湖南省“金太阳联考”2024-2025学年高一年级12月联考数学试题（PDF版，含答案）

湖南省“金太阳联考”2024-2025 学年高一年级 12 月联考数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知集合 = { | ≤ 5 ≤ 1}， = { |(2 + 1)( 1) ≤ 0}，则 ∩ =( )
5
1 1 1
A. [ 1, ] B. [0,1] C. [0, ] D. [ , 0]
2 2 2
2.“ = 1”是“ ( ) = 6 为指数函数”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
3.函数 ( ) = 的部分图象大致是( )
ln| |
A. B.
C. D.
4.近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月 中国航天硕果累累，令国人备

感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”: = 0 ln .其中 是理想速度(单位： / )， 是 00
燃料燃烧时产生的喷气速度(单位： / )， 是火箭起飞时的总质量(单位： )， 0是火箭自身的质量(单
位： ).小婷同学所在社团准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们选用的某民用燃料燃烧时产生的喷气
速度为50 / ，火箭自身的质量为4 ，燃料的质量为5 .在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，
至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为(参考数据：ln2 ≈ 0.7，ln3 ≈ 1.1)( )
A. 36 / B. 40 / C. 78 / D. 95 /
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5.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
1
A. = ( )| | B. = 3
2
C. = 4 + 2 D. = log2( + √ 2 + 1)
6.若函数 ( ) = | + 2| + | |的最小值是8，则实数 的值为( )
A. 6或 10 B. 6或10 C. 6或10 D. 6或 10
7.已知函数 ( ) = 2 + 3的零点为 ， ( ) = log2 + 3的零点为 ，则下列结论错误的是( )
9
A. + = 3 B. 2 + log 2 22 = 3 C. + > 5 D. 0 < < 4
|log | , 0 < ≤ 2,
8.设 ∈ (0,1)，若函数 ( ) = { 2 有4个不同的零点 1， 2， 3， 4，且 1 < 2 < 3 < 4， (4 ),2 < < 4
23+
2
4 26则 的取值范围是( )
1+ 2
39 39 19 19
A. ( 4, ) B. ( 5, ) C. ( 4, ) D. ( 5, )
10 10 5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于不等式的说法正确的是( )
A. ∈ ，2 2 + 5 + 9 > 2 +6 + 8
B. 若2 < < 3， 3 < < 1，则 9 < < 2
+
C. 若 > 0， > 0， > 0，则 <
+
D. ， ∈ ， 2 + 2 + 1 > 2( + 1)
10.下列关于对数运算正确的是( )
1 2 1
A. 设 ， ， 均为正实数，且2 = 3 = 12 ，则 = +

B. 若方程(ln )2 + (ln3+ ln5)ln + ln3× ln5 = 0的两根为 1， 2，则 1 2 = 15
C. 已知lg( + ) + lg(2 + 3 ) lg3 = lg + lg + lg4，则 : = 3
log5√ 2 log89D. √ √1 + log2( 3 +√ 5 3 √ 5) = 1
log5 log
3
3 8
√4
0,0 < < 1,
11.定义“正对数”: ln+ = { 现有四个命题，其中是真命题的有( )
ln , 1.
A. 若 > 0， > 0，则ln+ = ln+
B. 若 > 0， > 0，则ln+( ) = ln+ + ln+

