第十七章勾股定理同步练习（含解析）
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第十七章勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）
A．AB＝5 B．∠C＝90° C．AC＝2 D．∠A＝30°
2．下列四组中，不是勾股数的一组是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，12，15
3．如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
4．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，点到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，平分，点是的中点，点是上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列各组中的三个数值，能够构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．60，61，10 C．，， D．3，4，5
8．满足的三个正整数a、b、c，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．，，
9．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）．
A．6、8、10 B．1、1、
C．2、6、 D．7、24、25
10．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
11．如图，已知点分别是等边中边上的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
12．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，， C．，5， D．7，24，25
二、填空题
13．如图，在四边形中，对角线相交于点E，，，，，则 ．
14．如图，以直角△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S115．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点E与点A重合，折痕为DC，则 ．
16．如图，在中，，，，，点是斜边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，若的形状为直角三角形，那么的长是 ．
17．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为 ，
此三角形为 .
三、解答题
18．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，．
那么便有：，
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里，，由于，，即，．
．
模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简：
（1）；
（2）小张同学在化简时，解决这个问题的过程如下．
①
②
③
④
在上述化简过程中，第_______步出现了错误，化简的正确结果为_______．
模型应用2：
（3）在中，，，，那么边的长为_______（结果化成最简）．
19．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在直线l上画出点P，使PB+PC的值最小，且这个最小值为______________．
20．为进一步改善校园环境和面貌，消除校园安全隐患，提升校园环境品质，完善基础设施建设，某学校利用暑假全力做好教学条件提升改造工程．如图，某教室外部墙面上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子完成维修工作．梯子的长度为，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时的梯于顶部D与A相距．
(1)求教室外墙面破损处A距离地面的高度；
(2)为了方便施工，需要将梯子底部向内移动至离墙角处，求此时梯子顶部距离墙面破损处A的高度．
21．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
22．在学习了勾股定理之后，甲乙丙三位同学在方格图（正方形的边长都为1）中比赛找“整数三角形”，什么叫“整数三角形”呢？他们三人规定：边长和面积都是整数的三角形才能叫“整数三角形”．甲同学很快找到了如图1的“整数三角形”，一会儿后乙同学也找到了周长为24的“整数三角形”．丙同学受到甲、乙两同学的启发找到了两个不同的等腰“整数三角形”．请完成：
（1）以点A为一个顶点，在图2中作出乙同学找到的周长为24的“整数三角形”，并在每边周边标注其边长；
（2）在图3中作出两个不同的等腰“整数三角形”，并在每边周边标注其边长；
（3）你还能找到一个等边“整数三角形”吗？若能找出，请写出它的边长；若不能，请说明理由．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．
①求EP+AP的最小值；
②求2BP+AP的最小值．
24．【模型呈现】
如图1，为的中线，交的延长线于点，求证：．
【应用1】
如图2，是的中线，交于点，交于点，且．若，，求线段的长．
【应用2】
如图3，在中，，为中点，，交于点E，交于点，连接．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B B C D D A C B
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】首先根据每个小正方形的边长为1，结合勾股定理求出AB、AC、BC的长，进而判断A、C的正误；再判断较短的两边的平方和与较长边的平方是否相等，进而可判断B的正误；在上步提示的基础上，判断BC与AB是否存在二倍关系，进而即可判断D的正误.
【详解】∵每个小正方形的边长为1，
根据勾股定理可得：AB＝5，AC＝2，BC＝.
故A、C正确；
∵2＋(2)2＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°.
故B正确；
∵∠C＝90°，AC＝2BC，而非AB＝2BC，
∴∠A≠30°.
故D错误.
故选D.
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形是解题的关键.
