第二十七章相似同步练习（含解析）
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第二十七章相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和．已知，，，则（ ）
A．4 B．9 C．10 D．15
2．如图，∠AOB＝90°，且OA，OB分别与反比例函数y＝（x＞0）、y＝﹣（x＜0）的图象交于A，B两点，则sin∠OAB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小明想用太阳光测量房子的高，发现对面墙上有该房子的影子，小明边移动边观察，发现在点D处竖立一根长的木棍时，木棍落在墙上的影子与这房子落在墙上的影子重合且高度恰好相同，此时测得墙上影子高，，（点B，D，F在同一条直线上），则房子的高为（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个矩形 B．两个周长相等的直角三角形
C．两个正方形 D．两个等腰三角形
5．如图，在中，点分别在边上， ，则下列结论一定正确的是( )
A． B．
C． D．
6．两地实际距离是500 m，画在图上的距离是25 cm，若在此图上量得A、B两地相距为40 cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．800 m B．8000 m C．32250 cm D．3225 m
7．如图，已知，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是 ( )
A．两个等腰三角形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似的几何图形
C．位似图形对应顶点的连线一定不在同一直线上
D．位似图形一定是全等图形
10．如图，已知AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置，则AE的长度为( )
A． B． C．3 D．
11．如图，是边上的一点，的平分线交边于点，交于点，则图中一定相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12．如图，一张矩形纸片沿它的长边AD对折（折痕为EF），得到两个全等的小矩形，若小矩形与原来的矩形相似，那么原来矩形的长边与短边之比为（ ）
A．1：1 B．：1 C．：1 D．2：1
二、填空题
13．如图，已知，，则 ．
14．如图，为反比例函数（其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接，，且．过点作，交反比例函数（其中)的图象于点，连接交于点，则的值为 ．
15．已知且．若，则 ．
16．如图，在中，弦与相交于点P，已知，那么 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD⊥BC于点D，AD＝8，若点E是△ABC的重心，点F是△ACD的重心，则△AEF的面积为 ．
三、解答题
18．近两年兰州老街独特的灯会和风景吸引广大市民前往游玩，也带动了老街周边的小区，一栋栋高楼拔地而起．小明家在兰州老街旁边长城嘉峪苑，在学习了利用相似三角形测高后，小明想计算自己家所在这栋楼高．如图，小明（线段）利用所学到的知识，计算楼房（线段）的高度，他把一镜子放在E处（点B、E、D共线），此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C，若小明身高，测得，，求小明家所在这栋楼房有多高
19．如图，在中，．
(1)在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（）的条件下，若，求证：．
20．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．
21．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度．
22．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案．
甲同学的设计方案
图例
方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长．
已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？
23．如图，是的外按圆，是的直径，点D是外一点，平分，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，点E是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为10，，求的长．
24．如图（1），在⊙O中，AC是直径，AB，BD，CD是切线，点E为切点．
(1)求证：AB CDAC2；
(2)如图（2），连接AD，BC，交于点F，连接EF并延长，交AC于点G，求证：EF＝FG；
(3)如图（3），延长DB，CA，交于点P，连接CE，过点P作PQ⊥DO，交DO的延长线于点Q．若CD＝6，PE＝4，求OQ的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B A B A B D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据图示，可得，即，由此即可求解．
【详解】解：已知，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：C ．
2．B
【分析】根据反比例函数的几何意义，可求出△AOM，△BON的面积，由于∠AOB＝90°，可证出△AOM∽△BON，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而求出相似比，即直角三角形AOB两条直角边的比，可求出斜边，进而求sin∠OAB
【详解】过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOM＝×3＝，
∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BON＝×4＝2，
∵∠AOB＝90°
∴△BON∽△AOM，
∴（）2＝＝，
∴＝，
在Rt△AOB中，设OB＝2m，则OA＝m，
∴AB＝＝m，
∴sin∠OAB＝＝＝，
故选B．
【点睛】考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定、以及直角三角形的边角关系，把反比例函数的几何意义与相似三角形的性质和直角三角形的边角关系结合在一起是解决问题的关键．
3．C
【分析】延长、交于一点H，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：延长、交于一点H，如图所示：
设，由题意可知：，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
经检验是方程的解，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4．C
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【详解】A. 两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B. 两个周长相等的直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
C. 两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
D. 两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意.
故选C.