C. 若 > 0， > 0，则ln+ ≥ ln+ ln+

D. 若 > 0， > 0，则ln+( + ) ≤ ln+ + ln+ + ln2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = 2 ( + 2) 2024在[1,2]上具有单调性，则实数 的取值范围是 ．
13.已知定义在 上的函数 ( )满足 ① ( + 3)是偶函数; ②在( ∞,3]上为增函数.若不等式 ( + 1) <
(2 2)成立，则实数 的取值范围是 ．
14.设 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = 2 .若对任意的 ∈ [ , + 3]，不等式 ( + + 1) ≥
9 ( )恒成立，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知关于 的不等式 2 + + > 0．
(1)若 = ， = 6 ，且 < 0，试求它的解集;
(2)若 = 3， = 3，试求它的解集．
16.(本小题15分)
1 5
已知函数 ( ) = 2 × 9 + (4 3) × 3 1 + ( ∈ )．
3 9
1
(1)若 = ，求 ( )的最小值;
2
3
(2)若 > ，存在实数 ， ( < )，使得当 ( )的定义域为[ , ]时， ( )的值域为[3 +1 , 3 +1]，求实数
4
的取值范围．
17.(本小题15分)
2023年全年，中国新能源汽车产量、销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，同比分别增长35.8%和37.9%.我
国新能源汽车产销量占全球比重超过60%，连续9年位居世界第一.新能源汽车出口120.3万辆，同比增长
77.2%，均创历史新高. 2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车逐
步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时
耗电量 (单位： )与速度 (单位： / )的数据，如下表所示：
60 70 80 90 100 110 120
8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4
经画图研究可知该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量 与速度 的关系为 ( ) = 2 + +
( , , ∈ )．
(1)求出函数 ( )的函数解析式．
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(2)张某驾驶一辆同型号电动汽车从 地出发，经高速公路(最低限速60 / ，最高限速120 / )匀速行驶
到距离为510 的 地.出发前，汽车电池存量为65 ，汽车到达 地后至少要保留5 的保障电量(
假设该电动汽车从静止加速到速度为 的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计).已知该高速公路上服
务区有功率为18 的充电桩(充电量=充电功率×充电时间).若不充电，该电动汽车能否到达 地 并说明理
由;若需要充电，求该电动汽车从 地到达 地所用时间(即行驶时间与充电时间之和)的最小值(结果保留一位
小数)．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = log 9(9 + 1) + ( ∈ )为偶函数．
(1)求 的值;
(2)求 ( )的最小值;
(3)若 (42 +4 2 ) ≥ ( (4 4 ))对任意 ∈ 恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
设 ， 是非空实数集，如果对于集合 中的任意两个实数 ， ，按照某种确定的关系 ，在 中都有唯一确
定的数 和它对应，那么就称 : → 为从集合 到集合 的一个二元函数，记作 = ( , )， ， ∈ ，其
中 称为二元函数 的定义域．
(1)已知 ( , ) = √ 2 + 2，若 ( 1, 1) = √ 5， ( 2 , 2) = 2√ 2， 1 2 + 1 2 = 6，求 ( 1 + 2 , 1 + 2).
(2)设二元函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足 ① ， ∈ ，都有 ( , ) ≥ ， ② 0， 0 ∈ ，使
1 1
得 ( 0 , 0) = ，那么我们称 是二元函数 ( , )的下确界.若 ， ∈ (0,+∞)，且 + = 1，判断函数
( , ) = 2 + 2 6 是否存在下确界.若存在，求出此函数的下确界;若不存在，说明理由．
(3)设 ( , )的定义域为 ，若 > 0， ， ∈ ， ( , ) ≤ ( + , + )，则称 在 上关于 单

调递增.已知 ( , ) = 2 在[1,2]上关于 单调递增，求实数 的取值范围． +4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( ∞,0] ∪ [2,+∞)
7
13.【答案】( , 3)
3
14.【答案】( ∞, 5]
15.【答案】解：(1)把 = ， = 6 代入不等式，得 2 + 6 > 0．
因为 < 0，所以 2 + 6 < 0，即( + 3)( 2) < 0，解得 3 < < 2，
所以所求不等式的解集是{ | 3 < < 2}．
(2)把 = 3， = 3代入不等式，得 2 + ( 3) 3 > 0即( + 1)( 3) > 0．
若 = 0，则不等式为一个一元一次不等式.
3
若 ≠ 0，则其对应的函数零点是 1， ，

需根据零点大小与 的正负进行讨论．
3 3
①当 < 3时，原不等式变为( + 1)( ) < 0，解集是{ | 1 < < };

②当 = 3时，原不等式变为( + 1)2 < 0，解集是 ;
3 3
③当 3 < < 0时，原不等式变为( + 1)( ) < 0，解集是{ | < < 1};

④当 = 0时，原不等式变为 + 1 < 0，解集是{ | < 1};
3 3
⑤当 > 0时，原不等式变为( + 1)( ) > 0，解集是{ | < 1或 > }.

