第十八章 平行四边形同步练习（含解析）
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第十八章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于，，，则的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90 ，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是( )
A．∠D的度数为α
B．a∶b＝CD∶BC
C．若α＝60 ，则平行四边形ABCD的周长为
D．若α＝60 ，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
A．14 B． C． D．15
4．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC＝120°，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．120° C．80° D．70°
5．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．18 B．18 C．36 D．36
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．1.5 B．3.5 C．5 D．2.5
7．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长是（ ）
A．20 B．24
C．28 D．40
8．如图：△ABC中，DE是△ABC的中位线，连接DC，BE相交于点F，若S△DEF＝1，则S△ADE为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
9．如图，在平行四边形中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．如图，在中，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
11．以下图形中，不能用两个全等的含有角的直角三角形拼出的是（ ）
A．腰与底边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．矩形 D．菱形
12．下列结论中，不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
D．菱形的面积等于对角线乘积的一半
二、填空题
13．平行四边形的判定：
一组对边 的四边形是平行四边形．
两组对边 的四边形是平行四边形．
对角线 的四边形是平行四边形．
14．已知黄金矩形的宽为，则这个黄金矩形的面积是 ．（注：长：宽=的矩形为黄金矩形）
15．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．点P是对角线上一个动点，当最短时，点P的坐标为 ．
16．如图，已知，，，，是的垂直平分线，分别交、于E、F，连接，则的周长是 ．
17．如图，已知，点在边上，.过点作于点，以为一边在内作等边，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点.设，，则最大值是 .
三、解答题
18．党的二十大报告指出大自然是人类赖以生存发展的基本条件……垃圾分类、节能减排、废物再利用等必须从我们身边小事做起．为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计 方案1 方案2
裁剪方案示意图
说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据 ，，，
任务1：探寻边长关系 填空：______dm；=______
任务2：比较面积大小 计算或推理：比较正方形和正方形边长的大小
任务3：应用实践 若在四边形余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为______
19．按要求作图．
(1)如图（1），在平行四边形中，为对角线，是的中线．
①在取一点F使得；（仅使用无刻度的直尺画图）．
②画出的高．（仅使用无刻度的直尺画图）．
(2)如图（2），四边形是平行四边形，在线段找一点E，使得平分．（仅使用圆规画图）
20．如图①是某登山俱乐部新模拟的山体项目，通过锻炼可以大大提升登山员的身体素质． 该模拟山体的示意图如图②所示， 段和段总长度为，矩形和矩形均为起步平台的横截面，点G在上，点C 在 上，点D 在 上，经过现场测量得知，．
(1)乐乐猜想山体高为，请判断乐乐的猜想是否正确？ 如果正确，请写出理由，如果不正确，请求出正确的山体高；
(2)为加强攀登的安全性，俱乐部打算将山脚延伸至点 F，经测量，，请你求出此时坡面 的长．
21．如图，在菱形中，，且，试求的度数．
22．如图，已知和直线．
(1)分别写出点关于直线的对称点和关于原点的对称点的坐标；
(2)若点是点关于原点的对称点，判断四边形的形状，并说明理由．
23．学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．只保留作图痕迹
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
．
①＿＿＿②
垂直平分，
＿＿＿＿③
又＿＿＿＿④＿＿＿⑤
．
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点＿＿＿⑥
24．如图，中，，，点F是边上的中点，点D、E分别在线段、边上运动，且保持．连接、、．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)判断的度数，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A B D A A D B
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】首先根据长方形的性质知道，得出由折叠性质，得出设则利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：根据题意得：，
，
由折叠的性质得：
设则
在中，由勾股定理得：
解得：
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和折叠的特点，利用勾股定理解题．
2．D
【详解】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=AB，AB2=BE2+AE2 ，
即AB2=（AB）2+a2 ，
解得：AB=a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=AD，AD2=DF2+AF2 ，
即AD2=（AD）2+b2 ，
解得：AD=b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=a，AD=b，
∴BE=a，DF=b，
∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2 ，
S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2 ，
∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF ，
=ab-a2-b2 ，
故错误，D符合题意；
故答案为D.
【点睛】本题主要考查勾股定理和平行四边形的性质，能够灵活运用基础知识进行推理是解题关键.
