安徽省合肥市庐阳中学2024-2025学年九年级上学期12月份月考数学试卷（含答案）

2024~2025学年九年级12月质量检测数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．
1．的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
2．抛物线的对称轴是（ ）
A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线
3．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
4．如图，沿着斜坡前进10米，实际上升高度为6米，则该斜坡的坡度（ ）
A． B． C． D．
5．如图，抛物线（a，b，c是常数且）的部分图象与x轴交于点，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形是平行四边形，G是的延长线上一点，分别与交于点E，F，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A，直线分别与x轴、y轴交于点C，A，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若为锐角，且，则的值为__________．
12．如图，A，B是双曲线（k是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点C，若的面积为20，则k的值为__________．
13．如图，为了测量河宽，从A处测得对岸C的夹角，从B处测得对岸C的夹角，点A和点B位于点C的两侧，测得米，则点C到的距离为__________米．
14．已知抛物线（m，n是实数且）经过．
（1）若，则该抛物线的顶点坐标为__________；
（2）若该二次函数满足当时，总有y随x的增大而减小，则代数式的最小值为__________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．在中，分别是的对边，，解这个直角三角形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在网格点上，按要求完成下列任务．
（1）和关于y轴对称，画出；
（2）若与（1）中的是关于原点为位似中心的位似图形，位似比为，且位于第四象限．
①画出；
②__________．
18．如图，已知一次函数（k，b是常数且）的图象与双曲线（n是常数且）交于两点，与x轴交于点C．
（1）求m，n，k，b的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出不等式组的解集：__________．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，是的高线，E是上一点，，若．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
20．某数学兴趣小组测量两幢教学楼楼顶之间的距离，实践报告如下，请你帮助兴趣小组解决问题．
活动课题 测量两幢教学楼楼顶之间的距离
活动工具 测角仪、皮尺等
测量过程 ①如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪； ②利用测角仪测出楼顶A的仰角，楼顶B的仰角； ③利用皮尺测出米，米．
测量图示
解决问题 根据以上测量数据，利用三角函数知识求两幢楼楼顶A，B之间的距离
备注说明 其中测角仪的底端H与楼的底部D，F在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内
参考数据
六、（本题满分12分）
21．如图，某一海域有4个小岛A，B，C，D，其中小岛B，C，D位于同一条直线上，经测量，小岛A位于小岛B北偏东且小岛A位于小岛C北偏东，小岛B和小岛C之间的距离为12海里．
（1）求小岛A和小岛C之间的距离的长；（结果保留根号）
（2）若小岛D位于小岛A东偏南方向，求小岛A与小岛D之间的距离的长．
（参考数据：；结果精确到0.01海里）
七、（本题满分12分）
22．在正方形中，P是边上的一个动点，已知，且，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，证明：；
（2）连接交于点和分别交于点F，G．
①如图2，若P是的中点，证明：；
②如图3，连接，判断与之间的位置关系并加以证明．
八、（本题满分14分）
23．如图，已知抛物线（b，c是常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，已知．
图1 图2 备用图
（1）如图1，求该抛物线的表达式；
（2）如图2，P是直线上方抛物线上一点，与y轴、分别交于D，E．
①若，求点P的坐标；
②求的最大值．
九年级数学参考答案及评分标准
（沪科版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B C D D A D A
10．A 如图，过点C作，使，连接，则，则，即，又．在中，．在中，由三边关系，得（当点E位于上时，等号成立），故的最大值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． 12．10 13．
14．（1） （2）5
（1）∵抛物线过点，解得．
∴顶点坐标为；
（2）∵抛物线过点．当时．总有y随x的增大而减小．，函数的对称轴为直线，∴当时，函数取得最小值为5，即的最小值是5．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：原式 （6分）
． （8分）
16．解：在中，， （2分）
， （5分）
． （8分）
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）如图所示； （2分）
（2）①如图所示． （5分）
②． （8分）
18．解：（1）把点代入，得，解得． （1分）
把点代入，得． （2分）
把点和代入一次函数，得．解得即k的值为的值为． （4分）
（2）由（1）可知直线的表达式为，
当时，则，解得，故．． （6分）
（3）． （8分）
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：（1）过点E作于点F，如图．
是的高线，． （2分）
又，得，解得． （4分）
在中，，即，解得． （5分）
（2）由（1）可知，
． （6分）
是的垂直平分线，则． （7分）
，
， （9分）
． （10分）
20．解：过点B作，垂足为M，如图．
由题意可知四边形和都是矩形，
米，米，米． （2分）
在中，米． （5分）
在中，米，米米米． （7分）
在中，（米），
∴两幢楼楼顶A、B之间的距离约为91.2米． （10分）
六、（本题满分12分）
21．解：（1）如图，过点C作于点E．
由题意可知，是等腰直角三角形，
（海里）． （3分）
由是意可知．
在中，，则（海里）．
答：小岛A和小岛C之间的距离的长为海里．
（2）如图，过点C作于点F．
由题意可知，则，
（海里）， （9分）
在中，， （11分）
（海里）．
答：小岛A与小岛D之间的距离的长约为18.93海里． （12分）
七、（本题满分12分）
22．解：（1）如图1，连接．且是等腰直角三角形．
∵四边形是正方形，是对角线，是等腰直角三角形，
，
； （4分）
（2）①如图2，连接，过点Q作于点H，则．
由（1）可知，
是等腰直角三角形，则．
由（1）可知，又，
，
又P是的中点，是的中位线，． （8分）
图1 图2
②，理由如下：
连接，如图3，由（1）可知，
又，又，
，又，． （12分）
图3
八、（本题满分14分）
23．解：（1）∵点， （2分）
∴点，点． （4分）
（2）①． （6分）
如图，过点P作轴于点，
又． （8分）
当时，，则． （9分）
②设．
， （12分）
，∴当时，有最大值，最大值为． （14分）
以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．