浙教版2024年九年级上数学期末模拟卷（含答案）

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浙教版2024年九年级（上）期末模拟卷（含答案）
数学
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．小明买彩票中奖 B．三角形任意两边之和大于第三边
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球
2．已知a，b满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．四边形 ABCD内接于⊙O，∠A=55°，则∠C的度数是（ ）
A．35° B．55° C．125° D．135°
4．如图，测得一商场自动扶梯的长l为10米，h（米）表示该自动扶梯到达的高度，已知，则h为（ ）
A．6米 B．7.5米 C．8米 D．12.5米
第4题图 第5题图 第7题图 第8题图 第9题图
5．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=34°，则∠AOB的度数为（ ）
A. 34° B. 56° C. 60° D. 68°
6．抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图 ，若P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），则下列条件不能保证△ACP∽△ABC的是（ ）
A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C． D．
8．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，DE//BC，且，若△ADE的面积为4，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
9．如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落到点处；作的角平分线交于点．设，，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是　　
A． B． C．D．
10．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A（1，0），
点D（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1
交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，则正方形
A2024B2024C2024C2023的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．sin30°= ．
12．一名职业篮球球员某次投篮训练结果记录如图所示，由此可估计这名球员投篮800次，投中的次数约为 ．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点 B 为圆心，BC长为半径画弧，交边 AB 于点 D，则的长为 ．
14．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人物雕像时，使雕像腰部以下a与全身高度b的比值等于黄金比，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a为 米．（精确到0.1米）
15．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝2，则AD为 ．
16．已知A，B的坐标分别为（1，0）和（2，0），若二次函数的图象与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，请写出必要的解答过程）
17.（本题6分）下面计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答步骤．
（1）错误步骤： ．（填最先出错的步骤序号即可）
（2）写出正确的解答步骤．
18.（本题6分）某校在七年级学生研学期间，穿插了趣味比赛，比赛项目有蹦床投篮、寻宝乐园、后羿射日．各班通过抽签随机选择项目．
（1）求七（1）班抽中“蹦床投篮”的概率；
（2）在“蹦床投篮”初赛后，七（1）班需从3名男生和2名女生中任选2人参加决赛，试用列表法（或画树状图）求选出2人恰好是“1男1女”的概率．
19.（本题6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．将△ABC 绕点 A按顺时针方向旋转 90°得到△AB′C′．
（1）在图中画出△AB′C′．
（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．
20.（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(10,0),点B在第一象限内，
BO=5,.
（1）求点B的坐标．
（2）求的值．
21.（本题8分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E是边AC上一点，且满足∠ADE=∠B.
（1）求证：△ADB∽△AED．
（2）若 AB=10，AD=8，求 AE的长．
22.（本题10分）某超市购进一批进价为每只10元新型“吸水拖把”，并对销售情况做了调查，结果发现每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：
销售单价x（元） 20 22 25 …
月销售额y（只） 300 280 250 …
（1）求出y与x之间的函数表达式．
（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？
23.（本题10分）如图，抛物线顶点坐标为（2,0），且经过（0,8），P是抛物线对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线交于点A，B两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）连结OB,当t=1时，求△ABO的面积．
（3）若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，请求出满足条件t的值.
24.（本题12分）如图1，⊙O的直径AB为2，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从点A出发沿半圆弧AB向点B运动(点P与点C在直径AB的异侧)，当点P到达点B时运动停止．在运动过程中，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于点D．
（1）求证:△ABC∽△PDC．
（2）设CD的长为x，在点P的运动过程中，求x的取值范围．
（3）如图2，连结AD，直接写出线段AD的最大值．
图1 图2
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1-5 BBCAD 6-10 CCBDD
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．0.5
12．600
13．
14．1.2
15．12
16．或-1≤a＜-0.5
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（1）① （2）
18.解：（1）七（1）班抽中“蹦床投篮”的概率是；
（2）根据题意画图如下：
共有20种等可能的结果，选出2人恰好是“1男1女”的有12种，
则选出2人恰好是“1男1女”的概率是．
19.（1）如图所示，△AB'C'即为所求；
（2）因为AB5，
所以线段AB在旋转过程中所扫过的面积为π．
20.解：（1）过点B作BD⊥OA，垂足为D．
∵sin∠BOA，BO＝5，
∴BD＝3．
∴OD4．
∴点B的坐标为（4，3）；
（2）∵AO＝OD+AD＝10，OD＝4，
∴AD＝6．
∴AB3．
∴cos∠BAO．
21.（1）证明：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
∴∠BAD＝∠DAE，
∴△ADB∽△AED；
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AB＝10，AD＝8，
∴，
∴．
22.解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
根据题意代入点（20，300），（25，250），
∴
解得，
∴y＝﹣10x+500．
（2）依题意得，w＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10x2+600x﹣5000＝﹣10（x﹣30）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值4000，
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．
23.解：（1）
（2）
（3）y＝2（x﹣2）2＝2x2﹣8x+8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵直线x＝t与直线y＝x、抛物线交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2﹣8t+8），
∴AB＝|2t2﹣8t+8﹣t|＝|2t2﹣9t+8|，
AP＝|t﹣2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，
∴|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2①或2t2﹣9t+8＝﹣（t﹣2）②，
整理①得，t2﹣5t+5＝0，
解得t1，t2，
整理②得，t2﹣4t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝3，
综上所述，满足条件的t值为：1或3或或．
故答案为：1或3或或．
24.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥CP，
∴∠PCD＝90°，
∴∠ACB＝∠PCD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵，
∴∠A＝∠P，
∴△ABC∽△PDC；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝2，
∴ACAB＝1，
由（1）知：∠P＝∠A＝60°，
∴∠D＝∠ABC＝30°，
∴tanD＝tan30°，
∵CD的长为x，
∴PCx，
∵动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动，
∴1≤PC≤2，
∴1x≤2，
∴x≤2；
（3）由（1）知：△ABC∽△PDC，
∴∠PDC＝∠ABC＝30°，即∠BDC＝30°，
∴点D在以BC为弦，所含圆周角为30°的优弧上运动，作△BCD的外接圆⊙O′，连接AO′并延长交⊙O′于点D′，
则AD′为线段AD的最大值，
如图，连接O′B，O′C，
则∠BO′C＝2∠BDC＝60°，O′B＝O′C，
∴△O′BC是等边三角形，
∴O′D′＝O′B＝BC，∠O′BC＝60°，
∴∠ABO′＝∠ABC+∠O′BC＝30°+60°＝90°，
∴O′A，
∴AD′＝O′A+O′D′；
∴线段AD的最大值为．
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