3．D
【分析】设A′E＝AE＝x，则DE＝16﹣x，在Rt△A′DE中，根据勾股定理可得x值，即AE可求，证明FC＝AE，过E点作EH⊥BC于H点，则EH＝AB＝12，HF＝BC﹣BH﹣FC，在Rt△EFH中，利用勾股定理可得EF值．
【详解】根据折叠的对称性可知AE＝A′E，A′D＝AB．
设AE＝x，则DE＝16﹣x，
在Rt△A′DE中，根据勾股定理可得DE2＝A′D2+A′E2，
即（16﹣x）2＝122+x2，解得x＝，即AE＝A′E＝．
根据折叠的对称性可知∠BFE＝∠DFE，
又AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE．
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE．
又DC＝A′D，
∴Rt△DFC≌Rt△DEA′（HL）．
∴FC＝EA′＝．
过E点作EH⊥BC于H点，则EH＝AB＝12，HF＝BC﹣BH﹣FC＝16﹣﹣＝9，
在Rt△EFH中，利用勾股定理可得EF＝．
故选D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的对称性以及据悉的性质，在解决图形的折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
4．A
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠1+∠2=∠ABC，再根据折叠的性质可得∠1=∠2，即可求解.
【详解】如图，∵纸条两边平行，
∴∠1+∠2=∠ABC=120°，
∵折叠
∴∠2=∠1=60°.
故选A.
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质特点.
5．B
【详解】过点A作AE⊥BC于E，如图，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BC，
∴AE=，
∴菱形ABCD的面积是=，
故选B．
6．D
【分析】连接DN，由点E，F分别为DM，MN的中点可知EF=DN，故当DN最大时EF有最大值，由勾股定理求出DN的最大值为5，即可得到EF长度的最大值.
【详解】连接DN，
∵E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF=DN，
∴当DN最大时EF有最大值，此时点N与点B重合，
∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝，
∴DN=,
∴EF=2.5，
即EF长度的最大值为2.5.
【点睛】此题考查三角形中位线的性质：三角形的中位线等于第三边的一半，勾股定理求线段的长度，正确理解EF与DN的关系是解题的关键.
7．A
【详解】设对角线的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴∠AOD＝90°，AO＝4，DO＝3，∴，∴周长为5×4＝20，故选A．
8．A
【分析】根据DE是△ABC的中位线，可得点F是△ABC的重心，进而求得FB＝2FE，即可求得S△DEB＝3，根据AD＝DB，即可求得答案．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，连接DC，BE相交于点F，
∴点F是△ABC的重心，AD＝DB，
∴FB＝2FE，
∴S△DBF＝2S△DEF＝2×1＝2，
∴S△DEB＝S△DEF+S△DBF＝1+2＝3，
∵AD＝DB，
∴S△ADE＝S△DEB＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键．
9．D
【分析】根据平分，得到，结合平行四边形得得到，继而得到得到，结合线段和计算选择即可．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】．∵，，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
10．B
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得到，，用勾股定理求出AO的长，从而得到OC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
11．D
【分析】动手实践，把两个全等的含的直角三角形分别拼各选项要求的图形，从而可得答案.
【详解】解：如图，
可以拼出腰与底边不相等的等腰三角形，故不符合题意；
如图，
可以拼出等边三角形，故不符合题意；
如图，
可以拼出矩形，故不符合题意；
如图，
可以拼出平行四边形，但不是菱形，故符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的图形特点，等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形的判定与性质，熟悉以上图形的判定是解题的关键.
