第一章三角形的证明同步练习（含解析）

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第一章三角形的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．同位角相等
C．三角形的外角和是 D．角平分线上的点到角的两边相等
2．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．所有定理的逆命题都是真命题
C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形
D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形
3．按图1~图4的步骤作图，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，于，在下列结论中：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．内找一点P，使P到B、C两点的距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离．下列尺规作图正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知a、b、c为△ABC的三边长，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝3：4：5 B．a：b：c＝5：12：13
C．a：b：c＝7：24：25 D．a：b：c＝：2：2
8．如图，已知P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3 cm，则MD的长度为(　 　)
A．3cm B．3cm C．2cm D．2cm
9．如图，中， ，是高， ， ，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．∶∶∶∶
11．一个三角形的三边长分别是3、4、5，则它的面积等于（ ）
A．6 B．12 C．15 D．20
12．如图，中，，则（ ）

A．5 B． C． D．8
二、填空题
13．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，如果要求油库到这三条公路的距离都相等，则油库的位置有 个．
14．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是 的．（填“正确”或“错误”）
15．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线且AD＝4，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．

16．如图，在中，，，于点，于点，若，，则的长是 ．
17．如图，是矗立在水平地面上的马拉松赛道路牌．经测量得到以下数据：，，，，，则的长度为 ．
三、解答题
18．如图，在中，于点，，，．

(1)求的长；
(2)判断的形状．
19．已知：，点E，F．
求作：点D，使点D在的平分线上，且．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
20．如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金 （其他费用不计）
21．如图小强在江南岸选定建筑物A，并在江北岸的B处观察，此时，视线与江岸所成的夹角是．小强沿江岸向东走了，到C处，再观察A，此时视线与江岸所成的夹角．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程；若不能，请说明理由？
22．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，，，，且．
(1)试说明：．
(2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
23．如图，在中，垂直平分，分别交、于点、，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．如图，在中，，是的平分线，，交于点E，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求和的度数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B A C D A B D
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】根据对顶角的定义、同位角的定义、三角形的外角和、角平分线的性质逐项判断即可.
【详解】A、由对顶角的定义“如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角”可得，对顶角必相等，但相等的角未必是对顶角，此项不是真命题
B、只有当两直线平行，同位角必相等，此项不是真命题
C、根据内角和定理可知，任意多边形的外角和都为，此项是真命题
D、由角平分线的性质可知，角平分线上的点到角的两边距离相等，此项不是真命题
故选：C.
【点睛】本题考查了对顶角的定义、同位角的定义、三角形的外角和、角平分线的性质，熟记各定义和性质是解题关键.
2．B
【分析】利用全等三角形的判定、逆命题、等边三角形的判定及直角三角形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确，为真命题；
B、所有定理的逆命题不一定都是真命题，故错误，是假命题；
C、有一个角为的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；
D、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形，正确，为真命题．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、逆命题、等边三角形的判定及直角三角形的判定，难度不大．
3．D
【分析】根据图1~图4的步骤及折叠的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】根据图1~图4的步骤及折叠的性质知：
OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOB=2∠AOP=2∠BOP，
∠AOP=∠BOP=∠AOB，
∴选项A、B、C均正确，选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义．解题的关键是掌握角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解决此题的关键．
【详解】A、，此三角形是直角三角形，不符合题意；
B、设，则，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
C、∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】分别说明∠B=30°、∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°边所对的直角边是斜边的一半．
【详解】解：∵在中，，
∴∠B=30°
∴，即②正确；
∵
∴，∠BCD=60°，即①正确；
∴∠ACD=30°
∴，即③正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形30°边所对的直角边是斜边的一半是解答本题的关键．
6．C
【分析】根据P到A、C两点的距离相等，可知P在AC的垂直平分线上，根据P到C和A到C的距离相等，可知A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上，由此判定即可.
【详解】解：∵P到A、C两点的距离相等
∴P在AC的垂直平分线上
又∵P到C和A到C的距离相等
∴A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上
故选C.
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等，解题的关键在于能够熟练掌握垂直平分线的定义.
7．D
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A．（3x）2+（4x）2=（5x）2，能构成直角三角形，故本选项错误；
B．（5x）2+（12x）2=（13x）2，能构成直角三角形，故本选项错误；
C．（7x）2+（24x）2=（25x）2，能构成直角三角形，故本选项错误；
D．（x）2+（2x）2≠（2x）2，不能构成直角三角形，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8．A
【分析】根据垂线段最短、角平分线的性质求出PD，根据直角三角形的性质解答．
【详解】作PC⊥OB于C，则此时PC最小，
∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC=3，∠AOP=30°，
∴OP=2PD=6，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴DM=OP=3，
故选A．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质定理，在上取一点E，使，由，得出，三角形的外角性质定理得出，进一步得出，，即可求出的值．
【详解】解：在上取一点E，使，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴，
故选∶B．
10．D
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理．
11．A
【分析】由于，易证此三角形是直角三角形，从而易求此三角形的面积．
【详解】解：∵，
∴此三角形是直角三角形，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是先证明此三角形是直角三角形．
12．C
【分析】先根据30度直角三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长即可．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解决此题的关键．
13．4
【分析】要使到三边的距离相等，根据角平分线的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．
【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故答案为4
【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
14．错误
【详解】试题分析：分别把已知角看做等腰三角形的顶角和底角，分两种情况考虑，利用三角形内角和是180度计算即可．
解：如已知一个角=70°．
当70°为顶角时，另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°﹣70°）÷2=55°，
当70°为底角时，另外一个底角也是70°，顶角是180°﹣140°=40°．
故答案为错误．
15．
【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF＝CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
【详解】解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF＝CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，
∴BM＝＝＝，
即CF+EF的最小值是，
故答案为．