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1 7
16.【答案】解：(1)若 = ，则 ( ) = 9 3 1 ，
2 18
令 = 3
7
， ∈ (0,+∞)，则 = 2 ， ∈ (0,+∞)，
3 18
1
该二次函数开口向上，其图象的对称轴为直线 = ，
6
1 1 1 1 7 5
所以当 = 时， = ( )2 × = ．
6 min 6 3 6 18 12
3
(2)因为 > ，所以 ( )在 上单调递增，
4
则当 ( )的定义域为[ , ]时， ( )的值域为[ ( ), ( )]，
( ) = 3 +1 ,
所以{ +1 +1 即 ( ) = 3 在 上有两个不同的实数解， ( ) = 3 ,
4
即2 × 9 + ( 4)× 3
5
+ = 0在 上有两个不同的实数解．
3 3 9
令 = 3 ， ∈ (0,+∞)，所以2 2
4 5
+ ( 4) + = 0在(0,+∞)上有两个不同的实数解，
3 3 9
4
4
3 > 0
4
5 5所以
> 0
解得 < < 2
3 9 3
4 5
{ = ( 4)
2 4 × 2 ( ) > 0
3 3 9
5
所以实数 的取值范围为( , 2)
3
17.【答案】解析：(1)由题意，
所以 ( ) = 0．002 2 0.02 + 2( > 0)．
(2)设耗电量为 ( )
510 1020
，则 ( ) = ( ) = 1.02 + 10.2(60 ≤ ≤ 120)．

1020 1020
任取60 ≤ 1 < 2 ≤ 120， ( 1) ( 2)= 1．02 1 + 10.2 (1．02 2 + 10.2) 1 2
1 2 1000= 1.02( 1 2) ， 1 2
由60 ≤ 1 < 2 ≤ 120， 1 2 < 0， 1 2 > 3600，得 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1)< ( 2)，
所以函数 ( )在[60,120]上单调递增，
故 ( )min = (60) = 68 > 65 5，即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不在服务区充电不能到达 地．
设行驶时间与充电时间分别为 1， 2，总和为 (单位： )，
若能到达 地，则初始电量+充电电量一消耗电量≥保障电量，
即65 + 18 2 ( ) ≥ 5
1.02 1020 70.2
，解得 2 ≥ + ， 18 18 18
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所以总时间 510 1.02 1020 70.2 1.02 1700 35.1 1.02 1700 35.1 = 1 + 2 ≥ + + = + ≥ 2√ · ≈ 7.4， 18 18 18 18 3 9 18 3 9
1.02 1700
当且仅当 = ，即 = 100时，等号成立，
18 3
所以该汽车到达 地的最少用时约为7.4 ．
18.【答案】解：(1)因为 ( ) = 9(9
+ 1) + ( ∈ ) 为偶函数，
所以 ( ) = ( ) ，则 9(9
+ 1) = 9(9
+ 1) + ，
1+9
所以2 = 9 9(9 + 1) = 9

