26.1反比例函数同步练习（含解析）

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26.1反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若双曲线 过两点,，则 与 的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．与大小无法确定
2．如图，已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、B的坐标分别是（0，3）、（3，0），∠ABC=90°AC=，则函数的图象经过点C，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．如图所示（图像在第二象限），若点在反比例函数的图像上，轴于点，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若点（1，），（2，），（-3，）在图象上，则大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为D，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点C的坐标为．其中正确的是（ ）

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．若，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，则反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．若点、都在反比例函数的图象上，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
12．如图，已知点A在反比例函数上，点B，C在x轴上，使得，点D在线段上，也在反比例函数的图象上，且满足，连接并延长交y轴于点E，若的面积为6，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式的解集为 ．

14．在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则 (填“＞”，“＜”或“＝”)．
15．如图，反比例函数（k≠0）与正比例函数y＝mx（m≠0）的图像交于点A，点B．AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，，则k＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x0）分别与边AB、边BC相交于点E、点F，且点E、点F分别为AB、BC边的中点，连接EF．若△BEF的面积为3，则k的值是 ．

17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ．
三、解答题
18．如图，在直角坐标系中 位于第一象限，两条直角边 、 分别平行于 轴、 轴，顶点 的坐标为，，.
(1)若反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的解析式；
(2)通过计算判断点 是否在该函数的图像上；
(3)若反比例函数 的图像与 有公共点， 的最小值为 ，最大值为 ．
19．初三某班同学小代想根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，下面是他的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是 ;
（2）下表是函数与自变量的几组对应值：
-3 -2 -1 0 1 3 4 5 6 7
0.6 m 1 1.5 3 n 1.5 1 0.75 0.6
则m= ,n= ；
（3）在平面直角坐标系xoy中，补全此函数的图象:
（4）根据函数图象，直接写出不等式的解集 ;
（5）若函数与函数y＝x＋k图象有三个不同的交点，则k的取值范围是 .
20．已知反比例函数的图象的一支如图所示，它与直线交于点，.