12．C
【分析】由菱形和矩形的判定得出A、B正确，由等腰梯形的判定得出C不正确，由对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，得出D正确，即可得出结论．
【详解】解：A.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴A正确；
B.∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴B正确；
C.∵一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，
∴C不正确；
D.∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，
∴D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及四边形面积；熟记菱形，矩形和等腰梯形的判定方法是解题的关键．
13． 平行且相等 分别平行或相等 互相平分
【分析】根据平行四边形的判定定理填空即可．
【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故答案为：平行且相等；分别平行或相等；互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
14．
【分析】根据长：宽=的矩形为黄金矩形求出矩形的长，再计算面积即可．
【详解】解：∵黄金矩形的宽为，
∴黄金矩形的长为，
∴这个黄金矩形的面积是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金矩形的定义和二次根式的混合运算，掌握黄金矩形的概念、熟练进行二次根式的混合运算是关键．
15．
【分析】先求出，点B，D关于直线对称．设交于，连接，则，，即．则当点P和点重合时，的值最小．在中，，则，则，求出，即可得到点P的坐标．
【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为，
∴
四边形是菱形，
，D关于直线对称．
设交于，连接，则，
，即．
当点P和点重合时，的值最小．
在中，
，
∴，
则，即，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、菱形的性质、轴对称的性质、点的坐标等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
16．10
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，先证明四边形是平行四边形，可得，，再根据垂直平分线性质得，最后根据得出答案.
【详解】
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，.
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长是：．
故答案为：10．
17．
【分析】过P作PH⊥OY于点H，构建含30°角的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，由∠EPH=30°，可得EH的长，从而可得a+2b与OH的关系，确认OH取最大值时点H的位置，可得结论.
【详解】解：过P作PH⊥OY于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，∠EPH=30°，
∴EH=EP=a，
∴a+2b=2（）=2(EH+EO)=2OH，
∴当P在点B处时，OH的值最大，
此时，OC=OA=1，AC==BC，CH=，
∴OH=OC+CH=1+=，此时a+2b的最大值=2×=5.
故答案为5.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、30°的直角三角形的性质和平行四边形的判定和性质，掌握求a+2b的最大值就是确定OH的最大值，即可解决问题.
18．见解析
【分析】任务1：过点作，交于点，则：四边形为矩形，利用矩形的性质和勾股定理，即可求出，同时得到，进而得到为等腰直角三角形，即可得到；
任务2：利用正方形的性质，得到为等腰直角三角形，得到，利用，即可求出正方形的边长，同法可以得到正方形的边长，再进行比较即可；
任务3：由题意得：方案一裁剪出来的的正方形的要大于方案而裁剪出来的正方形，按照任务2求正方形的边长的方法，即可得解．
【详解】任务1：作于，
∵，
∴四边形为矩形
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；；
任务2：由任务1知：，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的边长为：；
设正方形的边长为，
由任务1可知：，，
∴，，
∴，
由题意得：
∴
∴正方形的边长为；
∵
∴正方形边长大于正方形的边长；
任务3：由题意得：方案一裁剪出来的的正方形的要大于方案二而裁剪出来的正方形，
∴要在四边形余料上再截取一个最大正方形，应按照方案一的裁剪方法进行裁剪，
如图：
同任务2求正方形边长的方法可得：正方形的边长应为，
∵，
∴，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形的综合应用．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形，是解题的关键．
19．(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①连接交AC于O点，则，则为的中位线，可得，延长交于F，则满足条件；
②设交于P点，则P点为的三条中线的交点，然后延长交于H，为边上的中线，再由，根据等腰三角形的性质得到；
（2）以A点为圆心，为半径画弧交于E点，则，可得，再根据，可知，从而得到，即可．
【详解】（1）解：①如图1，连接交AC于O点，并延长交于F，F点即为所作；
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中线．
∴为的中位线，
∴，即；
②如图1，设交于P点，延长交于H，即为所作；
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中线．
∴P点为的三条中线的交点，
∴为边上的中线，
∴，即是的高；
（2）解：如图2，以A点为圆心，为半径画弧交于E点，则线段为所作．
理由：根据作法得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即平分．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．
20．(1)不正确， 山体高为
