇形纸片，，，将该扇形纸片沿方向平移得扇形，若恰好为中点，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
18．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的，两点处测得该塔顶端的仰角分别为，，矩形建筑物宽度，高度．计算该信号发射塔顶端到地面的高度（结果精确到，）．
19．规划中的武汉过江隧道两端入口分别位于汉口岸边的点和武昌一岸的点．与武昌一岸的夹角为（如图2）．

(1)为了测量隧道长度，测量人员设计了如下方案：如图，在武昌岸边取一点，测得，量得，据此设计求出隧道的长度；（参考数据：，，）
(2)除（1）的测量方案外，请你在图2中再设计出一种测量隧道长度的方案．
要求：①在图2中画出设计草图，用a，b等字母表示某些可直接量出的线段长度；
②根据测量数据，直接写出所求隧道的长度（用含a，b等字母的式子表示，单位：m)
20．泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为参照物，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是和，在A处测得C处的仰角为，求泰姬陵的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，）．
21．综合与探究
小新学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值．
解题思路：小新先画出了几何图形（如图1），他说得22.5°虽然不是特殊角，但是的一半，于是他尝试着在上截取，再连结，构造出等腰（如图2）．
解题过程：在上截取，再连结，可证为等腰三角形，设，则，……．
(1)实践应用：请把上面小新的解题过程补充完整；
(2)尝试应用：如图3，求的值；
(3)拓展应用：如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为，该同学的眼睛点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高度．（结果保留整数，参考数据：，）
22．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长，点O为摄像机旋转轴心，O为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点C到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．

(1)求显示屏所在部分的宽度；
(2)求镜头A到地面的距离．
（参考数据：，，，结果保留一位小数）
23．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC=，tan∠DCB=2，求菱形AEBD的面积．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，⊙O与BC交于点D，⊙O与AC交于点E，DF⊥AC于F，连接DE．
（1）求证：D为BC中点；
（2）求证：DF与⊙O相切；
（3）若⊙O的半径为5，tan∠C＝，则DE＝　 　．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D D D D B C B B
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，
∴∠A=30°，
∴OH=OA=，AH=AO cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，
故选A.
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，过点作轴于，由旋转性质可证和是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，最后根据解直角三角形可得到点的坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】过点作轴于，

∵点的坐标为，
∴，
将绕点逆时针旋转，旋转后点恰好与点重合，
∴，，，，，
∴和是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标是，
故选：．
3．D
【分析】连接，根据折叠可知，，，，进而可得是等边三角形，则，进而求得的面积，根据阴影部分面积求解即可．
【详解】解：连接，交于E，
∵沿对折O和Q重合，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积
．
故选：D．
【点睛】此题主要考查三角形的折叠问题、等边三角形的性质、扇形面积以及特殊角三角函数值的运用，掌握以上知识是解题的关键．
4．D
【分析】设，交于点，由四边形和都为正方形，得，再利用证得即可推出，且，故①②正确，连接，，由勾股定理可推出，故③正确，延长至点，于点，过点作于，当时，可知，，代入面积公式可知④正确.
【详解】解：设，交于点，
∵四边形和都为正方形，∴，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①②正确；
连接，，如图所示，
∴，，
∴，故③正确；
如图所示，延长至点，于点，过点作于，
∴，，
当时，，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，∴，
∴，故④正确，
∴正确的结论是①②③④，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，综合性较强，通过证明是解题的关键.
5．D
【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题；
【详解】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形，
∵坡面的坡度是，
∴在Rt△CJD中，，
设CJ=4k，DJ=3k，由于
则有，
∴
∴BM=CJ=2，DJ=1.5，
∵BC=MJ=1.5，
EM=MJ+DJ+DE=1.5+1.5+8=11，
在Rt△AEM中，tan∠AEM=，，
∴，
解得AB≈14.5（米），
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．先求得是等边三角形，分两种情况讨论，当时，所在直线经过点，作于点，再利用勾股定理求解；当与重合时，所在直线经过点，据此求解即可．
【详解】解：∵，，，为中点，
∴，，，
∵菱形边长为3，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，
当时，所在直线经过点，
作于点，连接，
∴，
∴，，
∴；
当与重合时，所在直线经过点，
此时，，
综上点到菱形对角线交点之间的距离为或，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，作直径，当点在(不与重合)上运动时，，由，得到，进而得到，，由此得到，即可得到是等边三角形，得到，求出，再由求出，即可求出的长的范围，解题的关键是判定是等边三角形，由锐角的正弦求出的长．
【详解】解：如图，作直径，

