湖南省“五市十校教研教改共同体·天壹”2024-2025学年高一（上）12月联考数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省“五市十校教研教改共同体·天壹”2024-2025 学年高一（上）
12 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 1 < < 3}，则( )
A. 1 ∈ B. {1} C. 2 D. {3}
2.函数 ( ) = ln + 10的零点所在的区间为( )
3 3
A. (0,1) B. (1, ) C. ( , 2) D. (2,3)
2 2
3.设 = log 2， = 20.13 ， = log0.9 1.1，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4.已知 ∈ ，则“ ( 2) ≥ 0”是“二次函数 = 2 + 在( ∞, 1]上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下列说法正确的是( )
3
A. 若角 的终边经过点 ( 3,4)，则sin =
5
B. 第一象限角都是锐角
14
C. 是第三象限角
3
D. 若扇形的圆心角是60 ，半径为2，则扇形的弧长为120
6.8月15日是全国生态日，2024年全国生态日的主题是加快经济社会发展全面绿色转型. 2005年8月15日，
习近平同志在浙江安吉首次提出“绿水青山就是金山银山”，这一科学论断是习近平生态文明思想的核心
理念，已经成为全党全社会的共识，在祖国大地上生根、开花.党的十八大以来，我国经济发展与生态环境
保护更加协调，绿色发展空间进一步拓展.在生态环境质量明显好转的同时，经济总量从2012年53.9万亿元
升至2023年126万亿元，则我国经济总量从2012年至2023年的年平均增长率约为( )(参考数据：lg2.338 ≈
0.369，lg2.489 ≈ 0.396，100.034 ≈ 1.081，100.036 ≈ 1.086)
A. 6% B. 7% C. 8% D. 9%
3
{(3 2 ) , < 1
( 1) ( )
7.已知函数 ( ) = 2 ( > 0，且 ≠ 1)满足对任意 1， 2 ∈ ( 1 ≠ 2)都有
2 >
1 + log , ≥ 1 1 2
0，则实数 的取值范围为( )
5 3 5 3
A. (1, +∞) B. (1, ) C. (1, ) D. [ , )
4 2 4 2
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8.定义在(0, +∞)上的函数 ( )满足条件 ① ∈ (0, +∞)， ( ) ≠ 0， ② ， ∈ (0, +∞)， ( ) =
1 ( ) ( ) 5
( ) ( )， ( + ) = ，则 ( )的值为( )
2 ( )+ ( ) 2
2 4 5 8
A. B. C. D.
5 5 2 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若 > ，则 2 > 2 B. 若 < ， > ，则 <
1 1
C. 若 > ，则 < D. 若 3 > 3，则 >

10.已知函数 = 1 + 1( > 0且 ≠ 1)恒过定点 ，若点 在一次函数 = + 2 ( > 0, > 0)的图象
上，则下列说法正确的是( )
A. 2 + 4
1
的最小值为4 B. 的最大值为
2
1 2 4
C. + 的最小值为9 D. 2 + 2的最小值为
5
11.已知函数 ( ) = 2 + 4 ，下列说法正确的是( )
A. 若 ( ) > 0的解集为 ，则 的取值范围是(0,16)
B. 存在实数 ，使 ( )在区间(1,2)内有两个零点
2 2
C. 若 ( )的两个零点为 1， 2，且 1 < 2 < 2，则
1 + 2 < 4
1+1 2+1
D. 若 ( )有且只有整数零点，则所有正整数 的值为16，18，25
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
8 1 4
12.( ) 3 + lg2 2 lg25 + √( 2)4 = ．
27
1
13.已知对数函数 = ( )的图象经过点 ( , 2)，则函数 = √ ( )的定义域为 ．
4
| + 3|, ≤ 0,
14.设函数 ( ) = { 若方程 ( ) = 有四个解 1， 2， 3， 4，且 1 < 2 < 3 < 4． |log2 |, > 0
(1) 的取值范围是 ;
√ 24+1
(2)若 = 有意义，则 的取值范围是 ．
4 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2√ 2
(1) 为△ 的内角，已知cos = ，求sin ，tan 的值;
3
1
(2)已知cos = sin ，求sin2 + 2sin cos 的值．
3
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16.(本小题15分)
3
已知集合 = { | < 0}，集合 = { |( )( 2 ) < 0}．
+1
(1)当 = 2时，求 ( ∩ );
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题15分)
首届全国青少年三大球运动会于2024年11月20 28日在长沙、岳阳成功举办，这次运动会的举办激发了青
少年对三大球(篮球、排球、足球)的爱好兴趣.王先生现有资金100万元，准备全部用于投资销售篮球和足球
器材.已知投资 万元销售篮球器材，获得利润 ( )(万元)与 成正比;投资 万元销售足球器材，获得利润为