【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．
5．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得正确．
【详解】解：，，
，，
，
故选项正确，选项、、错误，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
6．A
【详解】试题解析：∵500m=50000cm，
∴25：50000=1：2000．
∵在图上A、B两地相距为40 cm，
∴40×2000=80000cm=800m．
故选A．
7．B
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，由，得，
根据性质的，再利用比例的性质得到，同理即可得出，从而求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质和比例的性质是解题的关键．
【详解】如图，设与相交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
解得，
故选：．
8．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得和，进而代入数值求解即可．
【详解】解：∵∥，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵∥，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出AE的长是解题关键．
9．B
【分析】位似图形的概念是如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相 平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形图形．
【详解】A. 若两个等腰三角形中的角不相等，所以其不相似，所以其更不是位似图形，故本选项错误；
B.位似图形即相似图形，所以其一定是形状相同的几何图形，故本选项正确.
C. 位似图形对应的顶点的连线一定在同一直线上，否则其不为位似图形，故本选项错误；
D. 位似图形必是相似图形，但不一定是全等三角形，故本选项错误；
故选:B.
【点睛】考查了位似图形的基本性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.
10．D
【分析】利用矩形的性质、折叠的性质，以及勾股定理求出FD，AF的长，再证明△AFE∽△DFB，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解： 设FD=x，则AF=4﹣x，
∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置，
∴∠FBD=∠DBC，BE=BC，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠DBC，BE=AD，
∴∠ADB=∠FBD，
∴FB=FD=x，
在直角△AFB中，x2=(4﹣x)2+32，
解之得，x=，AF=4﹣x=，
∵BE=AD，FB=FD，
∴AF=EF，
∴，
∵∠AFE=∠DFB，
∴△AFE∽△DFB，
∴，
∴，
解得AE=．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
11．C
【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成．
【详解】在与中，
∵，
∴，
在与中，
∵平分，
∴，
又，
∴．
∵,
∴,
∵,
∴，
所以图形中共有3对相似三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点．
12．B
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得，（负值舍去）
∴x：y＝：1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例，列出比例式求值．
13．/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键.，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
14．
【分析】过点作轴，垂足为点，交于点，根据三线合一可得，，，利用平行线即可求出MH从而求出AM，再根据平行线即可证出，列出比例式即可求出的值．
【详解】解：过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示．
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为
【点睛】此题考查的是反比例函数与图形题，掌握利用反比例函数求点的坐标和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
15．
【分析】根据题意得，然后问题可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
16．6
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，连接，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
即，解得，，
故答案为：6．
17．
【分析】延长交于点，先利用勾股定理可得，再根据三角形重心的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，最后根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
点是的重心，点是的重心，
，
，，
又，
，
，
，
解得，
则的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键．
18．小明家所在这栋楼房有87米高
【分析】证明，得到，求出．
【详解】解：由已知可得，
又∵，
∴
∴，
∴，
解得
∴小明家所在这栋楼房有87米高．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
19．(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）作的角平分线与的交点即为点；
（）证明即可求证；
本题考查了角平分线的作法，相似三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
由（）得，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
20．宽为120米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过F作于G，则，证明，可得，再，得到，即可解答，熟练证明三角形相似是解题的关键.
【详解】解：如图所示，过F作于G，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴河宽为120米.
