第二十章数据的分析同步练习（含解析）

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第二十章数据的分析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
时间 人数 学生类别
性别 男 7 31 25 30 4
女 8 29 26 32 8
学段 初中 25 36 44 11
高中
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在之间；
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在之间；
③这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在之间；
④这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在之间．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①④
2．2022年浙江省经济运行稳中向好，城乡居民人均可支配收入显著增加，城镇居民与农村居民差距持续缩小，这说明城乡居民人均可支配收入的（ ）
A．平均数减小，方差增大 B．平均数减小，方差减小
C．平均数增大，方差减小 D．平均数增大，方差增大
3．学校教职工运动会上，参加30秒单摇跳绳比赛的5位教师的成绩分别是70，65，80，55，75，则这5位教师跳绳比赛的平均成绩为（单位：次）（ ）
A．68 B．69 C．70 D．71
4．五箱苹果的质量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19．则这五箱苹果质量的平均数和中位数分别为（ ）
A．19和20 B．20和19 C．20和20 D．20和21
5．已知﹣1，﹣2，x，1，2的平均数是0，则这组数据的方差为（　　）
A．0 B． C．2 D．4
6．某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试（满分均为100分）规定笔试成绩占40％，面试成绩占60％，应聘者蕾蕾的笔试成绩和面试成绩分别是90分和85分，她最终得分是（ ）
A．87.5分 B．87分 C．88分 D．88.5分
7．党的十八大报告中对教育明确提出“减负提质”要求．为了解我校九年级学生平均每周课后作业时量，某校园小记者随机抽查了50名九年级学生，得到如下统计表：
周作业时量/小时 4 6 8 10 12
人数 2 23 21 3 1
则这次调查中的众数、中位数是（　　）
A．6，8 B．6，7 C．8，7 D．8，8
8．教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5，方差是1.64．后来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实际成绩应是7环．教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是，方差是，则（ ）
A． B． C． D．
9．在某次歌唱比赛中，计算一名选手最终得分的方法是：将所有评委的打分组成一组数据，去掉一个最高分和一个最低分，得到新的一组数据再计算平均分．若评委不少于4人，则比较两组数据，一定不会发生变化的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
10．一组数据4，9，6，3，4，8，7，2的众数和中位数分别是（　　）
A．4，4 B．4，5 C．5，5 D．5，4
11．数据6，8，9中添加一个数据a后，发现这组新数据的中位数恰好也是众数，则a的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
12．已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差S甲2＝，乙组数据的方差S乙2＝2，下列结论中正确的是（　　）
A．甲组数据比乙组数据的波动大 B．乙组数据比甲组数据的波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲乙两组数据的波动大小不能比较
二、填空题
13．一组数据8，7，8，6，6，8的众数是 ．
14．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ．
15．抽查某班一组学生一周内写作业的时间：有2名学生每人用6小时，3名学生每人用8小时，5名学生每人用10小时，在这组数据中，时间的众数、中位数分别为 ．
16．某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按50%、20%和30%的比例计入学期总评成绩，90分以上为优秀．甲、乙、丙三人的各项成绩（单位：分）如下表，学期总评成绩优秀的学生是 ．
17．有一组数据，，，…，的平均数为2，则另一组数据，，，…，的平均数为_____________.
三、解答题
18．如图，是甲、乙两人考前集训的10次测试成绩折线统计图．
(1)计算甲、乙两人10次考试的平均分数；
(2)求甲、乙两人这10次测试分数的方差，说明谁的成绩比较稳定．
19．为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
（1）本次调查一共随机抽取了　 　个参赛学生的成绩；
（2）表1中　 　；
（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是　 　；
（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有　 　人．
表1 知识竞赛成绩分组统计表
组别 分数/分 频数
A a
B 10
C 14
D 18
20．为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4
乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7
如果你是教练你会选拔谁参加比赛？为什么？
21．某中学开展“唱红歌”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．
（1）根据图示填写下表：
班级 中位数（分） 众数（分）
九（1） 85
九（2） 100
（2）通过计算得知九（2）班的平均成绩为85分，请计算九（1）班的平均成绩．
（3）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好．
（4）已知九（1）班复赛成绩的方差是70，请计算九（2）班的复赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩比较稳定？
22．“中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字委员会联合主办的节目，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注汉字文化的学习．某校也开展了一次“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写40个汉字，比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数绘制成了以下不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）本次共随机抽取了___________名学生进行调查，听写正确的汉字个数在___________范围的人数最多；
（2）补全频数分布直方图；
（3）求被调查学生听写正确的汉字个数的平均数；
（4）该校共有1350名学生参赛，如果听写正确的汉字个数不少于21个定位良好，请你估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数．
23．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表：
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9
乙 10 10 8 10 7 9
(1)把表中所空各项数据填写完整；
(2)已知乙六次测试成绩的方差为；计算甲六次测试成绩的方差，根据你的计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由
24．设是的平均数，即，则方差，它反映了这组数的波动性，
（1）证明：对任意实数a，x1 a，x2 a，…，xn a，与x1，x2，…，xn 方差相同；
（2）证明；
（3）以下是我校初三（1）班 10 位同学的身高（单位：厘米）：
169，172，163，173，175，168，170，167，170，171，计算这组数的方差．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C C B B D B B
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①，一定在之间，正确；
②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在 之间，故②正确．
③由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为，35，15，18，1，当时间段人数为 0 时，中位数在 之间；当时间段人数为 15 时，中位数在 之间，故③错误．
④由统计表计算可得，初中学段栏 的人数在 之间，当人数为 0 时中位数在 之间；当人数为 15 时，中位数在 之间，故④正确．
故选：．
【点睛】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．
2．C
【分析】根据平均数和方差的意义即可求解．
【详解】解：∵城乡居民人均可支配收入显著增加，
∴平均数增大，
∵城镇居民与农村居民差距持续缩小，
∴波动减少，即方差减小，
观察四个选项，C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平均数，方差，熟练掌握它们的意义是解题的关键．
3．B
【分析】先算出参加30秒单摇跳绳比赛的5位教师的总成绩，再用总成绩除以5就是这5位教师跳绳比赛的平均成绩．
【详解】解：（70+65+80+55+75）÷5，
=345÷5，
=69（次），
答：这5位教师跳绳比赛的平均成绩为69次．
故选B．
【点睛】本题考查平均数的计算方法，即用总成绩除以总人数，就是平均每人的成绩．
4．C
【详解】试题分析：根据平均数计算公式可得：；
把5 个数据按大小顺序排列为：18，19，20，21，22．最中间的数为20，故中位数为20.
