27.3位似同步练习（含解析）
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27.3位似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点对应大鱼上的点（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点A，O，三点在同一条直线上
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的周长为6，则的周长是（ ）
A．16 B．9 C．6 D．4
5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
6．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（9，3） B．（3，3） C．（6，6） D．（6，4）
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则边的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若， 点， 则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为（ ）
A．2 B．0.5 C．4 D．0.25
12．如图所示，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，若矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为，则C、F之间的距离为( )
A． B．2 C．3 D．12
二、填空题
13．如图，线段AB的两个端点坐标分别为，．以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，若，则端点D的坐标为 ．
14．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．若以原点为位似中心，将放大到原来的倍得到，则落在第四象限的点的坐标是 ．
15．如图，DC∥AB，OA=2OC，，则与的位似比是 ．
16．三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是 ．
17．中，的坐标是，以原点为位似中心，将三角形缩小到原来，则对应点的的坐标是 ．
三、解答题
18．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：写出的值．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值．
19．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．（铅笔作图确认无误后请用黑色中性笔再次涂描）
(1)画出关于轴成轴对称的；
(2)在第三象限画出，使它与位似，以点为位似中心，且位似比为2，并写出的坐标．
20．综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
21．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP图1
图2
（1）求证：；
（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F.若tan∠PAD=，求的值.
22．【变式训练】
如图1，将一个直角三角板的直角顶点放在正方形的对角线上滑动，并使其一条直角边始终经过点，另一条直角边与相交于点.
（1）求证：；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且，，求；
（3）在（2）的条件下，当滑动到的延长线上时，如图3，的值是否变化？证明你的结论.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D C A C B D B
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．
【详解】解：∵大鱼与小鱼是位似图形，
由图形知一组对应点的坐标分别为（2，0），（-1，0）
∴位似比等于2：1
∴小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是（-2a，-2b）．
故选：A．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比；在直角坐标系中，对应点的坐标也满足相似比．
2．A
【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．
【详解】∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴，，，点A，O，三点在同一条直线上．
∴，
综上，只有选项A错误，符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
3．D
【分析】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵与关于原点成位似关系，
∴相似比，
∵点F是点C的对应点，点C的坐标为，
∴点F的坐标为，即，
故选：D．
4．D
【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：和是位似图形，位似比为，
和的相似比为，
的周长的周长，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
5．C
【分析】根据相似多边形的性质得到两个正方形的相似比为，根据正方形的性质求出点的坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：正方形与正方形是位似图形，
正方形正方形，
两个正方形的面积之比为，
两个正方形的相似比为，
点的坐标为，四边形为正方形，
点的坐标为，
正方形与正方形是位似图形，为位似中心，
点的坐标为，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似多边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
6．A
【分析】设位似比例为k，先根据周长之比求出k的值，再根据点B的坐标即可得出答案．
【详解】设位似图形的位似比例为k
则
和的周长之比为
，即
解得
又点B的坐标为
点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为
点位于第四象限
点的坐标为
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．
7．C
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD．
∵点A的坐标为（2，2），∴点C的坐标为（2×3，2×3），即（6，6）．
故选C．
【点睛】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
8．B
【分析】根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
，
相似比为，，
，
，
，
正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的基本性质．
9．D
【分析】本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案．
【详解】解：，
的坐标为或，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似图形的概念得到，相似比为，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：，
，
与是以原点为位似中心的位似图形，
，且相似比为，
的坐标为，
点的坐标为，，即．
故选：B．
11．C
【分析】根据相似三角形的面积比等于边长比的平方可以得解．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比（或边长比）的平方是解题关键．
12．A
【分析】连接AF、FC，根据位似变换的性质得到A、F、C在同一条直线上，根据勾股定理求出AC，根据位似比计算即可．
【详解】解：连接AF、FC，
∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，
∴A、F、C在同一条直线上，EF∥BC，
∵AB=9，BC=6，
∴AC=，
∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为，
∴CF=AC=，
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换的性质、矩形的性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
13．
【分析】利用线段长的关系得出位似比，进而求出D点坐标即可．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为、
∴AB＝2，
∵以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，DE＝1，
∴两图形的位似比为
∴端点D的坐标为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题的关键．
14．
【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可得出的坐标．根据已知得出对应点之间的关系是解题关键．
【详解】解：∵，以原点为位似中心，将放大到原来的倍得到，
∴落在第四象限的的坐标是：．
故答案为：．
15．1︰2
【分析】先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OCD与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA＝．
【详解】∵DC∥AB，
∴△OAB∽△OCD，
∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，
∴△OCD与△OAB的位似，
∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA＝.