21．这个建筑物的高度为12米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案．
【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G，
由题意，得厘米米，米，厘米米，
，
，
，
，
米．
答：这个建筑物的高度为12米．
22．
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，由，则，即可求出即可．
【详解】解：如图，作于点D，延长线交于点E，
由题意知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
∴镜长至少为
23．(1)见解析
(2)3.6
【分析】（1）如图所示，连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角推出，则，即可证明，则是的切线；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得到，再证明是的中位线，得到，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，，
，
，即，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质与判定，等边对等角，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1中，连接OB，OE，OD．证明△OEB∽△DEO即可解决问题．
（2）首先证明EG∥CD，再证明即可．
（3）如图3中，连接OE，设OD交EC于J．解直角三角形求出PC，OE，OC，DJ，OJ，再利用平行线分线段成比例定理求出JQ即可．
【详解】（1）证明：如图1中，连接OB，OE，OD．
∵AB，CD，BD是⊙O的切线，AC是直径，
∴AB⊥AC，CD⊥AC，OE⊥BD，AB＝BE，DC＝DE，∠OBA＝∠OBE，∠ODE＝∠ODC，
∴AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠OBD+∠ODB（∠ABD+∠CDB）＝90°，
∵∠OEB＝∠OED＝90°，
∴∠EBO+∠EOB＝90°，∠BOE+∠EOD＝90°，
∴∠OBE＝∠EOD，
∴△OEB∽△DEO，
∴，
∴OE2＝BE DE，
∴AB CDAC2．
（2）证明：如图2中，
∵AB∥CD，
∴，
∵AB＝BE，CD＝DE，
∴，
∴EF∥CD，
∴EG∥CD∥AB，
∴，，，
∴，
∴EF＝FG．
（3）解：如图3中，连接OE，设OD交EC于J．
∵CD＝DE＝6，PE＝6，
∴PD＝DE+PE＝10，
在Rt△PCD中，∵∠PCD＝90°，
∴PC8，
设OC＝OE＝x，
在Rt△POE中，∵∠PEO＝90°，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴OD3，
∵DE＝DC，OE＝OC，
∴OD垂直平分线段EC，
∴EJ＝JC，
∴OJ，
∴DJ＝OD﹣OJ，
∵PQ⊥DQ，EC⊥DQ，
∴EJ∥PQ，
∴，
∴，
∴JQ，
∴OQ＝JQ﹣OJ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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第二十七章相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和．已知，，，则（ ）
A．4 B．9 C．10 D．15
2．如图，∠AOB＝90°，且OA，OB分别与反比例函数y＝（x＞0）、y＝﹣（x＜0）的图象交于A，B两点，则sin∠OAB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小明想用太阳光测量房子的高，发现对面墙上有该房子的影子，小明边移动边观察，发现在点D处竖立一根长的木棍时，木棍落在墙上的影子与这房子落在墙上的影子重合且高度恰好相同，此时测得墙上影子高，，（点B，D，F在同一条直线上），则房子的高为（ ）
A． B． C． D．
4．下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个矩形 B．两个周长相等的直角三角形
C．两个正方形 D．两个等腰三角形
5．如图，在中，点分别在边上， ，则下列结论一定正确的是( )
A． B．
C． D．
6．两地实际距离是500 m，画在图上的距离是25 cm，若在此图上量得A、B两地相距为40 cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．800 m B．8000 m C．32250 cm D．3225 m
7．如图，已知，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与相交于点，点在线段上，且．若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是 ( )
A．两个等腰三角形一定是位似图形
B．位似图形一定是相似的几何图形
C．位似图形对应顶点的连线一定不在同一直线上
D．位似图形一定是全等图形
10．如图，已知AB=3，BC=4，将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置，则AE的长度为( )
A． B． C．3 D．
11．如图，是边上的一点，的平分线交边于点，交于点，则图中一定相似三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12．如图，一张矩形纸片沿它的长边AD对折（折痕为EF），得到两个全等的小矩形，若小矩形与原来的矩形相似，那么原来矩形的长边与短边之比为（ ）
A．1：1 B．：1 C．：1 D．2：1
二、填空题
13．如图，已知，，则 ．
14．如图，为反比例函数（其中)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，．连接，，且．过点作，交反比例函数（其中)的图象于点，连接交于点，则的值为 ．
15．已知且．若，则 ．
16．如图，在中，弦与相交于点P，已知，那么 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD⊥BC于点D，AD＝8，若点E是△ABC的重心，点F是△ACD的重心，则△AEF的面积为 ．
三、解答题
18．近两年兰州老街独特的灯会和风景吸引广大市民前往游玩，也带动了老街周边的小区，一栋栋高楼拔地而起．小明家在兰州老街旁边长城嘉峪苑，在学习了利用相似三角形测高后，小明想计算自己家所在这栋楼高．如图，小明（线段）利用所学到的知识，计算楼房（线段）的高度，他把一镜子放在E处（点B、E、D共线），此时小明通过镜子刚好可以看到大楼的顶端C，若小明身高，测得，，求小明家所在这栋楼房有多高