当点在(不与重合)上运动时，，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的长的范围是，
故选：．
8．C
【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∵，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC==3，
∵，
∴cos∠DBC=cosA=，
∴cos∠DBC==，即=
∴BD=，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．
9．B
【分析】①利用全等三角形的性质证明即可解决问题．②证明即可解决问题．③证明，可得．④说明点不是线段的中点，即可判断．本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形以此来解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【详解】解：四边形都是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，故①正确，
，，
，
，
，故②正确，
，，
，，
，
，
，故③错误，
，
，，，四点共圆，
四边形的外接圆的圆心是线段的中点，显然点不是的中点，故④错误．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理及等腰三角形的定义，在中，，，在中．，，过点作于点，于点，设，利用勾股定理求出再根据，推出，构建关系式，可得结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【详解】解：如图，在中，，，在中．，，
，
过点作于点，于点，
设，
∵，
∴，
即，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，令，
则，
故，
整理得，
解得：（舍），
故，
故选：．
11．A
【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解．
【详解】解：由题意，在中，，由三角函数关系可知，
（米）．
故选．
12．D
【分析】分0≤t≤、＜t≤、＜t≤、＜t≤3四段，分别求出函数表达式即可求解．
【详解】解：①当0≤t≤时，
s＝×DP×CQ＝7t×6t＝21t2，
该函数为开口向上的抛物线；
②当＜t≤时，
s＝PQ×CD＝×（6t﹣7t+3）×3＝（3﹣t），
该函数的一次函数；
③当＜t≤时，如下图，
过点Q作GQ⊥AC于点G，作QH⊥BC于点H，
sinB＝＝，则QH＝BQsinB＝BQ，同理QG＝AQ，
则PC＝7t﹣6，PB＝8﹣7t+6＝14﹣6t，BQ＝t﹣8，AQ＝18﹣（t﹣8）＝26﹣t，
s＝S△ABC﹣（S△PDC+S△ADQ+S△BPQ）＝6×8[3×（7t﹣6）+（14﹣7t）（t﹣8）×+（26﹣t）×]＝﹣2.1t2﹣13.5t+9.6，
该函数为开口向下的抛物线；
④当＜t≤3时，
同理可得：s＝﹣t+，
该函数为一次函数；
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
13．
【分析】设高度为x，根据坡度比可得水平距离为，根据勾股定理列方程即可得到答案；
【详解】解：设高度为x，
∵坡度为，
∴水平距离为，
由勾股定理可得，
，
解得：，
∴水平距离为
故答案为：．
【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．
14．/
【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解．
【详解】解：在Rt△ABD中，
∵AD＝1，sinB＝，
∴AB＝3，
∴BD＝＝2.
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1，
∴BC＝CD＋BD＝1＋2．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，能正确利用边角关系是解题关键．
15．
【分析】根据正方形的性质证明、、，证得是等腰直角三角形．
【详解】连接：AF、AG、CG．
四边形ABCD为正方形．
，，．
在和中，
在和中，
，
，
在和中，
，
，
且
是等腰直角三角形．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形等，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
16．
【分析】过点作，垂足为，设在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而利用勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，再利用面积法求出，从而在在中，利用勾股定理求出，进而利用锐角三角函数的定义求出的值，最后利用等角的余角相等可得，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，设，
在中，，，
，，
是的中点，
，
的面积，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了复杂图形面积计算，正确作出辅助线，并证明为等边三角形是解题关键．连接，证明为等边三角形，易得，，利用三角函数解得，再求得，的值，然后由求解即可．
【详解】解：连接，如下图，
∵，
由平移可知，，即，
∵为中点，
∴垂直平分，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
18．约有118m.
【详解】试题分析：设，在Rt△FCG中表示出FG的长，继而得AE的长；在Rt△AEF中表示出AE的长，根据AE=EF列出方程，解得x的值，即可得该信号发射塔顶端到地面的高度的长.
试题解析：
设，
∵，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴．
19．(1)1250m
(2)见解析
【分析】（1）由题意先确定为直角三角形，然后结合三角函数值求解即可；
（2）构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴m，
∴隧道的长度为1250m；
（2）解：如图所示，在武昌岸边取一点，测得，
沿着方向行走至点，再沿着与平行的方向向右走至点，
测得，，
则，
∴，即：，
解得：，满足上述方程，
∴隧道的长度为m．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，以及相似三角形的实际应用，理解三角函数的基本定义，构造适当的直角三角形是解题关键，同时，熟练运用相似三角形的性质也是处理问题的关键．
20．泰姬陵的高度约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作，垂足为F，设的长为，则，根据等腰三角形的判定可得，由题意知：，，，即四边形是矩形，利用锐角三角函数可得，再求解即可．
【详解】解：过点A作，垂足为F．
设的长为，则．
在中，，，
∴．
∴．
由题意知：，，，
∴四边形是矩形．
∴，．
在中，，即，
∴．
在中，，即，
∴．
∵，
∴．
整理得，，
∴
答：泰姬陵的高度约为．
21．(1)
(2)
(3) 米
【分析】此题主要考查了阅读材料的能力，解直角三角形，模仿求的方法求出是解本题的关键．
（1）直接利用计算补充解题过程即可；
（2）作线段的中垂线，交上于点，则使，连接，得到，再同材料的解题思路即可求出答案；
（3）四边形是矩形，进而得出米，米，进而求出，即可求出答案．
【详解】（1）解：在上截取，再连结，
可证为等腰三角形，设，则，
∴．
（2）解：作线段的中垂线，交上于点 D，连接 ，则使，
，
设 则，
；
（3）解：由题意可得米，米，
在中,，，
，
，
(米),
(米)．
答:纪念碑的高度约为 米．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查三角函数的实际应用，准确认清线段关系，作出合适的直角三角形是解题的关键．
（1）过点作点所在铅垂线的垂线，垂足为，则，由三角形边角关系即可求出答案；
（2）连接，作垂直反向延长线于点，在中，由，，即可求出，从而得出答案．
【详解】（1）∵，与水平地面所成的角的度数为，
∴显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为．
过点作交点所成铅垂线的垂线，垂足为，则，
∵，
∴；
（2）如图，连接，作垂直反向延长线于点，