2．D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】A、，是勾股数，此选项错误；
B、＝，是勾股数，此选项错误；
C、，是勾股数，此选项错误；
D、，不是勾股数，此选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题掌握勾股数的定义是关键．
3．B
【分析】过点F作于点G．根据三角形内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出．由角平分线的性质定理可得出，又可证明，从而可求出．由勾股定理可求出．设，则，．在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即得出的长．
【详解】如图，过点F作于点G．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵平分，，
∴．
又∵
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
设，则，．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的定义及其性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．
4．B
【分析】利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离．
【详解】解：设点C到AB边的距离为h，则
∵，
又∵，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用面积法求出点C到AB边的距离是解题的关键．
5．C
【分析】连接，，，首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后利用勾股定理求出，证明出是等边三角形，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴是等边三角形
∵点是的中点，
∴
∴
∴
∴．
∴的最小值为6．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6．D
【详解】解：在直角△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2．
∴AB=米．
则少走的距离是AC+BC AB=3+4-5=2米=4步，
故选：D．
7．D
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解．
【详解】解：A.∵，∴ 不能构成直角三角形，不合题意；
B.∵，∴ 不能构成直角三角形，不合题意；
C.∵，∴ 不能构成直角三角形，不合题意；
D.∵，∴ 能构成直角三角形，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，理解勾股定理的逆定理是解题关键．
8．A
【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义逐项分析即可．
【详解】A．7，24，25是满足的三个正整数，故本选项符合题意；
B．，，是不满足的三个正整数，故本选项不符合题意；
C．1.5，2，2.5不全是正整数，故本选项不符合题意；
D．，，不全是正整数，故本选项不符合题意；
故选：A．
9．C
【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
【详解】A、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故此选项错误．
B、∵12+12=（）2，∴能构成直角三角形，故此选项错误；
C、∵（）2+22≠62，∴不能构成直角三角形，故此选项正确；
D、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题考查勾股定理逆定理．解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵树高14米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选：B．
11．D
【分析】本题考查轴对称求最短距离．连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为．
【详解】解：连接交于点，连接，
是等边三角形，
，，
，
此时的值最小，最小值为，
，
的最小值为，
故选：D．
12．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．掌握如果三角形两条短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A.∵，∴5，12，13能组成直角三角形，，不符合题意；
B.∵，∴1，，能组成直角三角形，不符合题意；
C.∵，，5，不能组成直角三角形，符合题意；
D.∵，7，24，25能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
13．
【分析】此题考查了勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解决此类问题的关键．通过过点A作于点F，作含30度角的直角三角形，计算求解即可．
【详解】解：过点A作于点F，
∵，
∴，
在中，，
∵，
，
，
，
，
∴，
在中，，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为．
14．16
【分析】先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出，继而可求得S2的值．
【详解】设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴，，，
∵△ABC 是直角三角形，
∴ ，即，
∴，
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理以及正方形的面积公式是解本题的关键．
15．3
【分析】设，由翻折易得，，在中，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：设，
∵两直角边，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，，，
在中，，，，
，即，
∴，即，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．
16．或
【分析】
本题考查折叠问题，含30度角的直角三角形，根据折叠得到当为直角三角形时，为直角三角形，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵将沿折叠得到，
∴当为直角三角形时，为直角三角形，
①当时：
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，，
∴，
∴；
综上：的长是或；
故答案为：或．
17． 13 直角
【分析】根据三角形的三边关系知，求得第三边c应满足12－5＝7＜c＜5＋12＝17，又因为这个数与a＋b的和又是3的倍数，则可求得此数；然后利用直角三角形的判定方法判定三角形即可完成.
【详解】∵12－5＝7＜c＜5＋12＝17，c又为奇数，
∴满足从7到17的奇数有9，11，13，15.
∵与a＋b的和又是3的倍数，
∴a＋b＋c＝30，
∴c＝13.
∵52＋122＝132，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题是三角形的三边关系、勾股定理类型的题目，解答本题的关键是利用三角形的三边关系进行解答.
