四川省达州市2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

四川省高2026届第二次月考试题（高二·上）
数学
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角大小为（ ）
A. B. C. D.
2.设向量，，若，则（ ）
A. B. C.1 D.2
3.椭圆的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4.直线与圆的位置关系为（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定
5.若是两条不相同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
6.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A.至少有一个黑球与都是黑球 B.恰好有一个黑球与都是红球
C.至少有一个黑球与都是红球 D.恰好有两个黑球与至少一个红球
7.定义在上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最大值为（ ）
A.9 B.11 C.13 D.15
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（ ）
A.设为空间的一组基底，且则四点共面
B.若非零向量，满足则有
C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
10.若方程所表示的曲线为，则（ ）
A.曲线可能是圆
B.若为椭圆，且焦点在轴上，则
C.若，则为椭圆
D.当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形 六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A.该半正多面体的体积为
B.该半正多面体的顶点数 面数 棱数满足关系式
C.该半正多面体过三点的截面面积为
D.该半正多面体外接球的表面积为
三 填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为__________.
13.无论为何值，直线过定点__________.
14.若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为__________.
四 解答题：本题共5个小题，共77分，其中15题13分，16-17题每道15分，18-19题每道17分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
求满足下列条件的椭圆的标准方程：
①焦点坐标分别为，且经过点；
②经过两点.
16.（本小题满分15分）
已知的顶点边上的高所在直线的方程为.
（1）求直线的一般方程；
（2）若边上的中线所在直线的方程为，求直线的一般方程.
17.（满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，且，是的中点，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.
18.（满分17分）
在中，角所对的边分别为，且满足的外接圆的半径为.
（1）求角的值；
（2）如果，求的面积；
（3）求内切圆半径的最大值.
19.（本小题满分17分）
已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
四川省高2026届第二次月考试题（高二 上）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D C B B A C BCD AB ABD
12.【答案】.
13.【答案】
14.【答案】
11.【答案】ABD【详解】如图，该半正多面体是由棱长为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.
对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
所以该几何体的体积为：，故A正确；
对于B，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，即，满足，故B正确；
对于C，由平行关系得到过三点的截面为正六边形，边长为2，
可分割为6个正三角形，所以，故C错误；
对于D，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为2，
侧棱长为的正四棱柱的外接球，故外接球半径为，
所以该半正多面体外接球的表面积，故D正确，
故选：ABD.
14.【详解】由已知得，，整理得，
看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等；
由，
（1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线.
（2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，
注意到不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点到的距离为，
①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，
此时，，符合；
②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，
此时，，符合；
综上，满足题意的实数为，它们的和为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用以及方程组解的个数问题解法，解题的关键是把问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线（不过原点）的距离相等，属于难题.
15.①解法一：椭圆的焦点在轴上，
设所求椭圆的标准方程为.
由题意知，
，
解得.
.
所求椭圆的标准方程为.
解法二：椭圆的焦点在轴上，
设所求椭圆的标准方程为.
由题意得解得
所求椭圆的标准方程为.
②解法一：（i）当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，
依题意知解得
，
焦点在轴上的椭圆不存在.
（ii）当椭圆的焦点在轴上时，
设椭圆的标准方程为.
由题意得
解得.
故所求椭圆的标准方程为.
解法二：设所求椭圆的方程为.
由题意得
解得
故所求椭圆的方程为，
即椭圆的标准方程为.
15.（1）设点，点，
则
点在圆上，
.
.
即线段的中点的轨迹方程为.或者.
（2）设圆的半径为圆过点.又圆与圆内切，圆的半径为两圆的圆心距，即大于点的轨迹是以为焦点的椭圆...
即圆心的轨迹方程为.
边上的中线所在直线的方程为，
由，解得
所以点的坐标为.
设点，则的中点在直线上，
所以，
即，
又点在直线上，所以，
所以的斜率，
所以直线的方程为，
即.
（1）因为边上的高所在直线的方程为，
所以直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为，即.
17.【详解】（1）因为平面平面，所以，
由知，，
又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为是的中点，所以，
又平面，所以平面
（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图，则
故，
设平面的法向量，
则，即，取，
由（1）可知为平面的法向量
则，
即平面与平面所成夹角的余弦值.
18.【详解】（1）由及正弦定理，
可得又因为
所以，故，由于，所以.
（2）由已知，
由余弦定理可得①
又由可得②
由①②可解得
所以.
（3）因为
所以，即.
由可知，即
从而.
又因为，
所以，因此
从而的最大值为，当且仅当，
即为正三角形时等号成立.
19.【答案】（1）；
（2）或；
（3）.
【解】（1）由题可知，设圆的方程为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，
所以圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为
①当直线斜率不存在时：，满足到直线的距离
②当直线斜率存在时：设方程：即
综上：直线的一般式方程为或
（3）由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，又，
同理，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.