( ) = 40 (万元)(没有投资时的利润为0万元)，且满足 (25) = (20) + 12．
+25
(1)求 ( )， ( )的解析式;
(2)王先生应投资销售篮球器材和足球器材各多少万元时，他所获得的利润最大，最大利润是多少
18.(本小题17分)
2 +
设函数 ( ) = ( > 0且 ≠ 1， 为常数)．
(1)若 ( )为奇函数，求不等式 ( ) > 0的解集;
5
(2)若 ( )为偶函数，且 (1) = ，证明： ( )在[0,+∞)单调递增;
2
(3)设函数 ( ) = (2 ) + ( )( ∈ )，在第(2)问的条件下，若 1 ∈ [1,2]， 2 ∈ [0,2]，使 ( 1) ≥ ( 2)
成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
1+ 2 ( 1)+ ( 2)
给出定义：若函数 ( )的图象在区间 上是连续不断的曲线，对任意 1， 2 ∈ ，都有 ( ) ≥ (2 2
当且仅当 1 = 2时等号成立)，则称函数 ( )是区间 上的凸函数.若 ( )是区间 上的凸函数，则对任意 1，
2， 3， ， ∈ 和任意满足 1 + 2 + 3 + + = 1的正实数 1， 2， 3， ， 都有 ( 1 1 + 2 2 +
3 3 + + ) ≥ 1 ( 1) + 2 ( 2) + 3 ( 3) + + ( )，当且仅当 1 = 2 = 3 = = 时等号
成立，请利用上述定义和性质完成下列问题：
(1)证明：函数 ( ) = √ 在[0, +∞)上是凸函数;
(2)求函数 ( ) = √ + √ 2 2 的最大值;
(3)若不等式 4 + 3 + 3 ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3
12.【答案】
2
13.【答案】(0,1]
√ 65
14.【答案】(0,3]；( ∞, √ 2) ∪ [ ，+∞)
6
15.【答案】解：(1) ∵ 为△ 的内角，∴ ∈ (0, )，

又cos > 0，∴ ∈ (0, )，∴ sin > 0，
2
1 1
由sin2 = 1 cos2 = ，得sin = ，
9 3
sin √ 2
∴ tan = = ；
cos 4
1
(2)cos = sin tan = 3，
3
sin2 +2sin cos
∴原式=
sin2 +cos2
tan2 + 2tan
=
tan2 + 1
3
= ．
2
16.【答案】解：(1) = ( 1,3). = 2时， = (2,4)，∴ ∩ = (2,3)，∴ ( ∩ ) = ( ∞, 2] ∪ [3, +∞);
(2) ∩ = ，
①当 = 0时， = ，符合题意;
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> 0
3
②当 > 0时， = ( , 2 )，由题得{ 0 < ≤ ;
2
2 ≤ 3
< 0 1
③当 < 0时， = (2 , )，由题得{ ≤ < 0，
2 ≥ 1 2
1 3
综上， 的取值范围为[ , ].
2 2
1000
17.【答案】解：(1)由题意可知 (0) = 40 = 0，所以 = 1000， ( ) = 40 (0 ≤ ≤ 100)，
25 +25
1000
所以 (25) = 40 = 20，所以 (20) = 20 12 = 8．
50
(20) 2 2
由题意可设 ( ) = ，所以 = = ，所以 ( ) = (0 ≤ ≤ 100)．
20 5 5
(2)设王先生投资 (万元)销售足球器材，则投资100 (万元)销售篮球器材，
设他所获得的利润为 ( )(万元)，
则由题意有
( ) = (100 ) + ( )
2(100 ) 1000
= + 40
5 + 25
2 2500
= 80 ( + )
5 + 25
2 2500 2 2500
= 90 [( + 25) + ] ≤ 90 2√ ( + 25) = 50，
5 +25 5 +25
2500
当且仅当 + 25 = ，即 = 25时等号成立．
+25
所以当王先生投资25(万元)销售足球器材，投资75(万元)销售篮球器材时，他所获得的利润最大，最大利润
为50(万元)．
18.【答案】【解答】解：
0+
(1)由于 (0)有意义，奇函数 ( )满足 (0) = 0 = 0 = 1，此时 ( ) =
，满足 ( ) = ( )，