18．（1）；（2），，；；（3）
【分析】（1）理解题干中问题解决的解题步骤，结合完全平方公式，以及二次根式的混合运算，即可解题；
（2）与（1）解题思想类似，写出该题解题步骤，再根据步骤判断其解题过程错误的地方，以及给出正确答案，即可解题；
（3）先利用勾股定理表示出，再利用平方差公式将其化为，最后用类似于前面2问的解题思路求解，即可解题．
【详解】解：（1），
，，
即，，
；
（2）①
②
③
④
在上述化简过程中，第1步不应该为除而是加，第步完全平方公式运用错误，第步二次根式化简错误，最后化简的正确结果为．
故答案为：，，；．
（3），，，
根据勾股定理可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，平方差公式，勾股定理，解题的关键在于理解题干中的化简步骤．
19．（1）作图见解析；（2）这个最小值为．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出，， 的对应点，，，然后连接起来即可．
（2）连接交于点，根据两点之间线段最短，点即为所求，利用勾股定理和结合图形，即可得到．
【详解】解：（1）如图，即为所求，其中A与A1重合．
如图示，连接交于点，点即为所求，
理由如下：∵B与B1是对应点，
∴，
∴，两点之间线段最短，点即为所求
∴．
【点睛】本题考查作图轴对称变换，两点之间线段最短等知识，掌握轴对称的性质，正确作出图形，是解题的关键．
20．(1)4.6m；
(2)0.6m．
【分析】本题考查勾股定理的应用；
（1）根据勾股定理求得，进而根据，即可求解；
（2）设是梯子移动后的位置，利用勾股定理求出，则．
【详解】（1）解：由题意，得，，，，
所以，
所以．
答：该教室外墙面破损处A距离地面有高．
（2）解：如图，此时是梯子移动后的位置．
∵在中，，．
∴由勾股定理，得．
梯子顶部与墙面破损处的距离为．
答：梯子顶部与墙面破损处的距离为．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则 ，
解得，
即此时踏板离地的垂直高度为．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）不能，理由见解析；
【分析】（1）根据勾股定理以及题目给的数据作出边长分别为的“整数三角形”；
（2）根据勾股定理，作出两个不同的等腰“整数三角形”可以是边长为的等腰三角形；
（3）根据题意先求得等边三角形的面积，比较面积和边长的关系即可得出不能找到等边“整数三角形”．
【详解】（1）如图1，以为顶点，周长为的直角“整数三角形”的边长为
以为顶点，周长为的直角“整数三角形”的边长为
如图：
（2）如图，根据勾股定理，作出两个不同的等腰“整数三角形”可以是边长为的等腰三角形
（3）不存在，理由如下：
如图，是等边三角形，是三角形边上的高，设（为正整数）
则
是整数，则是无理数，
不存在边长和面积都是整数的等边三角形
故找不到等边“整数三角形”．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，熟练利用勾股定理找到勾股数是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）①，②4
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得AD＝AB，只要证明∠B＝60°即可解决问题．
（2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF＝PA，推出PE＋PA＝PE＋PF，所以当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE＋PF最短，最小值为线段EF′，求出EF′即可解决问题．
②如图2中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF＝PA，推出2BP＋AP＝2（PB＋PA）＝2（PB＋PF），所以当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB＋PF最短，最小值为线段BF′，求出BF′即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°
∴AC⊥BD，∠B＝60°
∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
（2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．
∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，
∴PF＝PA，
∴PE＋PA＝PE＋PF，
∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE＋PF最短，最小值为线段EF′，
在Rt△EF′B中，∵∠B＝60°，EB＝3，
∴ ，
同理易得： ,
∴
∴EP＋AP的最小值为．
②如图2中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．
∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，
∴PF＝PA，
∴2BP＋AP＝2（PB＋PA）＝2（PB＋PF），
∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB＋PF最短，最小值为线段BF′，
在Rt△DF′B中，∵∠D＝60°，DB＝4，
∴，
∴ ,
∴2BP＋AP的最小值为4．
【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题．
24．[模型呈现]证明见解析
[应用1] 7
[应用2]，理由见解析
【分析】[模型呈现]证明即可得出结论；
[应用1]过点B作交延长线于点，由前面结论得到，结合条件，易证，，从而得解；
[应用2]过点作交延长线于点，连接，易证，得到，推出，再利用勾股定理即可得出结论．
【详解】[模型呈现]证明： ，
，．
为的中线，，
，
．
[应用1]解：过点B作交延长线于点，
，
是中线，
，
，
，
，
，
，
，，
．
．
[应用2]解：线段、、之间的等量关系为：．
理由如下：过点作交延长线于点，连接，
，，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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第十七章勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（ ）
A．AB＝5 B．∠C＝90° C．AC＝2 D．∠A＝30°
2．下列四组中，不是勾股数的一组是（ ）
A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，24，25 D．8，12，15
3．如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则的长为（ ）
A．6 B． C． D．
4．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，点到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，，平分，点是的中点，点是上的动点，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列各组中的三个数值，能够构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．60，61，10 C．，， D．3，4，5
8．满足的三个正整数a、b、c，被称为勾股数．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．7，24，25 B．，， C．1.5，2，2.5 D．，，
9．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）．
A．6、8、10 B．1、1、
C．2、6、 D．7、24、25
10．如图，龙城初级中学操场上有两棵树和（都与水平地面垂直），大树高14米，树梢D到树的水平距离（）的长度为9米，小树高2米，一只小鸟从树梢D飞到树梢B，则它至少要飞行的长度为（ ）
A．13米 B．15米 C．16米 D．17米
11．如图，已知点分别是等边中边上的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．
12．以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13 B．1，， C．，5， D．7，24，25
二、填空题
13．如图，在四边形中，对角线相交于点E，，，，，则 ．
14．如图，以直角△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1
16．如图，在中，，，，，点是斜边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，若的形状为直角三角形，那么的长是 ．
17．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为 ，
此三角形为 .