19．如图，在中，．
(1)在线段上作点，使得点到的距离与点到的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（）的条件下，若，求证：．
20．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．
21．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度．
22．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案．
甲同学的设计方案
图例
方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长．
已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？
23．如图，是的外按圆，是的直径，点D是外一点，平分，过点A作直线的垂线，垂足为点D，连接，点E是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为10，，求的长．
24．如图（1），在⊙O中，AC是直径，AB，BD，CD是切线，点E为切点．
(1)求证：AB CDAC2；
(2)如图（2），连接AD，BC，交于点F，连接EF并延长，交AC于点G，求证：EF＝FG；
(3)如图（3），延长DB，CA，交于点P，连接CE，过点P作PQ⊥DO，交DO的延长线于点Q．若CD＝6，PE＝4，求OQ的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B A B A B D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据图示，可得，即，由此即可求解．
【详解】解：已知，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：C ．
2．B
【分析】根据反比例函数的几何意义，可求出△AOM，△BON的面积，由于∠AOB＝90°，可证出△AOM∽△BON，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而求出相似比，即直角三角形AOB两条直角边的比，可求出斜边，进而求sin∠OAB
【详解】过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOM＝×3＝，
∵点B在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BON＝×4＝2，
∵∠AOB＝90°
∴△BON∽△AOM，
∴（）2＝＝，
∴＝，
在Rt△AOB中，设OB＝2m，则OA＝m，
∴AB＝＝m，
∴sin∠OAB＝＝＝，
故选B．
【点睛】考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定、以及直角三角形的边角关系，把反比例函数的几何意义与相似三角形的性质和直角三角形的边角关系结合在一起是解决问题的关键．
3．C
【分析】延长、交于一点H，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：延长、交于一点H，如图所示：
设，由题意可知：，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
经检验是方程的解，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4．C
【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解．
【详解】A. 两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
B. 两个周长相等的直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
C. 两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意；
D. 两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意.
故选C.
【点睛】此类题目主要考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．
5．B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得正确．
【详解】解：，，
，，
，
故选项正确，选项、、错误，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，找准对应边是解题的关键．
6．A
【详解】试题解析：∵500m=50000cm，
∴25：50000=1：2000．
∵在图上A、B两地相距为40 cm，
∴40×2000=80000cm=800m．
故选A．
7．B
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，由，得，
根据性质的，再利用比例的性质得到，同理即可得出，从而求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质和比例的性质是解题的关键．
【详解】如图，设与相交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
解得，
故选：．
8．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得和，进而代入数值求解即可．
【详解】解：∵∥，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵∥，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理求出AE的长是解题关键．
9．B
【分析】位似图形的概念是如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相 平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形图形．
【详解】A. 若两个等腰三角形中的角不相等，所以其不相似，所以其更不是位似图形，故本选项错误；
B.位似图形即相似图形，所以其一定是形状相同的几何图形，故本选项正确.
C. 位似图形对应的顶点的连线一定在同一直线上，否则其不为位似图形，故本选项错误；
D. 位似图形必是相似图形，但不一定是全等三角形，故本选项错误；
故选:B.
【点睛】考查了位似图形的基本性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.