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是∶
（1）利用矩形的性质求出，，设，则．在中，由勾股定理得，即可求解；
（2）利用矩形的性质可求出，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：不正确．
理由：由题意，得，，，
设，则．
在中，由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴乐乐的猜想不正确，山体高为；
（2）解∶ 由题意，得，，
∴，
在中，由勾股定理得，
答：此时坡面的长为．
21．
【分析】本题主要考查了菱形的性质及等边对等角，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
由菱形的性质可知，结合，得，即可求解．
【详解】解：在菱形中，，
．
又，
．
．
22．(1)，
(2)矩形，见解析
【分析】本题考查矩形，点关于直线对称的知识，解题的关键是掌握点关于直线对称的性质，矩形的判定，即可．
（1）根据点关于直线对称，则，互换即为对称点坐标求出点，根据点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可；
（2）根据点关于原点对称横纵坐标互为相反数，求出点，再根据矩形的判定，即可．
【详解】（1）∵，
∴点关于直线的对称点；
∵关于原点对称横纵坐标互为相反数，
∴关于原点的对称点的坐标为：．
（2）∵点，
∴点原点的对称点的坐标为：，
∵点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵点关于直线的对称点为，点关于原点的对称点为，点关于原点的对称点为，
∴，
∴平行四边形是矩形．
23．作图见解析；，两直线平行，内错角相等；；，对顶角相等；平分
【分析】本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质;根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】如图所示，
证明：四边形是平行四边形，
．
，(两直线平行，内错角相等)
垂直平分，
，
又(对顶角相等)，
)．
；
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，
故答案为：，两直线平行，内错角相等；；，对顶角相等；平分．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，只需要证明得到，即可证明是等腰三角形；
（2）由全等三角形的性质得到，由三线合一定理得到，则，即可求出．
【详解】（1）解：证明：，，点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），
，
，点是边上的中点，
，即，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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第十八章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，将长方形沿直线折叠，使点落在点处，交于，，，则的长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＜90 ，BC＞AB．作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，记∠EAF的度数为α，AE＝a，AF＝b．则以下选项错误的是( )
A．∠D的度数为α
B．a∶b＝CD∶BC
C．若α＝60 ，则平行四边形ABCD的周长为
D．若α＝60 ，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（ ）
A．14 B． C． D．15
4．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC＝120°，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．120° C．80° D．70°
5．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．18 B．18 C．36 D．36
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）
A．1.5 B．3.5 C．5 D．2.5
7．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长是（ ）
A．20 B．24
C．28 D．40
8．如图：△ABC中，DE是△ABC的中位线，连接DC，BE相交于点F，若S△DEF＝1，则S△ADE为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
9．如图，在平行四边形中，，，的平分线交边于点E，则的长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．如图，在中，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
11．以下图形中，不能用两个全等的含有角的直角三角形拼出的是（ ）
A．腰与底边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．矩形 D．菱形
12．下列结论中，不正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
D．菱形的面积等于对角线乘积的一半
二、填空题
13．平行四边形的判定：
一组对边 的四边形是平行四边形．
两组对边 的四边形是平行四边形．
对角线 的四边形是平行四边形．
14．已知黄金矩形的宽为，则这个黄金矩形的面积是 ．（注：长：宽=的矩形为黄金矩形）
15．在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．点P是对角线上一个动点，当最短时，点P的坐标为 ．
16．如图，已知，，，，是的垂直平分线，分别交、于E、F，连接，则的周长是 ．
17．如图，已知，点在边上，.过点作于点，以为一边在内作等边，点是围成的区域（包括各边）内的一点，过点作交于点，作交于点.设，，则最大值是 .
三、解答题
18．党的二十大报告指出大自然是人类赖以生存发展的基本条件……垃圾分类、节能减排、废物再利用等必须从我们身边小事做起．为了充分利用四边形余料，小明设计了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案与数据如下表：
方案设计 方案1 方案2
裁剪方案示意图
说明 图中的正方形和正方形四个顶点都在原四边形的边上