三、解答题
18．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，．
那么便有：，
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里，，由于，，即，．
．
模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简：
（1）；
（2）小张同学在化简时，解决这个问题的过程如下．
①
②
③
④
在上述化简过程中，第_______步出现了错误，化简的正确结果为_______．
模型应用2：
（3）在中，，，，那么边的长为_______（结果化成最简）．
19．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）画出格点△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在直线l上画出点P，使PB+PC的值最小，且这个最小值为______________．
20．为进一步改善校园环境和面貌，消除校园安全隐患，提升校园环境品质，完善基础设施建设，某学校利用暑假全力做好教学条件提升改造工程．如图，某教室外部墙面上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子完成维修工作．梯子的长度为，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时的梯于顶部D与A相距．
(1)求教室外墙面破损处A距离地面的高度；
(2)为了方便施工，需要将梯子底部向内移动至离墙角处，求此时梯子顶部距离墙面破损处A的高度．
21．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
22．在学习了勾股定理之后，甲乙丙三位同学在方格图（正方形的边长都为1）中比赛找“整数三角形”，什么叫“整数三角形”呢？他们三人规定：边长和面积都是整数的三角形才能叫“整数三角形”．甲同学很快找到了如图1的“整数三角形”，一会儿后乙同学也找到了周长为24的“整数三角形”．丙同学受到甲、乙两同学的启发找到了两个不同的等腰“整数三角形”．请完成：
（1）以点A为一个顶点，在图2中作出乙同学找到的周长为24的“整数三角形”，并在每边周边标注其边长；
（2）在图3中作出两个不同的等腰“整数三角形”，并在每边周边标注其边长；
（3）你还能找到一个等边“整数三角形”吗？若能找出，请写出它的边长；若不能，请说明理由．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．
①求EP+AP的最小值；
②求2BP+AP的最小值．
24．【模型呈现】
如图1，为的中线，交的延长线于点，求证：．
【应用1】
如图2，是的中线，交于点，交于点，且．若，，求线段的长．
【应用2】
如图3，在中，，为中点，，交于点E，交于点，连接．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B B C D D A C B
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】首先根据每个小正方形的边长为1，结合勾股定理求出AB、AC、BC的长，进而判断A、C的正误；再判断较短的两边的平方和与较长边的平方是否相等，进而可判断B的正误；在上步提示的基础上，判断BC与AB是否存在二倍关系，进而即可判断D的正误.
【详解】∵每个小正方形的边长为1，
根据勾股定理可得：AB＝5，AC＝2，BC＝.
故A、C正确；
∵2＋(2)2＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°.
故B正确；
∵∠C＝90°，AC＝2BC，而非AB＝2BC，
∴∠A≠30°.
故D错误.
故选D.
【点睛】本题考查的是三角形，熟练掌握三角形是解题的关键.
