第一章 有理数 期末复习考点讲义-2024-2025学年数学人教版（2024）七年级上册

第一章 有理数 期末复习考点讲义-2024-2025学年数学人教版（2024）七年级上册
第一步：单元学习目标
1.正数和负数 （1）理解正数，负数和0的意义，能正确判断一个数是正数还是负数 （2）理解生活中具有相反意义的量，能用正数和负数表示，并能灵活应用
2.有理数 （1）理解有理数的概念，能按一定的标准对有理数进行分类 （2）理解数轴的概念，掌握数轴的画法，能用数轴上的点表示有理数 （3）体会数形结合与分类讨论的思想方法，掌握数轴上的点与有理数的对应关系 （4）借助数轴理解相反数、绝对值的意义，掌握求一个有理数的相反数及绝对值的方法，会对含多重符号的有理数进行化简 （5）掌握绝对值的性质，会用绝对值的非负性解决相关问题 （6）能用正数、0和负数的关系，数轴及绝对值比较有理数的大小
第二步：思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
【知识梳理】
有理数的分类
按定义分：
按性质符号分类：
0的意义： ①0既不是正数，也不是负数
②相反数等于本身的数
有理数的有关概念
数轴：（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度
（2）数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数；
（3）数轴上两点间的距离：
相反数：（1）的相反数是
（2）0的相反数是0
绝对值：（1）：数轴上表示数的点与原点的距离
（2）
【注意】相反数与绝对值的关系：
（1）互为相反数的两个数的绝对值相同；
（2）若，则或
比较两数大小的常用方法：
利用数轴 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数
利用法则 （1）负数<0<正数； （2）两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而较小
【常考题型】
1.在下列选项中,具有相反意义的量是( )
A.胜2局与负3局 B.盈利5万元与支出6万元
C.气温升高3℃与气温为-3℃ D.向东行20米和向南行30米
2.有理数2024的相反数是( )
A.2024 B. C. D.
3.比较大小：______,______.
4.如果a是有理数,那么的最小值是______.
5.已知一组数据：,0,,,,
(1)在数轴上表示出这组数据；
(2)用“<”号将这些数连接起来.
6.请根据图示的对话解答下列问题.
(1)分别求出a和b的值
(2)已知,求的值.
7.如图,在数轴上点A表示的数为a,点B表示的数为b,a、b满足,点O是数轴原点.
(1)点A表示的数为_________,点B表示的数为_______,线段的长为_______.
(2)若点A与点C之间的距离表示为,点B与点C之间的距离表示为,请在数轴上找一点C,使,则点C在数轴上表示的数为______________.
(3)现有动点P、Q都从B点出发,点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P出发5秒后,点Q也从B点出发,并以每秒3个单位长度的速度向右移动,且当点Q到达A点时,点P就停止移动,设点Q移动的时间为t秒,问：当t为多少时：
①P、Q两点相距4个单位长度；
②P、Q两点到原点的距离相等.
第四步：单元核心素养对接中考
【核心素养】
（1）数感与符号意识：通过正数和负数表示具有相反意义的量，如温度、海拔高度等，让学生理解数的实际意义和符号的作用，建立数感和符号意识2.
（2）推理能力：在探究有理数的分类、数轴上的点与有理数的对应关系、相反数和绝对值的性质等过程中，需要学生进行观察、分析、归纳和推理，培养推理能力.
（3）数学抽象：从实际生活中的具体数量抽象出有理数的概念，以及通过数轴、相反数、绝对值等概念的学习，培养学生的数学抽象能力.
【对接中考】
1．[2024年贵州中考真题]下列有理数中最小的数是( )
A. B.0 C.2 D.4
2．[2024年辽宁中考真题]亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表：
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m
其中最低海拔最小的大洲是( )
A.亚洲 B.欧洲 C.非洲 D.南美洲
3．[2024年西藏中考真题]下列实数中最小的是( )
A. B.0 C. D.1
4．[2024年广西中考真题]下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是( )
A. B. C. D.
5．[2024年江西中考真题]实数的相反数是( )
A.5 B. C. D.
6．[2024年山东济宁中考真题]的绝对值是( )
A. B. C. D.3
7．[2024年山西中考真题]中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中.由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下.若零上记作，则零下记作( )
A. B. C. D.
8．[2024年山东威海中考真题]定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值.数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离.特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于.当时，表示数a的点与原点的距离等于.
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值.
答案以及解析
【常考题型】
1.答案：A
解析：A、胜二局与负三局,具有相反意义,故选项正确；
B、盈利与亏损具有相反意义,而与支出没有相反意义,故选项错误；
C、升高与下降才符合相反意义的量,而升高3℃与气温本身为 3℃不是相反意义的量,故选项错误；
D、东行和西行才符合相反意义的量,而东行和南行则不是相反意义量,故选项错误.
故选A.
2.答案：B
解析：有理数2024的相反数是，
故选：B.
3.答案：>；>
解析：∵,,,
∴；
∵,,,
∴；
故答案为：>；>.
4.答案：2024
解析：∵a是有理数,
∴,
∴,
∴的最小值是2024,
故答案为：2024.
5.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1),,,
在数轴上表示如图所示：
(2)由(1)中数轴图得：
.
6.答案：(1),
(2)
解析：(1)a与2互为相反数
b的绝对值是5
故,；
(2)
,
由(1)知,,
,
,
.
7.答案：(1)4,,
(2)或
(3)①秒；②秒或秒
解析：(1),
,,
解得：,,
点A表示的数为4,点B表示的数为,线段的长为,
故答案为：4,,；
(2)设点C在数轴上表示的数为x,则,,
,
,
当时,,
解得：；
当时,,
解得：；
当时,,
解得：(不合题意,舍去),
综上所述,点C在数轴上表示的数为或,
故答案为：或；
(3)①经过ts后,点P表示的数为,点Q表示的数为,
分情况讨论：
情况一：点Q在点P的左侧时,
,
解得：；
情况二：点Q在点P的右侧时,
,
解得：,
又,
当点Q从点B到达A点的时间为：,
,
舍去；
综上所述,当t为秒时,P、Q两点相距4个单位长度；
②经过ts后,点P表示的数为,点Q表示的数为,
,,
根据题意得：,
即,
当时,,
解得：；
当时,,
解得：；
当时,,
解得：(舍去)；
综上所述,当t为秒或秒时,P、Q两点到原点的距离相等.
【对接中考】
1．答案：A
解析：，
最小的数是，故选A.
2．答案：A
解析：，，，，
，
，
海拔最低的是亚洲.故选A.
3．答案：A
解析：∵，
∴下列实数中最小的是，故选A.
4．答案：A
解析：，，，
，
气温最低的是北京.故选A.
5．答案：A
解析：的相反数是5.故选A.
6．答案：D
解析：的绝对值是3,故选D.
7．答案：B
解析：“正”和“负”相对，所以，若零上记作，则零下记作.故选B.
8．答案：（1）过4秒或6秒
（2）3
解析：(1)设经过x秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度,
则：,
解得:或,
答:经过4秒或6秒,点A,B之间的距离等于3个单位长度;
(2)设经过x秒,点A,B到原点距离之和为y,
则,
当时,
,
当时,y值最小,为6,
当时,,
当时,y值最小,为3,
当时,,
当时,y有极小值,为3,
综上所述,点A,B到原点距离之和的最小值为3.