故选C.
考点：1.平均数；2.中位数.
5．C
【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【详解】解：由平均数的公式得：（﹣1﹣2+1+2+x）÷5＝0，
解得x＝0；
∴方差＝[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]÷5＝2．
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
6．B
【分析】根据加权平均数公式计算即可．
【详解】解：应聘者蕾蕾的最终得分是分，
故选：B．
【点睛】此题考查了加权平均数的计算，正确掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
7．B
【分析】根据众数、中位数的定义求解即可．
【详解】解：由统计表可知，学生平均每周课后作业时量为6小时的有23人，人数最多，故众数是6；
因表格中数据是按从小到大的顺序排列的，一共50个人，中位数为第25位和第26位的平均数，它们分别是6，8，故中位数是＝7．
故选B．
【点睛】本题主要考查了中位数与众数，解题的关键在于能够熟练掌握中位数与众数的定义.
8．D
【分析】比较更正前后平均数、方差的变化，即可得出答案．
【详解】解：一个成绩少录2环，一个成绩多录2环，总环数没有变，
即实际成绩的平均数不变，=7.5，
∵>，>，
∴更正后的成绩的方差应该要比更正前的方差要小，即．
故选：D．
【点睛】此题考查平均数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答的关键．
9．B
【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数据产生影响，即中位数．
【详解】统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据中间的数据产生影响，即中位数．
故选：B．
【点睛】本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
10．B
【分析】将数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】解：从小到大排列为：2，3，4，4，6，7，8，9，
∴众数是4，中位数是(4+6) ÷2=5，
故选B．
【点睛】本题主要考查的是学生对中位数和众数的定义等知识的掌握情况及灵活运用能力，解题的关键在于能够熟知中位数和众数的定义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
11．B
【分析】根据添加一个数据a后，这组新数据的中位数恰好也是众数，原数据组里中间的数是8，判断新数据组里的中位数与众数都是8，推出a=8．
【详解】∵中位数与8有关，且添加一个数据a后这组新数据的中位数恰好也是众数，
∴这组新数据的中位数和众数都是8，
∴，
∴a=8．
故选B．
【点睛】本题考查了中位数与众数，熟练掌握中位数用众数的定义性质是解决本题的关键．
12．B
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】∵甲组数据的方差S甲2＝，乙组数据的方差S乙2＝2，
∴S甲2＜S乙2，
∴乙组数据比甲组数据的波动大；
故选B．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．8
【分析】首先把所给数据按照由小到大的顺序排序，然后利用众数定义即可求出．
【详解】把所给数据按照由小到大的顺序排序后为6、6、7、8、8、8
∴众数为8．
【点睛】本题考查了众数定义,熟练掌握众数的定义是正确解题的关键.
14．9小时
【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义可知将40位同学锻炼时间从小到大排序后，第20位同学和第21位同学的平均数即是中位数．
【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20位同学和第21位同学的平均数为（小时），即中位数为9小时，
故答案为：9小时．
15．10，9
【详解】试题解析：∵10小时出现了5次，出现的次数最多，
∴在这组数据中，时间的众数是10小时；
把这些数从小到大6，6，8，8，8，10，10，10，10，10，最中间的数是第5，第6个数的平均数，
则这组数据的中位数是小时；
故答案为10，9.