2．D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】A、，是勾股数，此选项错误；
B、＝，是勾股数，此选项错误；
C、，是勾股数，此选项错误；
D、，不是勾股数，此选项正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题掌握勾股数的定义是关键．
3．B
【分析】过点F作于点G．根据三角形内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出．由角平分线的性质定理可得出，又可证明，从而可求出．由勾股定理可求出．设，则，．在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即得出的长．
【详解】如图，过点F作于点G．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵平分，，
∴．
又∵
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
设，则，．
∵在中，，
∴，
解得：，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的定义及其性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．
4．B
【分析】利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离．
【详解】解：设点C到AB边的距离为h，则
∵，
又∵，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用面积法求出点C到AB边的距离是解题的关键．
5．C
【分析】连接，，，首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后利用勾股定理求出，证明出是等边三角形，得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴是等边三角形
∵点是的中点，
∴
∴
∴
∴．
∴的最小值为6．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
6．D
【详解】解：在直角△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2．
∴AB=米．
则少走的距离是AC+BC AB=3+4-5=2米=4步，
故选：D．
7．D
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解．
【详解】解：A.∵，∴ 不能构成直角三角形，不合题意；
B.∵，∴ 不能构成直角三角形，不合题意；
C.∵，∴ 不能构成直角三角形，不合题意；
D.∵，∴ 能构成直角三角形，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，理解勾股定理的逆定理是解题关键．
8．A
【分析】此题考查了勾股数，根据勾股数的定义逐项分析即可．
【详解】A．7，24，25是满足的三个正整数，故本选项符合题意；
B．，，是不满足的三个正整数，故本选项不符合题意；
C．1.5，2，2.5不全是正整数，故本选项不符合题意；
D．，，不全是正整数，故本选项不符合题意；
故选：A．
9．C
【分析】分别把选项中的三边平方后，根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形．
【详解】A、∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故此选项错误．
B、∵12+12=（）2，∴能构成直角三角形，故此选项错误；
C、∵（）2+22≠62，∴不能构成直角三角形，故此选项正确；
D、∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题考查勾股定理逆定理．解题关键在于在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接，求出米，然后由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵
∴
∵树高14米，米，
∴米，
∵米，
∴米，
故选：B．
11．D
【分析】本题考查轴对称求最短距离．连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为．
【详解】解：连接交于点，连接，
是等边三角形，
，，
，
此时的值最小，最小值为，
，
的最小值为，
故选：D．
12．C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理．掌握如果三角形两条短边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．根据勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A.∵，∴5，12，13能组成直角三角形，，不符合题意；
B.∵，∴1，，能组成直角三角形，不符合题意；
C.∵，，5，不能组成直角三角形，符合题意；
D.∵，7，24，25能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
13．
【分析】此题考查了勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解决此类问题的关键．通过过点A作于点F，作含30度角的直角三角形，计算求解即可．
【详解】解：过点A作于点F，
∵，
∴，
在中，，
∵，
，
，
，
，
∴，
在中，，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为．
14．16
【分析】先设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，再分别用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出，继而可求得S2的值．
【详解】设Rt△ABC的三边分别为a、b、c，
∴，，，
∵△ABC 是直角三角形，
∴ ，即，
∴，
故答案为：16．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理以及正方形的面积公式是解本题的关键．
15．3
【分析】设，由翻折易得，，在中，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：设，
∵两直角边，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，，，
在中，，，，
，即，
∴，即，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．
16．或
【分析】
本题考查折叠问题，含30度角的直角三角形，根据折叠得到当为直角三角形时，为直角三角形，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵将沿折叠得到，
∴当为直角三角形时，为直角三角形，
①当时：
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，，
∴，
∴；
综上：的长是或；
故答案为：或．
17． 13 直角
【分析】根据三角形的三边关系知，求得第三边c应满足12－5＝7＜c＜5＋12＝17，又因为这个数与a＋b的和又是3的倍数，则可求得此数；然后利用直角三角形的判定方法判定三角形即可完成.
【详解】∵12－5＝7＜c＜5＋12＝17，c又为奇数，
∴满足从7到17的奇数有9，11，13，15.
∵与a＋b的和又是3的倍数，
∴a＋b＋c＝30，
∴c＝13.
∵52＋122＝132，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题是三角形的三边关系、勾股定理类型的题目，解答本题的关键是利用三角形的三边关系进行解答.