(1)在图中，补画该反比例函数图象的另一支，并求的值；
(2)当时，求函数值的取值范围；
(3)观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围.
21．如图，反比例函数（n为常数，）的图象与一次函数（k、b为常数，）的图象在第一象限内交于点，一次函数与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知，．
(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
(2)若点P在反比例函数第一象限的图像上且使得面积为面积的2倍，求满足条件的P点坐标．
22．南宁市五象新区有长24000m的新建道路要铺上沥青
（1）写出铺路所需时间t(天)与铺路速度v(m/天)的函数关系式
（2）负责铺路的工程公司现有的铺路机每天最多能铺路400m，预计最快多少天可以完成铺路任务？
（3）为加快工程进度，公司决定投入不超过400万元的资金，购进10台更先进的铺路机．现有甲、乙两种机器可供选择，其中每种机器的价格和日铺路能力如下表．在原有的铺路机连续铺路40天后，新购进的10台机器加入铺路，公司要求至少比原来预计的时间提前10天完成任务．问有哪几种方案？请你通过计算说明选择哪种方案所用资金最少．
甲 乙
价格(万元/台) 45 25
每台日铺路能力(m) 50 30
23．【阅读理解】如图1，在平面直角坐标系中，直线l的函数关系式，、是直线l上任意两个不同的点，过点、分别作y轴、x轴的平行线交于点G，则线段，，于是有，即的值仅与k的值有关，不妨称为直线l：的“纵横比”．
【直接应用】（1）直线的“纵横比”为__________；直线的“纵横比”为________．
【拓展提升】（2）如图2，已知直线与直线互相垂直，请用“纵横比”原理以及相关的几何知识分析k与m的关系，并加以证明．（可用以下结论：如图，在中，，是斜边上的高，则有）
【综合应用】（3）如图3，已知，P是y轴上一动点，线段绕着点P按逆时针方向旋转至线段，设此时点B的运动轨迹为直线l，若另一条直线．且与有且只有一个公共点，试确定直线m的函数关系式．
24．如图1，正方形ABCD的边长为4，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系反比例函数的图象与CD交于E点，与CB交于F点．
（1）求证：；
（2）若的面积为6，求反比例函数的解析式；
（3）在(2)的条件下，将沿x轴的正方向平移1个单位后得到，如图2，线段与相交于点M，线段与BC相交于点N．求与正方形ABCD的重叠部分面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B D D B D A C
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】根据反比例函数的性质判断即可.
【详解】解：∵2＞0
∴反比例函数在每一象限内y随x增大而减小
∵
∴
故选B.
【点睛】此题考查的是反比例函数图像的性质，掌握当k＞0时，在每一象限内y随x增大而减小是解决此题的关键
2．B
【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA=OB=3，进而可求出AB，由勾股定理可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点C的坐标，再求出k的值．
【详解】解：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵A、B的坐标分别是（0，3）、（3，0），∠AOB=90°，
∴OA=OB=3，∠OBA=45°，
∴AB=，
∵∠ABC=90°，AC=，
∴BC=.
∵CD⊥x轴，
∴∠CDB=90°，∠CBD=，
∴△BCD是等腰直角三角形，
则设BC=CD=x，
∴，
解得：；
∴点C的坐标为：（4，1），
∵点C在反比例函数上，
∴；
故选择：B.
【点睛】直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题必备知识，恰当的将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决．
3．D
【分析】根据反比例函数k的几何意义，根据可得，再根据图象在第一象限即可得到结果；
【详解】∵是上一点，轴，，
∴，
∴，
解得：，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴．
故答案选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，结合函数图象所在的象限判断k的值是重点．
4．B
【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解．
【详解】解：解方程组 得
即：正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于两点的坐标分别为A（1，1）C（﹣1，﹣1）
所以D点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（1，0）
因为，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D
所以，△ABD与△BCD均是直角三角形
则：S四边形ABCD＝BD AD+BD CD＝×2×1+×2×1＝2，
即：四边形ABCD的面积是2．
【点睛】此题主要考查函数解析式与方程之间的关系，正确理解他们的关系是解题关键．
5．D
【分析】本题考查反比例函数中的几何意义（即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为），过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，据此解答即可．正确理解的几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵轴于点，的面积为，
∴，即，
∴，
又∵图像在二象限，
∴，
∴．
故选：D．
6．D
【分析】直接把点（1，），（2，），（-3，）代入函数解析式，求出y1，y2，y3的值，并比较出其大小即可．
【详解】∵点（1，），（2，），（-3，）均在反比例函数图象上，
∴，
，
，
∴＜＜．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．B
【分析】利用反比例函数的轴对称性质，正方形的轴对称性质，得到图形关于一三象限平分线轴对称，得到边长关系，判断出①正确，③错误；
再由反比例函数的几何性质得到，割补法转换面积，判断②正确；
再由④中的长度和角度关系，构造直角三角形进行勾股计算得到长度，判断④正确．
【详解】反比例函数图像关于一三象限平分线轴对称，正方形关于所在直线轴对称，
又，故点B在一三象限平分线上，
反比例函数图像与正方形的组合图形关于所在直线轴对称，点C与A对应，点M与N对应，
，；
又，，
，①正确，
，非，③错误；
，，
，去除重合部分，
，
，②正确；
由轴对称性质得到， ，
中，
在上取点，使，设，