所以 = 1符合题意，由 ( ) > 0得 > ，当 > 1时，得 > ，即 > 0，即不等式 ( ) > 0的解集
为{ | > 0}；当0 < < 1时，得 < ，即 < 0，即不等式 ( ) > 0的解集为{ | < 0}；
(2) ( ) = + 为偶函数 ( ) = ( ) + = + ( 1) ( ) = 0 =
5 1 1
1 ( ) = + ，由 (1) = 得2 2 5 + 2 = 0 = 2或 = ( ) = 2 + ，任取 ， ∈
2 2 2 1 2
1 1 1 1
[0, +∞)，且 < ，则 ( ) ( ) = 2 1 + (2 2 + ) = 2 1 2 2 + ( ) = (2 1 2 21 2 1 2 )(1 2 1 2 2 2 1 2 2

1 (2 1 2
2)(2 1+ 2 1)
) = ，可知，2 1 2 < 2 ，2 1+ 2 > 20 = 1，所以(2 1 2 2 )(2 1+ 2 1) < 0，所以2 12 2 2 12 2
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( 1) < ( 2)，所以 ( )在[0, +∞)单调递增；
5
(3)由(2)可知 ( )在[1,2]上单调递增，所以 1 ∈ [1,2]时， ( 1)的最小值为 (1) = ，由题意得 2 ∈ [0,2]，2
5 5
使 ( 2) ≤ ，即(2
2 + 2 2 ) + (2 + 2 ) ≤ 在 ∈ [0,2]有解，令2 + 2 = ，由(2)知 = 2 + 2 在
2 2
17 5 17
∈ [0,2]单调递增，所以 ∈ [2, ]，则22 + 2 2 = 2 2，则转化为 2 2 + ≤ 在 ∈ [2, ]有解，只
4 2 4
9 9 17 17
需 ≤ ( ) ，因为 = 在 ∈ [2, ]单调递减，且 = 在 ∈ [2, ]单调递减，所以当 = 2时， =
2 max 2 4 4
9 1 1 1
取最大值为 ，所以 ≤ ，即 的取值范围为( ∞, ].
2 4 4 4
19.【答案】解：(1)证明：对任意 1， 2 ∈ [0, +∞)， 1 + 2 ≥ 2√ 1 2，
1+ 2 √ 1+√ 2
所以2( + ) ≥ (√ + √ )21 2 1 2 ， ≥ ( )
2，
2 2
当且仅当 1 = 2时等号成立，
1+ 2 √ 1+√ 2
所以√ ≥ ，
2 2
+ ( )+ ( )
即 ( 1 2) ≥ 1 2 ，当且仅当 1 = 2时等号成立， 2 2
所以函数 ( ) = √ 在[0, +∞)上是凸函数；
(2)函数 ( ) = √ 在[0, +∞)上是凸函数，
1 2
令 1 = ， = ，则由凸函数的性质有： 3 2 3
1
1 2 1 ( )+2 ( )
( + ( )) ≥ 2 ，其中 ∈ [0,1]，
3 3 2 3
1 1 1
即√ + √ 2 2 ≤ 3√ = √ 3，当且仅当 = ，即 = 时等号成立，
3 2 3
所以函数 ( ) = √ + √ 2 2 的最大值为√ 3；
(3)因为函数 ( ) = √ 在[0, +∞)上是凸函数，
1+ 2+ 3+ 4 ( 1)+ ( 2)+ ( 3)+ ( 4)
所以对任意 1， 2， 3， 4 ∈ (0, +∞)都有 ( ) ≥ ， 4 4
1+ 2+ 3+
4 4
4 √ 1+√ 2+√ 3+√ 4 2 √ 1 2+2 √ 3 4即√ ≥ ≥ ≥ 8√ ，
4 4 4 1 2 3 4
当且仅当 1 = 2 = 3 = 4时等号成立，
因为函数 ( ) = √ 在(0, +∞)上是增函数，
1+ 2+ 3+ 4
所以 ≥ 4√
4 1
2 3 4，当且仅当 1 = 2 = 3 = 4时等号成立，
当 ≥ 0时，函数 ( ) = 4 + 3 + 3在(0, +∞)上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 3，符合题意;
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当 < 0时，因为 ∈ (0, +∞)，
4 4 4
4 27
4 27 4 √
4 4 4 27 4
所以 + = + + + ≥ 4 × × × = 3，
256 3 3 3 256 3 3 3 256
4 27 4 3
当且仅当 = ，即 = 时等号成立;
3 256 4
27 4
所以 ( ) = 4 + 3 + 3在(0, +∞)上的最小值为3 ，
256
27 4 4√ 3
由题意有3 ≥ 0，解得 ≤ < 0，
256 3
4√ 3
综上得实数 的取值范围为 ∈ [ , +∞).
3
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