测量数据 ，，，
任务1：探寻边长关系 填空：______dm；=______
任务2：比较面积大小 计算或推理：比较正方形和正方形边长的大小
任务3：应用实践 若在四边形余料上再截取一个最大正方形，正方形的边长为______
19．按要求作图．
(1)如图（1），在平行四边形中，为对角线，是的中线．
①在取一点F使得；（仅使用无刻度的直尺画图）．
②画出的高．（仅使用无刻度的直尺画图）．
(2)如图（2），四边形是平行四边形，在线段找一点E，使得平分．（仅使用圆规画图）
20．如图①是某登山俱乐部新模拟的山体项目，通过锻炼可以大大提升登山员的身体素质． 该模拟山体的示意图如图②所示， 段和段总长度为，矩形和矩形均为起步平台的横截面，点G在上，点C 在 上，点D 在 上，经过现场测量得知，．
(1)乐乐猜想山体高为，请判断乐乐的猜想是否正确？ 如果正确，请写出理由，如果不正确，请求出正确的山体高；
(2)为加强攀登的安全性，俱乐部打算将山脚延伸至点 F，经测量，，请你求出此时坡面 的长．
21．如图，在菱形中，，且，试求的度数．
22．如图，已知和直线．
(1)分别写出点关于直线的对称点和关于原点的对称点的坐标；
(2)若点是点关于原点的对称点，判断四边形的形状，并说明理由．
23．学行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．只保留作图痕迹
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
．
①＿＿＿②
垂直平分，
＿＿＿＿③
又＿＿＿＿④＿＿＿⑤
．
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点＿＿＿⑥
24．如图，中，，，点F是边上的中点，点D、E分别在线段、边上运动，且保持．连接、、．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)判断的度数，并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D A B D A A D B
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】首先根据长方形的性质知道，得出由折叠性质，得出设则利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：根据题意得：，
，
由折叠的性质得：
设则
在中，由勾股定理得：
解得：
．
故选D．
【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和折叠的特点，利用勾股定理解题．
2．D
【详解】解：A.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠α+∠C=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=∠α，故正确，A不符合题意；
B.∵ AE⊥BC ， AF⊥CD ，
∴S四边形ABCD=BC·AE=CD·AF，
∵ AE＝a，AF＝b，
∴BC·a=CD·b，
即CD：BC=a：b，故正确，B不符合题意；
C.由A知∠D=∠α，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠α=60°，
∴∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC ，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝a ，
∴BE=AB，AB2=BE2+AE2 ，
即AB2=（AB）2+a2 ，
解得：AB=a，
∵ AF⊥CD ，∴∠AFC=90°，
∴∠DAF=30°，
在Rt△ADF中，
∵AF＝b ，
∴DF=AD，AD2=DF2+AF2 ，
即AD2=（AD）2+b2 ，
解得：AD=b，
∴C四边形ABCD=2（AB+AD）=2×（a+b）=（a+b），
故正确，C不符合题意；
D.由C知AB=a，AD=b，
∴BE=a，DF=b，
∴S△ABE=·BE·AE=×a×a=a2 ，
S△ADF=·DF·AF=×b×b=b2 ，
∵S四边形ABCD=BC·AE=ab，
∴S四边形AECF=S四边形ABCD-S△ABE-S△ADF ，
=ab-a2-b2 ，
故错误，D符合题意；
故答案为D.
【点睛】本题主要考查勾股定理和平行四边形的性质，能够灵活运用基础知识进行推理是解题关键.
3．D
【分析】设A′E＝AE＝x，则DE＝16﹣x，在Rt△A′DE中，根据勾股定理可得x值，即AE可求，证明FC＝AE，过E点作EH⊥BC于H点，则EH＝AB＝12，HF＝BC﹣BH﹣FC，在Rt△EFH中，利用勾股定理可得EF值．
【详解】根据折叠的对称性可知AE＝A′E，A′D＝AB．
设AE＝x，则DE＝16﹣x，
在Rt△A′DE中，根据勾股定理可得DE2＝A′D2+A′E2，
即（16﹣x）2＝122+x2，解得x＝，即AE＝A′E＝．
根据折叠的对称性可知∠BFE＝∠DFE，
又AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE．
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DF＝DE．
又DC＝A′D，
∴Rt△DFC≌Rt△DEA′（HL）．
∴FC＝EA′＝．
过E点作EH⊥BC于H点，则EH＝AB＝12，HF＝BC﹣BH﹣FC＝16﹣﹣＝9，
在Rt△EFH中，利用勾股定理可得EF＝．
故选D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的对称性以及据悉的性质，在解决图形的折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
4．A
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠1+∠2=∠ABC，再根据折叠的性质可得∠1=∠2，即可求解.
【详解】如图，∵纸条两边平行，
∴∠1+∠2=∠ABC=120°，
∵折叠
∴∠2=∠1=60°.
故选A.
【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质特点.
5．B
【详解】过点A作AE⊥BC于E，如图，
∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，
∴∠BAE=30°，
∵AE⊥BC，
∴AE=，
∴菱形ABCD的面积是=，
故选B．
6．D
【分析】连接DN，由点E，F分别为DM，MN的中点可知EF=DN，故当DN最大时EF有最大值，由勾股定理求出DN的最大值为5，即可得到EF长度的最大值.
