(共26张PPT)
1.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质
1. 掌握等腰三角形一些特殊线段的性质；（重点）
2. 掌握等边三角形的性质.（难点）
上节课我们证明了等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (三线合一)
那等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
B
C
A
D
B
C
D
A
E
如图，在△ABC中，AB=AC，BD，EC分别为∠ABC和∠ACB的角平分线，BD和EC相等吗？可以证明吗？
经过测量，我们发现BD=EC.
如何证明呢？
由此猜想：等腰三角形两底角的平分线相等.
例1 证明:等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，
BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=EC.
B
C
D
A
E
B
C
D
A
E
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）.
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，
∴∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB（ASA）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
1
2
刚才，我们证明了等腰三角形中两底角的角平分线相等.
请同学们猜想一下：两腰上的中线、高是否分别相等呢？请你证明它们.
猜想1：等腰三角形的两腰上的中线相等
猜想2:等腰三角形的两腰上的高相等：
证明: 等腰三角形两腰上的高相等.
B
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已知：如图，在△ABC中， AB=AC，BD，CE是△ABC的高.
求证：BD=CE.
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△BDC和△CEB中，
∵∠BDC=∠CEB，∠ABC=∠ACB，BC=CB，
∴△BDC≌△CEB（ AAS ）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
B
C
D
A
E
证明：等腰三角形两腰上的中线相等.
B
C
D
A
E
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线．
求证：BD=CE.
B
C
D
A
E
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的中线，
∴CD= AC，BE= AB，即CD=BE.
在△BDC和△CEB中，
∵BC=CB，∠ABC=∠ACB，CD=BE，
∴△BDC≌△CEB（ SAS ）.
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
如果是底角的三等分线段呢，相等吗？
同样，腰上的中线的三等分线段、腰上的高的三等分线段呢，相等吗？
等腰三角形的特殊性质：
等腰三角形两底角的平分线相等 ，两腰上的高相等，两腰上的中线相等.
如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上.
（1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢？
由此你能得到一个什么结论？
请同学们用已经学过的定理和基本事实来证明你的猜想.
B
C
D
A
E
证明：在△ABC中，AB =AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE.
在△ABD和△ACE中
∵∠ABD=∠ACE，AB =AC，∠A=∠A,
∴△ABD≌△ACE（ASA ）.
∴BD=CE.
B
C
D
A
E
在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，
∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
叙述为：
在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，
那么BD=CE.
B
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A
E
B
C
D
A
E
如图，在△ABC中，AB =AC，点D，E分别在AC和AB上.
(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE 吗？
如果 AD= AC，AE= AB呢？
由此你能得到什么结论？
我们可不可以类比上面做出猜想呢？
证明你的猜想.
证明：∵AD= AC，AE= AB,AC=AB，
∴AD=AE.
在△ABD和△ACE中，
∵AB =AC，∠A=∠A，AD=AE,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴BD=CE.
B
C
D
A
E
在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，AE= AB，
那么BD=CE.
叙述为：
在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
B
C
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A
E
生活中的很多图形都是等边三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢
定理 等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
C
B
A
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
C
B
A
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵AC=BC,
∴∠A=∠B（等边对等角）.
∴∠A=∠B=∠C.
在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140°
C
2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE
C．DA=DE D．BE=CD
C
1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
B
C
D
A
D
2. 如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE = CD.
证明：∵ △ABC 和△BDE 都是等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC =∠DBE = 60°，
BE = BD，
∴△ABE ≌△CBD（SAS).
∴AE = CD.
A
B
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D
E
3.如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°，∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180°－∠DBA) ÷2 = (180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90°－∠BDE=90°－75°=15°.
B
C
D
A
E
等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质
两底角的平分线相等；
两腰上的高相等；
两腰上的中线相等.
等腰三角形的特殊性质
等边三角形的性质
三个内角都相等且都等于60°.