【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16．2
【分析】先判断出证明△ABD≌△BCE（AAS），可得BD=CE=5，AD=BE=3解决问题．
【详解】解：∵∠ABC=90°，AD⊥BD于点D，CE⊥BD于点E，
∴∠D=∠CEB=∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CBE=∠BAD，
∵AB=BC，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD=CE=5，AD=BE=3，
∴DE=BD-BE=5-3=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．
【分析】根据含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质可进进行求解．
【详解】解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形，熟练掌握含30度直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
18．(1)；
(2)是直角三角形．
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用．
（1）根据勾股定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出，求出，再利用勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】（1）解：，，，
，
在中，
由勾股定理得：；
（2）解：在中，
由勾股定理得：，
，
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
19．画图见解析
【分析】先作线段的垂直平分线，再作的角平分线，垂直平分线与角平分线的交点D即为所求．
【详解】解：如图，即为所求．
【点睛】本题考查的是尺规作图，作线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，利用线段的垂直平分线与角平分线的性质熟练的作图是解本题的关键．
20．11400元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答．
【详解】解：解：如图，连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
为直角三角形，
，
，
所以需费用 (元)．
21．能，江宽，过程见解析
【分析】过点A作，垂足是D，首先根据三角形外角的性质得到，然后求出，然后利用含角直角三角形的性质得到，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作，垂足是D，
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∴．
∴江宽．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质，等边对等角，含角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
22．(1)见解析
(2)3600
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可证是直角三角形，且即可；
（2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题．
【详解】（1）证明：在中，，，，
，，
，
是直角三角形，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，
，
，
在中，，，
，
.
，
，
共需花费（元）．
23．(1)见详解
(2)8
【分析】（1）首先根据垂直平分线的性质可得，进而根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，再结合角平分线的定义可得，然后结合三角形内角和定理可得，即，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可证明结论；
（2）设，则，再根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，易得，求解，即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，平分，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，
设，则，
在中，，，
∴，即，
解得，
∴的长为8．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、角平分线等知识，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的性质定理是解题关键．
24．(1)见解析
(2)的度数为，的度数为
【分析】（1）由角平分线，可得，由平行线，三角形外角的性质可得，，即，进而结论得证；
（2）由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的平分线，
∴ ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为，的度数为．
【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
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