【详解】连接DN，
∵E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF=DN，
∴当DN最大时EF有最大值，此时点N与点B重合，
∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝，
∴DN=,
∴EF=2.5，
即EF长度的最大值为2.5.
【点睛】此题考查三角形中位线的性质：三角形的中位线等于第三边的一半，勾股定理求线段的长度，正确理解EF与DN的关系是解题的关键.
7．A
【详解】设对角线的交点为O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴∠AOD＝90°，AO＝4，DO＝3，∴，∴周长为5×4＝20，故选A．
8．A
【分析】根据DE是△ABC的中位线，可得点F是△ABC的重心，进而求得FB＝2FE，即可求得S△DEB＝3，根据AD＝DB，即可求得答案．
【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，连接DC，BE相交于点F，
∴点F是△ABC的重心，AD＝DB，
∴FB＝2FE，
∴S△DBF＝2S△DEF＝2×1＝2，
∴S△DEB＝S△DEF+S△DBF＝1+2＝3，
∵AD＝DB，
∴S△ADE＝S△DEB＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，三角形中线的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形重心的性质是解题的关键．
9．D
【分析】根据平分，得到，结合平行四边形得得到，继而得到得到，结合线段和计算选择即可．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】．∵，，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选D．
10．B
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分得到，，用勾股定理求出AO的长，从而得到OC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
11．D
【分析】动手实践，把两个全等的含的直角三角形分别拼各选项要求的图形，从而可得答案.
【详解】解：如图，
可以拼出腰与底边不相等的等腰三角形，故不符合题意；
如图，
可以拼出等边三角形，故不符合题意；
如图，
可以拼出矩形，故不符合题意；
如图，
可以拼出平行四边形，但不是菱形，故符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的图形特点，等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形的判定与性质，熟悉以上图形的判定是解题的关键.
12．C
【分析】由菱形和矩形的判定得出A、B正确，由等腰梯形的判定得出C不正确，由对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，得出D正确，即可得出结论．
【详解】解：A.∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴A正确；
B.∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴B正确；
C.∵一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，
∴C不正确；
D.∵对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，
∴D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及四边形面积；熟记菱形，矩形和等腰梯形的判定方法是解题的关键．
13． 平行且相等 分别平行或相等 互相平分
【分析】根据平行四边形的判定定理填空即可．
【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故答案为：平行且相等；分别平行或相等；互相平分．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
14．
【分析】根据长：宽=的矩形为黄金矩形求出矩形的长，再计算面积即可．
【详解】解：∵黄金矩形的宽为，
∴黄金矩形的长为，
∴这个黄金矩形的面积是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金矩形的定义和二次根式的混合运算，掌握黄金矩形的概念、熟练进行二次根式的混合运算是关键．
15．
【分析】先求出，点B，D关于直线对称．设交于，连接，则，，即．则当点P和点重合时，的值最小．在中，，则，则，求出，即可得到点P的坐标．
【详解】解：点A的坐标为，点B的坐标为，
∴
四边形是菱形，
，D关于直线对称．
设交于，连接，则，
，即．
当点P和点重合时，的值最小．
在中，
，
∴，
则，即，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、菱形的性质、轴对称的性质、点的坐标等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
16．10
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，先证明四边形是平行四边形，可得，，再根据垂直平分线性质得，最后根据得出答案.
【详解】
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，.
∵是的垂直平分线，
∴，
∴的周长是：．
故答案为：10．
17．
【分析】过P作PH⊥OY于点H，构建含30°角的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP中，由∠EPH=30°，可得EH的长，从而可得a+2b与OH的关系，确认OH取最大值时点H的位置，可得结论.
【详解】解：过P作PH⊥OY于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，
∴EP=OD=a，∠EPH=30°，
∴EH=EP=a，
∴a+2b=2（）=2(EH+EO)=2OH，
∴当P在点B处时，OH的值最大，
此时，OC=OA=1，AC==BC，CH=，
∴OH=OC+CH=1+=，此时a+2b的最大值=2×=5.