18．（1）；（2），，；；（3）
【分析】（1）理解题干中问题解决的解题步骤，结合完全平方公式，以及二次根式的混合运算，即可解题；
（2）与（1）解题思想类似，写出该题解题步骤，再根据步骤判断其解题过程错误的地方，以及给出正确答案，即可解题；
（3）先利用勾股定理表示出，再利用平方差公式将其化为，最后用类似于前面2问的解题思路求解，即可解题．
【详解】解：（1），
，，
即，，
；
（2）①
②
③
④
在上述化简过程中，第1步不应该为除而是加，第步完全平方公式运用错误，第步二次根式化简错误，最后化简的正确结果为．
故答案为：，，；．
（3），，，
根据勾股定理可得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的混合运算，平方差公式，勾股定理，解题的关键在于理解题干中的化简步骤．
19．（1）作图见解析；（2）这个最小值为．
【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出，， 的对应点，，，然后连接起来即可．
（2）连接交于点，根据两点之间线段最短，点即为所求，利用勾股定理和结合图形，即可得到．
【详解】解：（1）如图，即为所求，其中A与A1重合．
如图示，连接交于点，点即为所求，
理由如下：∵B与B1是对应点，
∴，
∴，两点之间线段最短，点即为所求
∴．
【点睛】本题考查作图轴对称变换，两点之间线段最短等知识，掌握轴对称的性质，正确作出图形，是解题的关键．
20．(1)4.6m；
(2)0.6m．
【分析】本题考查勾股定理的应用；
（1）根据勾股定理求得，进而根据，即可求解；
（2）设是梯子移动后的位置，利用勾股定理求出，则．
【详解】（1）解：由题意，得，，，，
所以，
所以．
答：该教室外墙面破损处A距离地面有高．
（2）解：如图，此时是梯子移动后的位置．
∵在中，，．
∴由勾股定理，得．
梯子顶部与墙面破损处的距离为．
答：梯子顶部与墙面破损处的距离为．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则 ，
解得，
即此时踏板离地的垂直高度为．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）不能，理由见解析；
【分析】（1）根据勾股定理以及题目给的数据作出边长分别为的“整数三角形”；
（2）根据勾股定理，作出两个不同的等腰“整数三角形”可以是边长为的等腰三角形；
（3）根据题意先求得等边三角形的面积，比较面积和边长的关系即可得出不能找到等边“整数三角形”．
【详解】（1）如图1，以为顶点，周长为的直角“整数三角形”的边长为
以为顶点，周长为的直角“整数三角形”的边长为
如图：
（2）如图，根据勾股定理，作出两个不同的等腰“整数三角形”可以是边长为的等腰三角形
（3）不存在，理由如下：
如图，是等边三角形，是三角形边上的高，设（为正整数）
则
是整数，则是无理数，
不存在边长和面积都是整数的等边三角形
故找不到等边“整数三角形”．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，熟练利用勾股定理找到勾股数是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）①，②4
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得AD＝AB，只要证明∠B＝60°即可解决问题．
（2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF＝PA，推出PE＋PA＝PE＋PF，所以当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE＋PF最短，最小值为线段EF′，求出EF′即可解决问题．
②如图2中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF＝PA，推出2BP＋AP＝2（PB＋PA）＝2（PB＋PF），所以当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB＋PF最短，最小值为线段BF′，求出BF′即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°
∴AC⊥BD，∠B＝60°
∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
（2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．
∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，
∴PF＝PA，
∴PE＋PA＝PE＋PF，
∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE＋PF最短，最小值为线段EF′，
在Rt△EF′B中，∵∠B＝60°，EB＝3，
∴ ，
同理易得： ,
∴
∴EP＋AP的最小值为．
②如图2中，作PF⊥AD于F，BF′⊥AD于F′，交AC于P′．
∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，
∴PF＝PA，
∴2BP＋AP＝2（PB＋PA）＝2（PB＋PF），
∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB＋PF最短，最小值为线段BF′，
在Rt△DF′B中，∵∠D＝60°，DB＝4，
∴，
∴ ,
∴2BP＋AP的最小值为4．
【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题．
24．[模型呈现]证明见解析
[应用1] 7
[应用2]，理由见解析
【分析】[模型呈现]证明即可得出结论；
[应用1]过点B作交延长线于点，由前面结论得到，结合条件，易证，，从而得解；
[应用2]过点作交延长线于点，连接，易证，得到，推出，再利用勾股定理即可得出结论．
【详解】[模型呈现]证明： ，
，．
为的中线，，
，
．
[应用1]解：过点B作交延长线于点，
，
是中线，
，
，
，
，
，
，
，，
．
．
[应用2]解：线段、、之间的等量关系为：．
理由如下：过点作交延长线于点，连接，
，，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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