得到，，
得，
，
得，故，④正确．
综上所述，正确的为①②④，
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数结合几何图形，考查反比例函数的轴对称特性，以及含有特殊角的三角形的边长的计算，利用几何特性进行转换计算是解题的关键．
8．D
【分析】根据反比例函数和一次函数的图像和性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意，
∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，掌握它们的性质是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出，，，，从而得出，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，抛物线对称轴在轴右侧，交轴于负半轴，与轴有个交点，
，，，，
，
，
一次函数的图象经过第一、二、三象限，
在抛物线中，当时，，
反比例函数经过第一、三象限，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了二次函数图象，反比例函数的图象，根据二次函数的图象与轴的正半轴相交，其对称轴在轴的右侧，可知，，据此进行判断即可求解，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的正半轴相交，
∴，
∵二次函数的对称轴在轴的右侧，
∴对称轴，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，
二次函数的图象经过原点，且开口向上，对称轴，在轴的左侧，
故选：．
11．B
【分析】根据解析式，将自变量值代入解析式求函数值比较．
【详解】解：由题知，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，求函数值，理解根据解析式求函数值是解题的关键．
12．C
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．连接，先根据、三角形的面积公式求出的面积，从而可得的面积，再利用三角形的面积公式可得，设点的坐标为，则，然后根据即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，，
设，则，
，
，
解得，
与是同底等高的三角形，
，
，即，
设点的坐标为，则，
则，
故选：C．
13．，
【分析】将不等式变形为，根据A、B两点的横坐标和图象，直观得出一次函数值大于或等于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【详解】解：由，则
实际上就是一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量x的取值范围，
根据图象可得，其解集有两部分，即：，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，通过图象直接得出一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量x的取值范围是解题关键．
14．＞
【分析】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，比较简单．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在一、三象限，
，
∴点在第一象限，随的增大而减小，
，
故答案为：．
15．-2
【分析】首先由题意可得点A和点B关于原点对称，再根据三角形全等可得，最后根据k的几何意义可得答案．
【详解】解：∵点A、B是反比例函数与正比例函数的交点，
∴点A和点B关于原点对称，
∴OA＝OB，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∵，
∴，
∵反比例函数图像位于第二象限，
∴k＝-2．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解题的关键．
16．12
【分析】设B点的坐标为（a，b），根据中点求得E、F的坐标，再把E、F坐标代入反比例函数解析式，得k与a、b的关系式，再根据△BEF的面积为3，列出a、b的方程，求得ab，便可求得k．
【详解】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵点E、点F分别为AB、BC边的中点，
∴E（，b），F（a，b），
∵E、F在反比例函数的图象上，
∴＝k，
∵S△BEF＝3，
∴＝3，即＝3，
∴ab＝24，
∴k＝ab＝12
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查矩形的性质和反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题关键．
17．或
【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：将点代入反比例函数得：，
解得：，
∴反比例函数为，
将点代入得：
∴点的坐标是，
∴要使得不等式，只需要一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合两个函数图象的交点，可得：或
故答案为：或
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
18．(1)反比例函数的解析式为
(2)点在函数的图像上；
(3)，
【分析】（1）根据顶点B的坐标为，，得出点、的坐标分别为、，将点代入反比例函数解析式，即可求解；
（2）将当时，，得出点在函数的图像上；
（3）根据反比例函数图像的性质，当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，分别待定系数法求反比例函数解析式即可求解．
【详解】（1）∵两条直角边、分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为，，.
∴点、的坐标分别为、，
∵（）的图像经过点，
∴.
∴反比例函数的解析式为，
（2）∵点，当时，，
∴点在函数的图像上；
（3）∵当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，
∴当反比例函数的图像经过点时，，解得；
当经过点B时，，解得，
∴ 的最小值为，最大值为
故答案为： ，．
【点睛】本题考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
19．（1）；（2）m=0.75,n= 3；（3）在平面直角坐标系xoy中，补全此函数的图象见解析；（4）；（5）.
【分析】（1）根据分母不能为0确定自变量的取值范围；
（2）把x=-2,3分别代入可求得m,n的值；
（3）把两组点分别顺次连接可得图象；
（4）作出函数y=x-2的图象，得直线与的交点的横坐标为x=2+.根据图象可得到不等式的解集；
（5）直线y=x+k与右边曲线总有一个交点，故可求当直线与左边曲线有一个交点时k的值，将直线向上平移就会满足题中有三个交点的条件，从而得到k的取值范围.
【详解】（1）根据分母不能为0得│x-2│≠0，解得： ；
（2）将x=-2代入，得y=0.75,即m=0.75;
将x=3代入，得y=3,即n=3;
故答案为m= 0.75 ,n= 3 ；
（3）如图所示:
（4）如图，作出函数y=x-2的图象，这条直线与的交点的横坐标为x=2+.
观察图象可得，不等式的解集为或.
（5）由（4）的结论可知，直线y=x+k与的图象的右边的曲线总有一个交点，故考虑当x＜2时，直线y=x+k与的图象的左边的曲线的交点情况.
∵x＜2,∴，列方程＝x+k，
整理得，
当时，方程有唯一解，直线与左边曲线有一个交点，直线继续往上平移，会有两个交点.
∴
解得 (由图像知不合题意舍去)
所以当时，直线y=x+k与共有三个不同的交点.
故答案为.
【点睛】本题主要考查函数与方程的结合，根的判别式的应用，根据定义作出函数的图象，利用数形结合思想是解决本题的关键.
20．(1)图见解析，；
(2)当时，；
(3)或.
【分析】（1）根据反比例函数的图像关于原点对称即可画出另一支，将点代入中，得到反比例函数解析式，再代入，即可求得m的值；
（2）直接根据反比例函数的增减性即可求解；
（3）画出一次函数的图象，根据图象即可解答．
【详解】（1）解：如图；