故答案为5.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、30°的直角三角形的性质和平行四边形的判定和性质，掌握求a+2b的最大值就是确定OH的最大值，即可解决问题.
18．见解析
【分析】任务1：过点作，交于点，则：四边形为矩形，利用矩形的性质和勾股定理，即可求出，同时得到，进而得到为等腰直角三角形，即可得到；
任务2：利用正方形的性质，得到为等腰直角三角形，得到，利用，即可求出正方形的边长，同法可以得到正方形的边长，再进行比较即可；
任务3：由题意得：方案一裁剪出来的的正方形的要大于方案而裁剪出来的正方形，按照任务2求正方形的边长的方法，即可得解．
【详解】任务1：作于，
∵，
∴四边形为矩形
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；；
任务2：由任务1知：，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴正方形的边长为：；
设正方形的边长为，
由任务1可知：，，
∴，，
∴，
由题意得：
∴
∴正方形的边长为；
∵
∴正方形边长大于正方形的边长；
任务3：由题意得：方案一裁剪出来的的正方形的要大于方案二而裁剪出来的正方形，
∴要在四边形余料上再截取一个最大正方形，应按照方案一的裁剪方法进行裁剪，
如图：
同任务2求正方形边长的方法可得：正方形的边长应为，
∵，
∴，
∴正方形的边长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形的综合应用．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形，是解题的关键．
19．(1)①见解析；②见解析
(2)见解析
【分析】（1）①连接交AC于O点，则，则为的中位线，可得，延长交于F，则满足条件；
②设交于P点，则P点为的三条中线的交点，然后延长交于H，为边上的中线，再由，根据等腰三角形的性质得到；
（2）以A点为圆心，为半径画弧交于E点，则，可得，再根据，可知，从而得到，即可．
【详解】（1）解：①如图1，连接交AC于O点，并延长交于F，F点即为所作；
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中线．
∴为的中位线，
∴，即；
②如图1，设交于P点，延长交于H，即为所作；
理由：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵是的中线．
∴P点为的三条中线的交点，
∴为边上的中线，
∴，即是的高；
（2）解：如图2，以A点为圆心，为半径画弧交于E点，则线段为所作．
理由：根据作法得：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即平分．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质以及平行线的性质．
20．(1)不正确， 山体高为
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是∶
（1）利用矩形的性质求出，，设，则．在中，由勾股定理得，即可求解；
（2）利用矩形的性质可求出，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：不正确．
理由：由题意，得，，，
设，则．
在中，由勾股定理得 ，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴乐乐的猜想不正确，山体高为；
（2）解∶ 由题意，得，，
∴，
在中，由勾股定理得，
答：此时坡面的长为．
21．
【分析】本题主要考查了菱形的性质及等边对等角，熟练掌握菱形的性质定理是解题的关键．
由菱形的性质可知，结合，得，即可求解．
【详解】解：在菱形中，，
．
又，
．
．
22．(1)，
(2)矩形，见解析
【分析】本题考查矩形，点关于直线对称的知识，解题的关键是掌握点关于直线对称的性质，矩形的判定，即可．
（1）根据点关于直线对称，则，互换即为对称点坐标求出点，根据点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可；
（2）根据点关于原点对称横纵坐标互为相反数，求出点，再根据矩形的判定，即可．
【详解】（1）∵，
∴点关于直线的对称点；
∵关于原点对称横纵坐标互为相反数，
∴关于原点的对称点的坐标为：．
（2）∵点，
∴点原点的对称点的坐标为：，
∵点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵点关于直线的对称点为，点关于原点的对称点为，点关于原点的对称点为，
∴，
∴平行四边形是矩形．
23．作图见解析；，两直线平行，内错角相等；；，对顶角相等；平分
【分析】本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质;根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】如图所示，
证明：四边形是平行四边形，
．
，(两直线平行，内错角相等)
垂直平分，
，
又(对顶角相等)，
)．
；
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，
故答案为：，两直线平行，内错角相等；；，对顶角相等；平分．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，只需要证明得到，即可证明是等腰三角形；
（2）由全等三角形的性质得到，由三线合一定理得到，则，即可求出．
【详解】（1）解：证明：，，点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），
，
，点是边上的中点，
，即，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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