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
16．
【分析】由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比．
【详解】解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），∴△A′B′C′与△ABC的位似比是：1：3．
故答案为1：3．
【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．
17．或
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k求解．
【详解】根据题意得对应点的A′的坐标为(×3,×6)或( ×3, ×6)，
即A′的坐标为或
故答案为:或
【点睛】考查位似变换，位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
18．；（1）；（2）
【分析】如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，易证△AEP≌△CEF，根据全等三角形的性质可得AP=FC，又因PD∥FC，可得△BDP∽△BCF，由相似三角形的性质可得，由此即可求得的值．（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，可得△AFE∽△CBE，根据相似三角形的性质可得,设AF＝3x，BC＝2x，由可得BD＝3x，所以AF＝BD＝3x，再证明△AFP∽△DBP，即可得；（3）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，可得△BCF∽△BDP，根据相似三角形的性质可得，设CF＝2x，PD＝3x，再证明△ECF∽△EAP，可得，所以AP＝7x，AD＝4x，即可求得．
【详解】解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF，
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD≌△BFC，
∴＝，
∴＝，
（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴＝＝1；
（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴，
设CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴．
【点睛】本题考查了 相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造出相似三角形是解决问题的关键.
19．(1)见解析
(2)见解析，点的坐标为
【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、位似变换，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质以及位似的性质是解此题的关键．
（1）利用轴对称的性质得出点、、的对称点、、，再顺次连接即可得出答案；
（2）根据位似的性质得出点、、的对称点、、，再顺次连接即可得出答案，由图即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：如图，即为所作，
点的坐标为．
20．（1）①相等，见解析；②43.2；（2）
【分析】本题考查了相似三角形的应用，位似的性质．
（1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解．
（2）根据位似比为，代入数据计算即可．
【详解】解：（1）①．
由题意得，
∴，
∴，
，
；
②，，，，
．
．
故答案为：．
（2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，
点P的坐标为，即，
故答案为：．
21．（1）详见解析；（2）是菱形；（3）
【分析】（1）要证明 ，就需证明= ，根据矩形ABCD可知AD=BC，
因此需要证明= ，即需要证明△ADP∽△PCB相似，
根据矩形可知，
在中，可得，
再由，可知，，从而得到，
即可以根据“两角相等的两个三角形相似”来证明和相似．
（2）观察图形可发现四边形是菱形，
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知，需要先证明四边形是平行四边形，再证明其中一组邻边相等，由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证明四边形是平行四边形，
由翻折形成的两个全等三角形和得出，
进而根据，，得出，
再由，得到内错角相等，等量代换为，
根据“等角对等边”得出邻边和相等，从而说明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵为矩形，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
（2）四边形是菱形．
证明：因为是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵（翻折），
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
于是，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
（3）（3）设（），
∵在Rt△APDA中，tan∠PAD=
∴，所以，
∵，
∴，，
∵为矩形，
∴，，
∵（翻折），
∴，
∵，
∴，
于是，
∴，
∵，
所以，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴= ，即CF=AC
∵，（对顶角），
∴，
∴，
∴，即AE=AC
∴ = = ．
【点睛】本题考查矩形、菱形和相似三角形的判定与性质，难度较大，解题关键是熟练掌握以上三种图形的判定和性质,
22．（1）见解析;（2）；（3）见解析.
【分析】（1）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，四边形BMPN是正方形，得出PM=PN，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE，∠AMP=∠PNE，证△APM≌△EPN，推出AP=PE即可；
（2）证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出，，推出，求出，证△APM∽△EPN，推出即可；
（3）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出
， ，推出 ，求出 ，证△APM∽△EPN，推出
即可
【详解】如图4，过作于，于.
∴.
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴.
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
（2）如图5，∵四边形是矩形，
∴，过作，，则，
∴，.
∴，.
∴，，
∴.
∴，
∵，，
∴，
∴，即.
（3）如图6，的值不变，证明模仿问题（2）.