10．D
【分析】利用矩形的性质、折叠的性质，以及勾股定理求出FD，AF的长，再证明△AFE∽△DFB，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解： 设FD=x，则AF=4﹣x，
∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置，
∴∠FBD=∠DBC，BE=BC，
∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠DBC，BE=AD，
∴∠ADB=∠FBD，
∴FB=FD=x，
在直角△AFB中，x2=(4﹣x)2+32，
解之得，x=，AF=4﹣x=，
∵BE=AD，FB=FD，
∴AF=EF，
∴，
∵∠AFE=∠DFB，
∴△AFE∽△DFB，
∴，
∴，
解得AE=．
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
11．C
【分析】由已知条件和有两个角对应相等的三角形相似即可完成．
【详解】在与中，
∵，
∴，
在与中，
∵平分，
∴，
又，
∴．
∵,
∴,
∵,
∴，
所以图形中共有3对相似三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，根据条件寻找相似三角形是本题的难点．
12．B
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得，（负值舍去）
∴x：y＝：1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例，列出比例式求值．
13．/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键.，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
，
即，
故答案为：．
14．
【分析】过点作轴，垂足为点，交于点，根据三线合一可得，，，利用平行线即可求出MH从而求出AM，再根据平行线即可证出，列出比例式即可求出的值．
【详解】解：过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示．
，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为
【点睛】此题考查的是反比例函数与图形题，掌握利用反比例函数求点的坐标和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．
15．
【分析】根据题意得，然后问题可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
16．6
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，连接，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
即，解得，，
故答案为：6．
17．
【分析】延长交于点，先利用勾股定理可得，再根据三角形重心的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，最后根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
点是的重心，点是的重心，
，
，，
又，
，
，
，
解得，
则的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键．
18．小明家所在这栋楼房有87米高
【分析】证明，得到，求出．
【详解】解：由已知可得，
又∵，
∴
∴，
∴，
解得
∴小明家所在这栋楼房有87米高．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
19．(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）作的角平分线与的交点即为点；
（）证明即可求证；
本题考查了角平分线的作法，相似三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
由（）得，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
20．宽为120米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过F作于G，则，证明，可得，再，得到，即可解答，熟练证明三角形相似是解题的关键.
【详解】解：如图所示，过F作于G，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴河宽为120米.
21．这个建筑物的高度为12米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案．
【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G，
由题意，得厘米米，米，厘米米，
，
，
，
，
米．
答：这个建筑物的高度为12米．
22．
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，由，则，即可求出即可．
【详解】解：如图，作于点D，延长线交于点E，
由题意知，，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
∴镜长至少为
23．(1)见解析
(2)3.6
【分析】（1）如图所示，连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角推出，则，即可证明，则是的切线；
（2）先由直径所对的圆周角是直角得到，再证明是的中位线，得到，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，，
，
，即，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质与判定，等边对等角，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图1中，连接OB，OE，OD．证明△OEB∽△DEO即可解决问题．
（2）首先证明EG∥CD，再证明即可．
（3）如图3中，连接OE，设OD交EC于J．解直角三角形求出PC，OE，OC，DJ，OJ，再利用平行线分线段成比例定理求出JQ即可．
【详解】（1）证明：如图1中，连接OB，OE，OD．
∵AB，CD，BD是⊙O的切线，AC是直径，
∴AB⊥AC，CD⊥AC，OE⊥BD，AB＝BE，DC＝DE，∠OBA＝∠OBE，∠ODE＝∠ODC，
∴AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴∠OBD+∠ODB（∠ABD+∠CDB）＝90°，
∵∠OEB＝∠OED＝90°，
∴∠EBO+∠EOB＝90°，∠BOE+∠EOD＝90°，
∴∠OBE＝∠EOD，
∴△OEB∽△DEO，
∴，
∴OE2＝BE DE，
∴AB CDAC2．
（2）证明：如图2中，
∵AB∥CD，
∴，
∵AB＝BE，CD＝DE，
∴，
∴EF∥CD，
∴EG∥CD∥AB，
∴，，，
∴，
∴EF＝FG．
（3）解：如图3中，连接OE，设OD交EC于J．
∵CD＝DE＝6，PE＝6，
∴PD＝DE+PE＝10，
在Rt△PCD中，∵∠PCD＝90°，
∴PC8，
设OC＝OE＝x，
在Rt△POE中，∵∠PEO＝90°，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴OD3，
∵DE＝DC，OE＝OC，
∴OD垂直平分线段EC，
∴EJ＝JC，
∴OJ，
∴DJ＝OD﹣OJ，
∵PQ⊥DQ，EC⊥DQ，
∴EJ∥PQ，
∴，
∴，
∴JQ，
∴OQ＝JQ﹣OJ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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