7.5.2三角形的内角和定理（2） 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第七章平行线的证明
7.5.2三角形的内角和定理（2）
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1．掌握三角形内角和定理的两个推理，并能运用这些定理解决简单的问题．
2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．
3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．
情景导入
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
情景导入
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考： 像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
探索新知
三角形的外角的概念
一
观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能发现它们的共同特征吗？
1. ∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上;
2. ∠ 1的一条边是三角形的一条边;
3. ∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线.
探索新知
外角的定义：△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.
D
（1）顶点在三角形的一个顶点上.
如：∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；
（2）一条边是三角形的一边.
如：∠ACD的一条边AC是△ABC的一条边；
（3）另一条边是三角形某条边的延长线.
如：∠ACD的边CD是△ABC的BC的延长线.
探索新知
D
你能画出△ABC的其他外角吗？
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
探索新知
三角形的外角的性质
二
问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
探索新知
问题2： 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
∠A+∠B=∠BCD
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
探索新知
D
证明：过C作CE∥AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，
求证：∠ACD=∠A+∠B.
总结归纳
探索新知
三角形内角和定理的推论（一）
A
B
C
D
(
(
(
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
探索新知
例1 已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC．
求证：AD∥BC
B
A
C
D
E
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠B= ∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE= ∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
探索新知
探究：如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.


图
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
B
C
E
D
A
A
C
B
D
探索新知
总结归纳
三角形内角和定理的推论（二）
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
∵ ∠1 是△ABC 的外角
∴ ∠1 ＞ ∠B， ∠1＞ ∠C
几何语言：
A
B
C
1
探索新知
例2 如图，P是△ABC内的一点，求证：∠BPC＞∠A.
证明：延长BP,交AC于D，
∵∠BPC是△PDC的外角(外角定义)
∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∵∠PDC是△ABD的外角(外角定义)
∴∠PDC＞∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)．
∴∠BPC＞∠A.
证明：∵ ∠1 +∠BAF=180°
∠2 +∠CBD=180°
∠3 +∠ACE=180°( 平角的定义 )
∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD +∠ACE = 3× 180°
又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3 = 180°(三角形内角和定理)
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 540 °- 180°
∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°
已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
定理3.三角形三个外角的和是360°
1
B
C
2
3
F
E
A
D
探索新知
探索新知
注意：在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
总结归纳
当堂检测
1.如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是(　　)
A．∠1，∠2
B．∠2，∠3
C．∠1，∠3
D．∠1，∠2，∠3
C
当堂检测
2.如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠MPA＝32°，则∠MEC的度数是(　　)
A．58° B．122°
C．132° D．148°
B
3.如图，在△ABC中，∠A＝55°，∠B＝45°，
那么∠ACD的度数为(　　)
A．110° B．100° C．55° D．45°
B
当堂检测
4.如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是(　　)
A．30°
B．40°
C．50°
D．70°
B
当堂检测
5．(1)将一副三角板按如图1的方式叠放，则∠α＝ 　75　 °；
图1 图2
(2)将一副三角板按如图2的方式叠放，则∠α＝ 　75　 °.
75　
75　
当堂检测
6．如图，已知D为△ABC的边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，
∠A＝35°，∠D＝42°.
(1)求∠B的度数；
解：∵DF⊥AB，
∴∠B＋∠D＝90°.
∴∠B＝90°－∠D＝90°－42°＝48°.
(2)求∠ACD的度数．
解：∠ACD＝∠A＋∠B＝35°＋48°＝83°.
当堂检测
7．如图，D是△ABC的边BC上一点，∠B＝∠1，∠C＝∠ADC，
∠BAC＝84°，求∠B的度数．
解：∵∠ADC＝∠1＋∠B，∠B＝∠1，
∴∠ADC＝2∠B．
∵∠C＝∠ADC，
∴∠C＝2∠B．
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠BAC＝84°，
∴∠B＋∠C＝180°－84°＝96°.
∴3∠B＝96°.
∴∠B＝32°.
当堂检测
8．在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，
∠A为50°，求∠P的度数．
解：∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＝∠ACE－∠ABC．
∵∠PCE＝∠P＋∠PBC，∴∠P＝∠PCE－∠PBC．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
定理1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
定理2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
定理3.三角形三个外角的和是360°
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