【点睛】此题考查相似形综合题，解题关键在于证明△APM≌△EPN
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27.3位似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点对应大鱼上的点（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点A，O，三点在同一条直线上
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，与位似，点为位似中心，位似比为，若的周长为6，则的周长是（ ）
A．16 B．9 C．6 D．4
5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，两个正方形的面积之比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ）
A．（，0） B．（，） C．（，） D．（2，2）
6．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（9，3） B．（3，3） C．（6，6） D．（6，4）
8．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则边的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若， 点， 则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2，则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为（ ）
A．2 B．0.5 C．4 D．0.25
12．如图所示，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，若矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为，则C、F之间的距离为( )
A． B．2 C．3 D．12
二、填空题
13．如图，线段AB的两个端点坐标分别为，．以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，若，则端点D的坐标为 ．
14．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．若以原点为位似中心，将放大到原来的倍得到，则落在第四象限的点的坐标是 ．
15．如图，DC∥AB，OA=2OC，，则与的位似比是 ．
16．三个顶点、、，以原点为位似中心，得到的位似图形三个顶点分别为，，，则与的位似比是 ．
17．中，的坐标是，以原点为位似中心，将三角形缩小到原来，则对应点的的坐标是 ．
三、解答题
18．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：写出的值．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值．
19．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．（铅笔作图确认无误后请用黑色中性笔再次涂描）
(1)画出关于轴成轴对称的；
(2)在第三象限画出，使它与位似，以点为位似中心，且位似比为2，并写出的坐标．
20．综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2所对应的“E”，并依次编号为①，②，垂直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为，；
步骤二：如1图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，与点O在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图，与之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的，，可计算出时，___________mm；
运用：（2）如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，则点P的坐标为___________．
21．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP
图2
（1）求证：；
（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F.若tan∠PAD=，求的值.
22．【变式训练】
如图1，将一个直角三角板的直角顶点放在正方形的对角线上滑动，并使其一条直角边始终经过点，另一条直角边与相交于点.
（1）求证：；
（2）若将（1）中的正方形变为矩形，其余条件不变（如图2），且，，求；
（3）在（2）的条件下，当滑动到的延长线上时，如图3，的值是否变化？证明你的结论.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D D C A C B D B
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．
【详解】解：∵大鱼与小鱼是位似图形，
由图形知一组对应点的坐标分别为（2，0），（-1，0）
∴位似比等于2：1
∴小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点是（-2a，-2b）．
故选：A．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比；在直角坐标系中，对应点的坐标也满足相似比．
2．A
【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．
【详解】∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴，，，点A，O，三点在同一条直线上．
∴，
综上，只有选项A错误，符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
3．D
【分析】本题考查位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据位似变换的性质计算即可．
【详解】解：∵与关于原点成位似关系，
∴相似比，
∵点F是点C的对应点，点C的坐标为，
∴点F的坐标为，即，
故选：D．
4．D
【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：和是位似图形，位似比为，
和的相似比为，
的周长的周长，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
5．C
【分析】根据相似多边形的性质得到两个正方形的相似比为，根据正方形的性质求出点的坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：正方形与正方形是位似图形，
正方形正方形，
两个正方形的面积之比为，
两个正方形的相似比为，
点的坐标为，四边形为正方形，
点的坐标为，
正方形与正方形是位似图形，为位似中心，
点的坐标为，，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似多边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
6．A
【分析】设位似比例为k，先根据周长之比求出k的值，再根据点B的坐标即可得出答案．
【详解】设位似图形的位似比例为k
则
和的周长之比为
，即
解得
又点B的坐标为
点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为
点位于第四象限
点的坐标为
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．
7．C
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的3倍后得到线段CD．
∵点A的坐标为（2，2），∴点C的坐标为（2×3，2×3），即（6，6）．
故选C．
【点睛】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
8．B
【分析】根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
，
相似比为，，
，
，
，
正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的基本性质．
9．D
【分析】本题考查了位似图形，掌握位似图形的性质是关键．根据位似图形的坐标特征可知，对应点的坐标是点的横纵坐标都乘以或，据此即可得到答案．
【详解】解：，
的坐标为或，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似图形的概念得到，相似比为，再根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：，
，
与是以原点为位似中心的位似图形，
，且相似比为，
的坐标为，
点的坐标为，，即．
故选：B．
11．C
【分析】根据相似三角形的面积比等于边长比的平方可以得解．
【详解】解：，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的面积比，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比（或边长比）的平方是解题关键．
12．A
【分析】连接AF、FC，根据位似变换的性质得到A、F、C在同一条直线上，根据勾股定理求出AC，根据位似比计算即可．
【详解】解：连接AF、FC，
∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，
∴A、F、C在同一条直线上，EF∥BC，
∵AB=9，BC=6，
∴AC=，
∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为，
∴CF=AC=，
故选A．
【点睛】本题考查了位似变换的性质、矩形的性质，位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
13．
【分析】利用线段长的关系得出位似比，进而求出D点坐标即可．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为、
∴AB＝2，
∵以原点O为位似中心，将线段AB缩小后得到线段DE，DE＝1，
∴两图形的位似比为
∴端点D的坐标为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题的关键．
14．
【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可得出的坐标．根据已知得出对应点之间的关系是解题关键．
【详解】解：∵，以原点为位似中心，将放大到原来的倍得到，
∴落在第四象限的的坐标是：．
故答案为：．
15．1︰2
【分析】先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OCD与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA＝．
【详解】∵DC∥AB，
∴△OAB∽△OCD，
∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，
∴△OCD与△OAB的位似，
∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA＝.