∵，为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴镜头到地面的距离为．
23．（1）见解析 （2）10
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE
∴∠DAF=∠EBF，
∵点F是AB的中点，
∴AF=FB，
∵∠AFD=∠EFB，
∴△AFD≌△BFE
∴AD=EB
∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形
∵BD=AD
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=，AB∥CD
∴∠ABE=∠DCB
∴tan∠ABE=tan∠DCB=2
∵四边形AEBD是菱形
∴AB⊥DE，AF=FB=，EF=DF，
∴tan∠ABE==2，
∴EF=
∴DE=
∴S菱形AEBD= AB DE==10．
【点睛】本题考查解直角三角形、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（1）证明见解析（2）相切（3）6
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OD，根据平行线的性质得到∠DFC＝∠ODF，根据切线的判定定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质和圆内接四边形的性质得到∠B＝∠EDO，根据余角的性质得到∠EDF＝∠CDF，得到DE＝CD，解直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴D为BC中点；
（2）连接OD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DF⊥AC，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（3）∵OD⊥DF，DF⊥AC，
∴AC∥OD，
∴∠AED+∠ODE＝180°，
∵∠AED+∠B＝180°，
∴∠B＝∠EDO，
∵∠EDF+∠EDO＝∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠EDF＝∠CDF，
∴DE＝CD，
∵⊙O的半径为5，tan∠C＝，
∴AB＝10，BD＝6，
∴DE＝CD＝BD＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
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