9 = ，即(2 + 1) = 0 恒成立， 9
1
因为 不恒为0 ，所以2 + 1 = 0 ，故 = ．
2

(2)由(1)得， ( ) = (9 9 +1) = 9(9
+ 1) 992 2
9 +1 1
= 9 = (3

9 + ) ， 3 3
1 1 1
因为3 > 0 ，则3 + ≥ 2√ 3 = 2 ，当且仅当3 = ，即 = 0 时，等号成立， 3 3 3
1
所以 9 (3
+ ) ≥ 92 ，故 ( ) 最小值为 92 ． 3
1
(3)因为 ( ) = 9 (3 + ) ， 3
任取 1, 2 ∈ (0,+∞) 且 1 < 2 ，
1 1 3 2 3 1 (3
1
3
2) (3 1+ 2 1)
所以(3 1 + 2 ) (3 + ) = (3 1 3 2)+ = ， 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1+ 2
因为 , ∈ (0,+∞) 且 < ，所以3 1 2 1+ 21 2 1 2 3 < 0, 3 1 > 0 ，
(3 1 3 2) (3 1+ 2 1)
1 1所以 < 0 ，即3 1 + < 3 2 + ，
3 1+ 2 3
1 3 2
( 1所以 19 3 + ) < 9 (
13 2 + ) ，则 ( ) 在(0,+∞) 上为增函数， 3 1 3 2
又因为 ( ) 为偶函数， (42 + 4 2 ) ≥ ( (4 4 )) ，
所以|42 +4 2 | ≥ | (4 4 )| ，
当 = 0 时，2 ≥ 0 恒成立，则 ∈ ；
|42 +4 2 |
当 ≠ 0 时，|4 4 | > 0 ，所以| | ≤ ， |4 4 |
|42 +4 2
2
| |4 4 | +2 2设 ( ) = = = |4 4 | + 2√ 2 ， |4 4 | |4 4 | |4 4 |
当且仅当|4 4 |
2
= ，即|4 4 | = √ 2 时，等号成立， |4 4 |
由复合函数的单调性易得 = 4 4 在 上单调递增，
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1
且当 = 0 时， = 0 < √ 2 ，当 = 1 时， = 4 > √ 2 ，
4
所以4 4 = √ 2 有解，即|4 4 | = √ 2 有解，所以等号能成立，
所以 ( )min = 2√ 2 ，故| | ≤ 2√ 2 ，则 2√ 2 ≤ ≤ 2√ 2 ；
综上， 2√ 2 ≤ ≤ 2√ 2 ．
所以实数 的取值范围为[ 2√ 2, 2√ 2]
19.【答案】解：(1)由 ( 1 ,
2 2
1) = √ 5可得， 1 + 1 = 5，
由 ( 2 , 2) = 2√ 2可得，
2 2
2 + 2 = 8
由 ( 1+ 2 , 1 + 2 22) = √ ( 1 + 2) + ( 1 + 2)
= √ 2 + 21 2 +2
2 2
1 2+ 1 + 2 +2 1 2
= √ 13+ 2( 1 2 + 1 2)
又 1 2+ 1 2 = 6，
所以 ( 1+ 2 , 1 + 2) = 5;
1 1
(2)由 + = 1可得， + = ，

由 + = ，可得 + = ≥ 2√ ，所以 ≥ 4，
当且仅当 = = 2时取等号．
( , ) = 2 + 2 6 = ( + )2 8 = ( )2 8 = ( 4)2 16 ≥ 16，
当且仅当 = 4，即 = = 2时取等号．

(3)因为 ( , ) = 2 在[1,2]上是关于 单调递增， +4
所以 ( , ) ≤ ( + , + )，
( + )
即存在 > 0，对于任意的 ， ∈ [1,2]，都有 2 ≤ ( + ) ， +4 2( + ) +4
( + ) ( 2+ 4)
化简可得 + 2 2 ≥ 0，即 + 2 ≥ 0， +4 ( + ) +4 [( + ) +4][ 2+4]
( 2+ 4)
下面求函数 ( ) = 2 的最小值，
[( + ) +4][ 2+4]
设 2 + 4 = ， ∈ [ 3,2 ]，
( 2+ 4)
2 =
[( + ) +4][ 2+4] 2
= ，
+16 +4 2+64 4 2+64 + +16

2 3
所以函数 ( ) = 2 在[ 3,2 ]递增， ( )min = ( 3) = ， 4 +64 2
+ +16 5( +2 +5)

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2 3 2 3
即存在 > 0，使得 + 2 ≥ 0，设 ( ) = 2 ， > 0， 5( +2 +5) +2 +5
2 3
①当0 < ≤ 3时， ( ) = 2 ≤ 0， +2 +5
2 3 5( +1)
②当 > 3时， ( ) = 2 = 1 ， +2 +5 2+2 +5
+1 1 1
设 = +1 > 4， 2 = = ∈ (0, )， +2 +5 2+4 4 + 5

2 3
所以 ( ) = 2 ∈ (0,1)， +2 +5
1
综上， + ≥ 0，
5
1
所以 的取值范围是[ , +∞).
5
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