第十六章 二次根式同步练习（含解析）

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第十六章二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．阅读理解：我们已经学习了《乘法公式》和《二次根式》，可以发现：当，时，有，得，当且仅当时等号成立，即有最小值是．请利用这个结论解答问题：当时，的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B．3×2＝6 C．（2）2＝16 D．＝1
9．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
1
… … …
A． B． C． D．
10．下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．下列各式中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算= .
14．如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ．
15．若与都是二次根式，那么 ．
16．计算：= ．
17．计算 ．
三、解答题
18．先化简再求值：，其中．
19．已知的三条边长，， ，在下面的方格图内画出，使它的顶点都在格点上(每个小方格的边长均为1)．

(1)求的面积．
(2)求点A到边的距离．
20．有一块长方形纸板，嘉琪用如图1所示的方式，在纸板上截出两块面积分别为和的正方形纸板．
(1)求截出的这两块正方形纸板的边长；
(2)嘉琪用截出的两块正方形纸板按如图2所示的方式进行拼接，得到两个直角三角形（阴影部分），求这两个直角三角形的面积之和；
(3)现有若干完全相同的长方形纸板，每个长方形纸板恰好可以截出两块面积分别为和的正方形，嘉琪打算将截完正方形后剩余的小长方形纸板再次进行裁剪拼接，铺满（2）中得到的两个直角三角形（阴影部分），那么她至少要用多少块这样的小长方形纸板？
21．如图，正方形的面积为48平方厘米，它的四个角是面积为3平方厘米的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的体积是多少 （结果保留根号）
22．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），则计算公式为，其中．
(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间；
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为，座钟的摆长应设计为多少m？（，取3，结果保留小数点后两位）
23．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如：
根据平方根的定义可得：∵，∴．
根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：
(1)求下列各式中的值．
；
．
(2)求证：．
证明：∵是的平方根，
∴．
∵（依据）
，（依据）
∴．
填写推理依据，
依据：__________________；
依据：__________________．
计算：．
24．观察下列各式及其验算过程：
验证：
验证：
按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
针对上述各式反映的规律，写出用（为任意自然数，且）表示的等式，并给出证明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A C D D B B C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】利用二次根式加减的法则，可解决A和B选项；利用乘、除法则可分别解决C、D．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和二次根式的乘除运算等知识．正确的理解运用法则和准确的计算是解决本题的关键．
2．C
【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、
=
=
=，故选项正确；
D、，故选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.
3．D
【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用．当时，直接根据公式计算即可求解．
【详解】解：当时，，
∴的最小值为3，
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；因此此题可根据二次根式的加减乘除运算可进行排除选项．
【详解】解：A、，计算正确，故符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选A．
5．C
【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项进行判断即可．
【详解】解：A选项：不一定能满足被开方数为非负数，不一定二次根式，故本选项错误；
B选项：被开方数为负数，故本选项错误；
C选项：满足被开方数为非负数且根指数为2，故该选项正确；
D选项：根指数为3，不是二次根式，故本选项错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
6．D
【分析】根据二次根式的四则运算法则依次计算判断即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
【详解】解：A、与不能计算，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
7．D
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：A、+无法合并，故此选项错误；
B、6﹣＝，故此选项错误；
C、3﹣＝2，故此选项错误；
D、6﹣2＝4，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8．B
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算，判断即可．
【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意；
B.3×2＝6，B计算正确，符合题意；
C.（2）2＝8，C计算错误，不符合题意；
D.＝，D计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
9．B
【分析】由图形可知，第n行最后一个数为据此可得答案.
【详解】由图形可知，第n行最后一个数为
∴第8行最后一个数为
则第9行从左至右第5个数是
故选B.
【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n行最后一个数为
10．C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、的被开方数中含有开的尽的因式b2，不是最简二次根式，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
11．B
【分析】根据二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义求解即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．
12．D
【分析】根据二次根式的定义即可得．
【详解】A、属于二次根式
B、属于二次根式
C、属于二次根式
D、，则不属于二次根式
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记定义是解题关键．
13．1
【详解】分析：直接利用平方差公式和二次根式的性质（=a（a≥0））进行解答即可．
详解：原式=-
=3-2
=1．
故答案为1．
点睛：本题考查了平方差公式的应用和二次根式性质的应用，熟记公式和性质是解决此题的关键．
14．/
【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键．
根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解．
【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，，
∴
，
故答案为： ．
15．0
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，进而即可求解．
【详解】解：∵与都是二次根式，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
16．．
【详解】试题分析：先化简后再进行二次根式的除法运算，即．
考点：二次根式的化简；二次根式的除法运算．
17．
【分析】根据，进行计算即可得到答案．
【详解】
=
=
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，注意最后结果化成最简二次根式，准确计算是解题的关键．
18．
【分析】先利用分式的性质进行化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
19．(1)画图见解析，3
(2)
【分析】本题主要考查了利用网格求三角形面积，求三角形的高，二次根式的除法计算等等：
（1）先根据题意画出对应的图形，然后利用网格求出三角形面积即可；
（2）设点A到边的距离为h，利用三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴；

（2）解：设点A到边的距离为h，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点A到边的距离为．
20．(1)面积为的正方形边长为，，面积为的正方形边长为
(2)这两个直角三角形的面积之和为
(3)至少要用6块剩余小长方形纸板就可以将两个直角三角形（阴影部分）铺满
【分析】本题考查的是二次根式的实际应用，理解题意是关键．
（1）利用算术平方根的含义，结合二次根式的化简可得答案；
（2）先列式，再利用二次根式的乘法运算计算即可；
（3）先得到剩余小长方形纸板的边长分别为和，可得剩余小长方形的面积为，从而可得答案．
【详解】（1）解：，
面积为的正方形边长为，
同理，面积为的正方形边长为；
（2）得到的这两个直角三角形的直角边长分别为和，
这两个直角三角形的面积之和为；
（3）的正方形边长为，的正方形边长为
∴剩余小长方形纸板的边长分别为和
∴剩余小长方形的面积为
∴至少要用6块剩余小长方形纸板就可以将两个直角三角形（阴影部分）铺满．
21．
【分析】根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意，得到这个长方体的长为，宽为，高为，根据体积公式解答即可．
本题考查了算术平方根的应用，二次根式的乘法，体积计算，熟练掌握算术平方根，二次根式的乘法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，
小正方形的边长为，
根据题意，得到这个长方体的长为，宽为，高为，
故体积为：．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除，解题的关键是运用公式求出这个座钟的周期．
（1）根据计算公式为，代入数据计算即可；
（2）根据计算公式为，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
即座钟的摆长应设计为大约．
23．(1)或或；
(2)积的乘方；平方根的定义；．
【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；
先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解；
（）根据积的乘方和平方根的定义即可；
根据二次根式乘法法则进行即可计算．
【详解】（1），
，
或；
，
，
或；
（2）积的乘方；平方根的定义；
原式．
【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算．
24．，验证见解析；，验证见解析
【分析】根据计算规律即可得出等式，根据已知等式的计算方法验证即可．
【详解】解：
验证：；
∴，
证明：∵，
∴．
【点睛】此题考查了二次根式的计算及性质，读懂题意及寻找规律并应用是解题的关键．
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