7.4平行线的性质 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第七章平行线的证明
7.4平行线的性质
北师大版 数学 八年级 上册
学习目标
1.掌握平行线的性质定理，会证明“两直线平行，内错角相等（或同旁内角互补）”；了解平行于同一条直线的两条直线平行.
2.了解性质定理与判定定理的联系，感受互逆的思维过程.
3.进一步理解证明的步骤、格式和方法，发展演绎推理能力.
情景导入
两直线平行
1、同位角相等
2、内错角相等
3、同旁内角互补
平行线的判定方法是什么？
反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角有什么关系呢
探索新知
平行线的性质
一
c
a
b
1
2
我们曾用度量的方法探索 :两直线平行，同位角相等.
如图，直线a∥b，测量同位角∠1和∠2的大小，它们有什么关系？
60°
60°
图形的性质并不都是通过测量得出的；往往缺乏说服力.
∠1=∠2
a∥b
这节课我们就通过理论推理证明平行线的性质。
探索新知
已知：如图，直线AB//CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
探索新知
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2，如图所示.
A
B
C
D
F
M
N
1
2
G
H
E
根据“同位角相等，两直线平行”可知GH//CD.
又因为AB//CD,这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
探索新知
利用“两直线平行，同位角相等”这个基本事实，证明以下命题.
（1）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简述为：两直线平行，内错角相等.
（2）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简述为：两直线平行，同旁内角互补.
探索新知
例1 如图，已知直线AB，CD 被直线EF 所截，AB与CD平行，那么∠1+∠2 =180°吗？请说明理由.
导引：找出一对同位角，利用“两直线平行，同位角相等”证明。
解：∠1+∠2=180° 理由如下：
∵AB//CD（已知），
∴∠1= ∠3（两直线平行，同位角相等）.
∵∠2+∠3=180°（邻补角的定义），
∴∠1+∠2=180° （等量代换）.
探索新知
定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简述为：两直线平行，内错角相等.
几何语言：
∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2
（两直线平行，内错角相等）
探索新知
已知：如图，直线 l1//l2，∠1和∠2是直线l1 ，l2 被直线l截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
∴∠1=∠2（等量代换）.
又∵∠2=∠3（对顶角相等），
证明：
∵l1∥l2（已知），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
探索新知
例2： 如图，已知直线a∥b，∠1 = 50°, 求∠2的度数.
a
b
c
1
2
∴∠ 2= 50° (等量代换).
解：∵ a∥b(已知)，
∴∠ 1= ∠ 2(两直线平行,内错角相等).
又∵∠ 1 = 50° (已知),
探索新知
定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简述为：两直线平行，同旁内角互补.
几何语言：
∵a∥b（已知）
∴∠1+∠2= 180°
（两直线平行，同旁内角互补）
探索新知
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
1
2
b
c
3
a
证明：∵a∥b (已知)
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°)
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) .
探索新知
例3： 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
A
B
C
D
解：∵梯形上、下底互相平行，
∴ ∠A与∠D互补， ∠B与∠C互补.
∴梯形的另外两个角分别是80°、65°.
于是∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°,
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
探索新知
已知：如图所示，直线a∥b，a∥c，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角.
求证：b∥c.
探索新知
证明：∵ b∥a(已知)，
∴∠2=∠1( 两直线平行，同位角相等).
∵c∥a(已知)，
∴∠3=∠1( 两直线平行，同位角相等).
∴∠2=∠3(等量代换).
∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
定理 平行于同一条直线的两条直线平行.
一般地，我们有如下的定理：
当堂检测
1.如图所示是一条街道的路线图，若 ，
，且 ，那么 的度
数为( )
B
A. B.
C. D.
当堂检测
2.如图，已知直线 经过点 ， ， ，
则 的度数为( )
A
A. B.
C. D.
当堂检测
3.如图, , ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
4.如图,若 ， ，则图中与 互补
的角有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
当堂检测
5.如图，在四边形 中， ，
，则 ____ .
70
6.如图, , , 平分 ,
则 的度数是_ _____.

当堂检测
7.如图， ， ， ，
，求 与 的度数.
解： ,
.
.
,
.
.
当堂检测
8.如图, , ,垂足为点 , ，
垂足为点 ,试判断 与 的关系,并说明理由.
解： .理由： ，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）
， （已知），
（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）.
当堂检测
9.如图，已知 .
（1）试说明： ；
解：如图,过 作 .
.
又 ，
，
，
.
当堂检测
（2）若 ， ， ， 分别平分 ，
，求 的度数.
如图，过 作 和 分别平分 ， ，
，
. ，
. ， ， ，
， .
性质 文字语言 符号语言 图示
性质1 两直线平行，同位角相等 如果 a//b， 那么∠1=∠2
性质2 两直线平行，内错角相等 如果 a//b， 那么∠2=∠3 性质3 两直线平行，同旁内角互补 如果 a//b， 那么∠2+∠4=180°
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