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
16．
【分析】由△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），根据位似图形的性质，即可求得△A′B′C′与△ABC的位似比．
【详解】解：∵△ABC三个顶点A（3，6）、B（6，2）、C（2，﹣1），以原点为位似中心，得到的位似图形△A′B′C′三个顶点分别为A′（1，2），B′（2，），C（，﹣），∴△A′B′C′与△ABC的位似比是：1：3．
故答案为1：3．
【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．
17．或
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k求解．
【详解】根据题意得对应点的A′的坐标为(×3,×6)或( ×3, ×6)，
即A′的坐标为或
故答案为:或
【点睛】考查位似变换，位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
18．；（1）；（2）
【分析】如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，易证△AEP≌△CEF，根据全等三角形的性质可得AP=FC，又因PD∥FC，可得△BDP∽△BCF，由相似三角形的性质可得，由此即可求得的值．（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，可得△AFE∽△CBE，根据相似三角形的性质可得,设AF＝3x，BC＝2x，由可得BD＝3x，所以AF＝BD＝3x，再证明△AFP∽△DBP，即可得；（3）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，可得△BCF∽△BDP，根据相似三角形的性质可得，设CF＝2x，PD＝3x，再证明△ECF∽△EAP，可得，所以AP＝7x，AD＝4x，即可求得．
【详解】解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF，
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD≌△BFC，
∴＝，
∴＝，
（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴＝＝1；
（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴，
设CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴．
【点睛】本题考查了 相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造出相似三角形是解决问题的关键.
19．(1)见解析
(2)见解析，点的坐标为
【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、位似变换，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质以及位似的性质是解此题的关键．
（1）利用轴对称的性质得出点、、的对称点、、，再顺次连接即可得出答案；
（2）根据位似的性质得出点、、的对称点、、，再顺次连接即可得出答案，由图即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：如图，即为所作，
点的坐标为．
20．（1）①相等，见解析；②43.2；（2）
【分析】本题考查了相似三角形的应用，位似的性质．
（1）①根据题意证明，从而得到，即可得到；②把，，，代入即可求解．
（2）根据位似比为，代入数据计算即可．
【详解】解：（1）①．
由题意得，
∴，
∴，
，
；
②，，，，
．
．
故答案为：．
（2）①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与点Q为一组对应点．若点Q的坐标为，
点P的坐标为，即，
故答案为：．
21．（1）详见解析；（2）是菱形；（3）
【分析】（1）要证明 ，就需证明= ，根据矩形ABCD可知AD=BC，
因此需要证明= ，即需要证明△ADP∽△PCB相似，
根据矩形可知，
在中，可得，
再由，可知，，从而得到，
即可以根据“两角相等的两个三角形相似”来证明和相似．
（2）观察图形可发现四边形是菱形，
根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知，需要先证明四边形是平行四边形，再证明其中一组邻边相等，由，，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可证明四边形是平行四边形，
由翻折形成的两个全等三角形和得出，
进而根据，，得出，
再由，得到内错角相等，等量代换为，
根据“等角对等边”得出邻边和相等，从而说明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵为矩形，
∴，，
在中，，
∵，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
（2）四边形是菱形．
证明：因为是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵（翻折），
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
于是，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
（3）（3）设（），
∵在Rt△APDA中，tan∠PAD=
∴，所以，
∵，
∴，，
∵为矩形，
∴，，
∵（翻折），
∴，
∵，
∴，
于是，
∴，
∵，
所以，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴= ，即CF=AC
∵，（对顶角），
∴，
∴，
∴，即AE=AC
∴ = = ．
【点睛】本题考查矩形、菱形和相似三角形的判定与性质，难度较大，解题关键是熟练掌握以上三种图形的判定和性质,
22．（1）见解析;（2）；（3）见解析.
【分析】（1）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，四边形BMPN是正方形，得出PM=PN，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE，∠AMP=∠PNE，证△APM≌△EPN，推出AP=PE即可；
（2）证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出，，推出，求出，证△APM∽△EPN，推出即可；
（3）过P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，证△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出
， ，推出 ，求出 ，证△APM∽△EPN，推出
即可
【详解】如图4，过作于，于.
∴.
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴.
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴.
（2）如图5，∵四边形是矩形，
∴，过作，，则，
∴，.
∴，.
∴，，
∴.
∴，
∵，，
∴，
∴，即.
（3）如图6，的值不变，证明模仿问题（2）.
【点睛】此题考查相似形综合题，解题关键在于证明△APM≌△EPN
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