16．甲、乙．
【分析】分别计算三人的加权平均数，然后与90比较大小即可．
【详解】解： 由题意知，甲的学期总评成绩=，
乙的学期总评成绩=，
丙的学期总评成绩=，
故答案为：甲、乙．
【点睛】本题考查了加权成绩的计算，解决本题的关键是注意加权平均数的计算方法．
17．5
【分析】根据数据：，，，…，的平均数为2，得出数据，，，…，的平均数，再根据每个数据都减１，即可得出数据： ，，，…，的平均数为5．
【详解】∵，，，…，的平均数为2，
即，
那么
，
∴，，，…，的平均数6，
那么
，
∴，，，…，的平均数为
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是算术平均数的求法．一般地设有n个数据，，，…，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．
18．（1），；（2），；甲的分数波动较小，成绩比较稳定．
【分析】（1）根据两组数据进行平均数的计算即可；
（2）根据方差的意义进行判断即可；
【详解】解：（1），
．
（2）甲、乙两人的测试分数方差:
，
．
∵，，∴甲的分数波动较小，成绩比较稳定．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和方差的求解，准确分析计算是解题的关键．
19．（1）50；（2）8；（3）C；（4）320
【分析】（1）本次调查一共随机抽取学生：（人）；
（2）；
（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组；
（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有（人）．
【详解】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：（人），
故答案为50；
（2），
故答案为8；
（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，
故答案为C；
（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有（人），
故答案为320
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛
【详解】试题分析：比较甲、乙两人的成绩的方差作出判断．
试题解析：
=（7+8+6+8+6+5+9+10+4+7）=7；
S甲2= [（7-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（5-7）2+（9-7）2+（10-7）2+（4-7）2+（7-7）2]=3；
=（9+5+7+8+6+8+7+6+7+7）=7；
S乙2=[（9-7）2+（5-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（6-7）2+（7-7）2+（7-7）2]=1.2；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛．
21．（1）见解析；（2）85分；（3）九（1）班成绩好；（4）九（1）班成绩稳定．
【分析】（1）观察图分别写出九（1）班和九（2）班5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；
（2）根据平均数计算即可；
（3）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
（4）先根据方差公式分别计算两个班复赛成绩的方差，再根据方差的意义判断即可．
【详解】解：（1）填表：
班级 中位数（分） 众数（分）
九（1） 85 85
九（2） 80 100
（2） =85
答：九（1）班的平均成绩为85分
（3）九（1）班成绩好些
因为两个班级的平均数都相同，九（1）班的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的九（1）班成绩好．
（4）S21班= [（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]=70，
S22班= [（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]=160，
因为160＞70所以九（1）班成绩稳定．
【点睛】考查了平均数、中位数、众数和方差的意义即运用．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
22．（1）50；；（2）见解析；（3）23个；（4）810人．
【分析】（1）根据31≤x<41一组的人数是10，所占的百分比是20%即可求得调查的总人数，再根据扇形统计图中每个扇形的圆心角的大小即可判断哪个范围的人数最多；
（2）先求出11≤x< 21一组的人数，进而求得21≤x<31一组的人数，从而补全直方图即可；
（3）求出加权平均数即可求解；
（4）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
【详解】解（1）∵31≤x<41一组的人数是10且百分比为20%
∴本次随机抽取的人数为10÷20%=50
∵在扇形统计图中的角度最大
∴听写正确的汉字个数在范围的人数最多；
故填50、；
（2）11≤x< 21一组的人数为50×30%=15
21≤x<31一组的人数50-5-15-10=20
则补全条形统计图如图所示：
（3）四组数据的组中值分别是：6，16，26，36
平均数（个）
∴被调查学生听写正确的汉字个数的平均数是23个．
（4）（人）
答：该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数有810人．
【点睛】本题主要考查了数分布直方图的能力和扇形统计图，从统计图中正确获取信息成为解答本题关键．
23．(1)见解析
(2)，推荐甲参加比赛更合适，理由见解析
【分析】此题主要考查了中位数的定义，平均数的求法以及方差的求法和方差与稳定性之间的关系：
（1）根据平均数、中位数的定义，结合图表数据，即可完成表格；
（2）根据平均数，以及方差公式求出甲六次测试成绩的方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可．
【详解】（1）解：将甲的成绩从小到大排列为：8，8，9，9，10，10，处在最中间的两个数分别为9、9，
∴甲的中位数为，
甲的平均数为；
设乙缺失的成绩为x，则，解得，
把乙的成绩从低到高排列为：7，8，9，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9、10，
∴乙的中位数为，
填表如下：
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9 9 9
乙 10 10 8 10 7 9 9
（2）解：甲的方差为，
∵，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10.16
【分析】（1）根据方差的计算公式分别求出两组数据的方程进行比较即可；
（2）利用完全平方差公式对式子进行整理即可证得结论；
（3）根据（1）和（2）的结论进行计算即可．
【详解】（1）证明：设，，…，的平均数为，方差为；x1 a，x2 a，…，xn a的平均数为，方差为. 则：
，
，
∴
，
∴对任意实数a，x1 a，x2 a，…，xn a与x1，x2，…，xn 方差相同；
（2）证明如下：
（3）解：根据（1）的结论，将这10个数都减去170，得：
1 2 7 3 5 2 0 3 0 1
则，再由（2）得：
【点睛】此题考查了方差，用到的知识点是方差的计算及变化特点，是一个统计问题，熟练掌握方差的运算公式是解题的关键．
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