将代入中，得，将代入中，得；
（2）解：当时，，当时，，
∴当时，；
（3）解：的图象与直线交于点，，作图如下：

由图可得：当时自变量的取值范围：或．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键．
21．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点、用待定系数法求函数解析式、三角形面积的计算等知识；解题的关键是：
（1）先求出点A、B的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式，再求出点C的坐标，根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先出点D的坐标，过点P作轴交于点Q，设，则，然后根据面积为面积的2倍构建关于p的方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，即，
解得，
∴，
∴，，
把A、B的坐标代入，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
∵在的图象上，
∴，
解得，
∴，
把代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：联立方程组，
解得或，
∴，
过点P作轴交于点Q，
设，则，
根据题意，得，
解得，（舍去），， （舍去），
∴当点P的坐标为或时，面积为面积的2倍．
22．（1）（2）60（3）见解析
【分析】（1）根据s＝vt的关系可以列出函数关系式；
（2）把v＝400代入（1）所列的函数关系式即可；
（3）首先设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（10 x）台，根据关键性语句：①投入不超过400万元的资金②原有的铺路机连续铺路40天后，新购进的10台机器加入铺路，公司要求至少比原来预计的时间提前10天完成任务．可得不等式，然后解出不等式组，求出整数解即可．
【详解】（1）铺路所需要的时间t与铺路速度V之间的函数关系式是.
（2）当v=400时，=60（天）
（3）解：设可以购买甲种机器x台，则购买乙种机器（10-x）台，则有
解之，得5≤x≤.
因此可以购买甲种机器5台、乙种机器5台；甲种机器6台、乙种机器4台；甲种机器7台，乙种机器3台；总共三种方案．
第一种方案所花费费用为：45×5＋25×5＝350万；
第二种方案花费为：6×45＋4×25＝370万；
第三种方案花费为：7×45＋3×25＝390万，因此选择第一种方案花费最少．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解决问题的关键是根据题意设出未知数，找出关键性语句列出不等式．
23．（1）2，；（2）km=-1；（3）或
【分析】（1）根据“纵横比”的定义求解即可．
（2）如图2中，直线与直线的交点为，过点作于，设直线交轴于点，直线交轴于．根据“纵横比”的定义以及题干所给结论求解即可．
（3）如图3中，过点作轴于．设，．利用全等三角形的性质，确定点的运动轨迹，求出直线的解析式，利用（2）中结论，设直线的解析式为，构建方程组，利用判别式的值为0，求出的值即可．
【详解】解：（1）由题意，直线的“纵横比”为2；直线的“纵横比”为．
故答案为：2，．
（2）如图2中，直线与直线的交点为，过点作于，设直线交轴于点，直线交轴于．
由题意，，
，
，，
，
．
（3）如图3中，过点作轴于．设，．
，，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
点在直线上运动，
直线，
可以假设直线的解析式为，
由，消去得到，，
直线与有且只有一个公共点，
，
，
直线的解析式为或．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了“纵横比”的定义，两条直线垂直的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．（1）证明见解析；（2）反比例函数解析式为；（3）=．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得出，故可得出结论；
（2）设，则，，再由即可得出a的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（3）根据题意求得N点的坐标，再求出直线的解析式，进而得到M点的坐标，然后由阴影部分分解图形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意知：，
∴，
∴
在和中
∴≌（SAS）
∴．
（2）由（1）知：
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴反比例函数解析式为：．
（3）由题意得：，，
由（1）知：
∴
设直线的解析式为：
把点，代入得：
解之得：
∴
∴
∴
=．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质及梯形的面积公式等知识，在解答此题时要注意整体思想的运用．
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